高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理练习

6.3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)

1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1(　　)

A.相等

B.互补

C.相等或互补

D.不确定

【解析】因为E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行，一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，故∠EFG与∠ABC1互补.

【答案】B

2.(多选)下列命题中错误的是(　　)

A.空间三点可以确定一个平面

B.三角形一定是平面图形

C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合

D.四条边都相等的四边形是平面图形

【解析】共线的三点不能确定一个平面，故A错误;当A，B，C，D四点共线时，这两个平面可以是相交的，故C错误;四边都相等的四边形可以是空间四边形，故D错误.

【答案】ACD

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)

A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直

【解析】如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.

【答案】C

4.如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是　　　　　.(填序号) 

【解析】根据异面直线的定义可得.

【答案】③

5.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是　　　　　. 

【解析】连接GB1，B1F，则GB1∥A1E，故∠B1GF或其补角即为A1E与GF所成的角，B1G=，B1F=，GF=，所以B1G2+FG2=B1F2，所以∠B1GF=90°.

【答案】90°

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证:四边形EFGH是平行四边形.

解在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，

所以EF∥AB，EF=AB，同理GH∥DC，GH=DC.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB∥CD，AB=CD.

所以EF∥GH，EF=GH.

所以四边形EFGH是平行四边形.

1.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)

A.有无数条 B.有两条

C.至多有两条 D.有一条

【解析】如图所示，过点P作直线l'∥l，以l'为轴，与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.

【答案】A

2.如图所示，已知三棱锥A-BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A.MN≥(AC+BD)

B.MN≤(AC+BD)

C.MN=(AC+BD)

D.MN<(AC+BD)

【解析】如

图所示，取BC的中点E，连接ME，NE，则ME=AC，NE=BD，

所以ME+NE=(AC+BD).

在△MNE中，有ME+NE>MN，

所以MN<(AC+BD).

【答案】D

3.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论:

①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.

以上结论正确的为　　　　　.(填序号) 

【解析】把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.

【答案】①③

4.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.

求证:(1)D1E∥BF;

(2)∠B1BF=∠D1EA1.

证明(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.

在矩形ABB1A1中，易得EM=A1B1，EM∥A1B1.

因为A1B1=C1D1，且A1B1∥C1D1，所以EM=C1D1，且EM∥C1D1.

所以四边形EMC1D1为平行四边形.

所以D1E∥C1M.

在矩形BCC1B1中，易得MB=C1F，且MB∥C1F.

所以BF∥C1M，所以D1E∥BF.

(2)由(1)知，ED1∥BF，BB1∥EA1.

因为∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，

所以∠B1BF=∠D1EA1.