北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数1 周期变化习题

1.1周期变化

1.如图所示的是一个单摆，让摆球从A点开始摆，最后又回到A点，单摆所经历的时间是一个周期T，则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中，经历的时间是(　　)

A.2T B.T C. D.

【解析】整个运动恰好是一个周期，所以运动的时间是T.

【答案】B

2.0.428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是 (　　)

A.5 B.4 C.8 D.7

【解析】由题意知数字重复出现的周期为6，而545=6×90+5，故小数点后第545位上的数字是7.

【答案】D

3.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[-2，1)时，f(x)=则f=(　　)

A.0 B.1 C. D.-1

【解析】因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f=f-+3=f-=4×-2-2=-1，故选D.

【答案】D

4.如图，从左向右按照一定规律摆放的黑球和白球.已知第1，2个是黑球，第3个是白球，……，以此类推，第2 019个球是　　　　(填“白球”或“黑球”). 

【解析】球的摆放呈周期性，第3，6，9，…个球都是白球，其余的都是黑球.因为2 019=673×3，所以第2 019个球是白球.

【答案】白球

5.已知函数f(x)的图象是以10为周期重复出现的，若f(1)=2 020，则f(41)=　　　　. 

【解析】由题意，知f(x)的周期为10，所以f(41)=f(4×10+1)=f(1)=2 020.

【答案】2 020

6.如图为某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题:

(1)这个简谐运动需要多长时间往复一次?

(2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如果从点A算起呢?

解(1)由图象易知这个简谐运动需要0.8 s往复一次.

(2)如果从点O开始算起，那么到曲线上的点D表示完成了一次往复运动.如果从点A开始算起，那么到曲线上的点E表示完成了一次往复运动.

1.(多选)按照规定，奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办，那么下列年份中举办夏季奥运会的应该是(　　)

A.2019 B.2024 C.2026 D.2032

【解析】2 019=2 008+4×2+3，2 026=2 008+4×4+2.显然2 019，2 026不是4的倍数.2 024=2 008+4×4，2 032=2 008+4×6，显然2 024与2 032是4的倍数，故选BD.

【答案】BD

2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x3-x，则函数y=f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

【解析】因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)=x3-x=x(x-1)(x+1)，所以当0≤x<2时，f(x)=0有两个根，即x1=0，x2=1.由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)=0有两个根，即x3=2，x4=3;当4≤x≤6时，f(x)=0有三个根，即x5=4，x6=5，x7=6，故f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.

【答案】B

3.(2019哈尔滨六中期中)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[-2，1)时，f(x)=则ff=　　　　. 

【解析】由题意可得f=f6-=f-=4×-2-2=，f=.

【答案】

4.已知奇函数y=f(x)(x∈R)，且f(x)=f(x+4)，f(1)=2，则函数f(x)的周期为　　　　　，f(2)+f(3)+f(4)=　　　　　. 

【解析】因为y=f(x)(x∈R)是奇函数，所以f(0)=0.

又f(x)=f(x+4)，

所以f(4)=f(0)=0，f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-2，

而f(-2)=f(-2+4)=f(2)，f(-2)=-f(2)，

所以f(2)=0，故f(2)+f(3)+f(4)=-2.

【答案】4　-2

5.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f+x=-f-x成立.

(1)证明:y=f(x)是周期函数，并指出其周期;

(2)若f(1)=2，求f(2)+f(3)的值.

(1)证明由f+x=-f-x，且f(-x)=-f(x)，知f(3+x)=f++x=-f-

+x=-f(-x)=f(x)，

所以y=f(x)是周期函数，且T=3是其一个周期.

(2)解因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，且f(-1)=-f(1)=-2，

又T=3是y=f(x)的一个周期，

所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.

6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称.

(1)求证:f(x)是周期为4的周期函数;

(2)若f(x)=(0<x≤1)，求当x∈[-5，-4]时，函数f(x)的解析式.

(1)证明由函数f(x)的图象关于直线x=1对称，

有f(x+1)=f(1-x)，即有f(-x)=f(x+2).

又函数f(x)是定义在R上的奇函数，

故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x).

从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

所以f(x)是周期为4的周期函数.

(2)解由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)=0.

当x∈[-1，0)时，即-x∈(0，1]，f(x)=-f(-x)=-.

故x∈[-1，0]时，f(x)=-.

当x∈[-5，-4]时，x+4∈[-1，0]，

f(x)=f(x+4)=-.

从而，x∈[-5，-4]时，函数f(x)=-.