2020-2021学年3.1 向量的数乘运算巩固练习

2.3.1 向量的数乘运算

2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系

1.(2019广东高二期末(理))如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且=a，=b，则=(　　)

A.b-a B.b+a

C.a+b D.a-b

【解析】=-a+b+a=b-a.故选A.

【答案】A

2.(多选)(2020山东微山县第二中学高一月考)下列叙述中错误的是(　　)

A.若a=b，则3a>2b

B.若a∥b，则a与b的方向相同或相反

C.若a∥b，b∥c，则a∥c

D.对任意向量a，是一个单位向量

【解析】向量不能比较大小，A错误;零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误;若b为零向量，a与c可能不是共线向量，故C错误;当a=0时，无意义，故D错误.故选ABCD.

【答案】ABCD

3.(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是 (　　)

A.m(a-b)=ma-mb

B.(m-n)a=ma-na

C.若ma=mb，则a=b

D.若ma=na(a≠0)，则m=n

【解析】根据向量数乘的运算可知A和B正确;当m=0时，ma=mb=0，但a与b不一定相等，故C不正确;由ma=na，得(m-n)a=0，因为a≠0，所以m=n，故D正确.故选ABD.

【答案】ABD

4.已知点D为△ABC边BC上一点，且=3，则 (　　)

A. B.

C.=- D.

【解析】因为=3，所以)=.故选A.

【答案】A

5.(2019广西壮族自治区蒙山中学高三月考(理))在△ABC中，D为AB的中点，点E满足=4，则=(　　)

A. B.

C. D.

【解析】因为D为AB的中点，点E满足=4，

所以=-，

所以

=)-.故选A.

【答案】A

6.(2a-3b)-3(a+b)=　　　　. 

【解析】(2a-3b)-3(a+b)=a-b-3a-3b=-a-4b.

【答案】-a-4b

7.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a=　　　b. 

【解析】因为|a|=5，|b|=7，

所以，又方向相反，所以a=-b.

【答案】-

8.若3(c+a)+2(c-2a)-4(c-a+b)=0，则c=　　　. 

【解析】由已知得3(c+a)+2(c-2a)-4(c-a+b)=0，

所以c+3a-4b=0，所以c=4b-3a.

【答案】4b-3a

1.(多选)(2020山东章丘四中高三月考)下列关于平面向量的说法中不正确的是(　　)

A.已知a，b均为非零向量，则a∥b⇔存在唯一的实数λ，使得b=λa

B.若向量共线，则点A，B，C，D必在同一直线上

C.如果非零向量a与b不共线，且λa=μb，那么λ=μ=1

D.若点G为△ABC的重心，则=0

【解析】由平面向量平行的推论可得A正确;向量共线，只需两向量方向相同或相反即可，点A，B，C，D不一定在同一直线上，故B错误;如果非零向量a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0，故C错误;由平面向量中三角形重心的推论可得D正确.故选BC.

【答案】BC

2.(多选)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，则下列结论正确的是(　　)

A.=-a-b B.=a+b

C.=-a+b D.a

【解析】如图，

在△ABC中，=-=-b-a，故A正确;=a+b，故B正确;=-b-a，=b+×(-b-a)=-a+b，故C正确;=-a，故D不正确.故选ABC.

【答案】ABC

3.(2019平罗中学高三期中(理))在△ABC中，O为其内部一点，且满足+4=0，则△ABC和△AOC的面积比是(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

【解析】在△ABC中，O为其内部一点，且满足+4=0，

设D是AB中点，连接OD，如图所示，则=2，且S△ABC=2S△ACD，

所以2+4=0，

所以C，O，D三点共线，且OD=2OC，

所以3S△AOC=S△ACD，所以6S△AOC=2S△ACD=S△ABC，

所以S△ABC∶S△AOC=6∶1，则△ABC和△AOC的面积比是6.故选C.

【答案】C

4.在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，则四边形ABCD的形状是　　　　. 

【解析】因为=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2，所以AD∥BC，且AD=2BC.所以四边形ABCD是梯形.

【答案】梯形

5.已知两个非零向量a，b不共线.

(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求证:A，B，D三点共线;

(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.

(1)证明因为=a+b，=2a+8b+3a-3b=5a+5b=5(a+b)=5，所以共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线.

(2)解因为ka+b与2a+kb共线，

所以存在实数λ，使ka+b=λ(2a+kb).

所以(k-2λ)a+(1-λk)b=0，

所以

解得k=±.

6.中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且||=|，则=(　　)

A. B.

C. D.

【解析】.故选A.

【答案】A