高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台课后练习题

6.1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台

1.有两个面平行的多面体不可能是(　　)

A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.圆柱

【解析】由棱锥的结构特征可得.

【答案】B

2.下列说法正确的是(　　)

A.棱柱的底面一定是平行四边形

B.棱锥的底面一定是三角形

C.棱锥被平面分成的两部分一定是棱锥和棱台

D.棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱

【解析】棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A，B不正确;过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确.

【答案】D

3.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　)

A.三棱锥 B.四棱锥

C.三棱柱 D.三棱台

【解析】由题图知剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'.

【答案】B

4.一个正三棱锥的底面边长为3，高为，则它的侧棱长为 (　　)

A.2 B.2 C.3 D.4

【解析】如

图所示，正三棱锥S-ABC中，O为△ABC的中心，SO为正三棱锥的高，则SO=，AB=3，易知OA=，所以在Rt△SOA中，SA==3.

【答案】C

5.四棱柱有　　　　　条侧棱，　　　　　个顶点. 

【答案】4　8

6.若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则该棱台的高为　　　　　. 

【解析】由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底长为7，对角线长为9，则高为=3.

【答案】3

7.

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，A1A=5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.

解把长方体的部分面展开，如图，有三种情况.

对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.

1.已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直平行六面体}，则(　　)

A.A⊆B⊆C⊆D B.C⊆A⊆B⊆D

C.A⊆C⊆B⊆D D.它们无确切包含关系

【解析】在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最少的是正方体，其次是正四棱柱.

【答案】C

2.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为(　　)

A.2 B.2 C.4 D.4

【解析】沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1'B'(如图).

由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过M到达C1的路线最短.

所以最短路线长为BC1==2.

【答案】B

3.已知三棱台ABC-A'B'C'的上、下两底面均为正三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱从上到下分为长度之比为1∶2的两部分，则截面的面积为　　　　　. 

【解析】如

图所示，延长AA'，BB'，CC'交于点S，设截面为A″B″C″.

由题意知A″A'∶AA″=1∶2，

由棱截的截面性质得，所以SA=2SA'=2AA'.

由A″A'∶AA″=1∶2得A″A'=AA'，

所以SA'∶SA″=3∶4，所以，

所以A″B″=A'B'=4，

所以S△A″B″C″=(A″B″)2=×42=4，

所以截面面积为4.

【答案】4

4.如图所示，将边长为8的正三角形沿三条中位线折成一个正四面体，求该四面体的高和斜高.

解由题设知正四面体S-ABC中，SA=SB=SC=AB=BC=CA=4.

过点S作SO⊥平面ABC，O为垂足，连接OA，过点O作OD⊥AC于点D，则D为AC中点，连接SD，则SD⊥AC，故SO为正四面体的高，SD为斜高.

在Rt△SDA中，SA=4，AD=2，

所以SD=

==6.

又因为△ABC为正三角形，

所以△ABC的高h=×4=6，

所以OA=h=×6=4，

所以在Rt△SOA中，SO==4.

故该四面体的高为4，斜高为6.