北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.1 平均变化率精练

2.1.1　平均变化率~2.1.2　瞬时变化率

1.函数f(x)=5x-3在区间[a，b]上的平均变化率为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】C

【解析】平均变化率为=5.

2.已知函数y=f(x)=+1的图象上一点1，及邻近一点1+Δx，+Δy，则等于(　　)

A.1 B.2Δx 

C.1+ D.+(Δx)2

【答案】C

【解析】+Δy=f(1+Δx)=+1=+Δx，

∴Δy=+Δx，∴=1+.

3.在x=1附近，取Δx=0.3，在四个函数①y=x，②y=x2，③y=x3，④y=中，平均变化率最大的是(　　)

A.④ B.③ C.② D.①

【答案】B

【解析】根据平均变化率的定义计算可知，y=x3的平均变化率最大.

4.如果某物体的运动函数为s=2×(1-t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为(　　)

A.-4.8 m/s B.-0.88 m/s

C.0.88 m/s D.4.8 m/s

【答案】A

【解析】由题得，Δs=s(1.2+Δt)-s(1.2)=2×[1-(1.2+Δt)2]-2×(1-1.22)=-2(Δt)2-4.8Δt，

则=-2Δt-4.8.

故当Δt趋于0时，趋于-4.8，即物体在1.2 s末的瞬时速度为-4.8 m/s.

5.已知y=f(x)=-x2+10，则y=f(x)在x=处的瞬时变化率是(　　)

A.3 B.-3 C.2 D.-2

【答案】B

【解析】∵=-Δx-3，当Δx趋于0时，趋于-3.

6.函数f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为　　　　　. 

【答案】

【解析】.

7.一物体的运动方程为s(t)=t2-3t+2，则其在t=　　　　　时的瞬时速度为1. 

【答案】2

【解析】设物体在t=t0时的瞬时速度为1，

因为

=

=2t0-3+Δt，

当Δt趋于0时，2t0-3+Δt趋于2t0-3，

∴2t0-3=1，解得t0=2.

8.求函数y=f(x)=x2在x=1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大?

解在x=1附近的平均变化率为

k1=

=2+Δx;

在x=2附近的平均变化率为

k2=

=4+Δx;

在x=3附近的平均变化率为

k3=

=6+Δx.

当Δx=时，k1=2+，

k2=4+，k3=6+.

由于k1<k2<k3，所以在x=3附近的平均变化率最大.

9.枪弹在枪筒中的运动可以近似看作是匀加速直线运动，其路程(单位:m)与时间(单位:s)的关系式为s(t)=at2，如果枪弹的加速度a=5×105 m/s2，且当t=1.6×10-3 s时，枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬时速度.

解∵s=at2，∴=at+aΔt.

当Δt趋于0时，at+aΔt趋于at，

由题意知，a=5×105 m/s2，t=1.6×10-3 s，

∴at=8×102=800(m/s)，

即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

10.物体的运动函数是s=-4t2+16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为(　　)

A.t=1 B.t=2 C.t=3 D.t=4

【答案】B

【解析】设在t时刻的速度为0，

∴

=-8t+16-4Δt，

当Δt趋于0时，-8t+16-4Δt趋于-8t+16，由-8t+16=0，解得t=2.

11.函数y=f(x)=x2在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为k1，在[x0-Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是(　　)

A.k1>k2

B.k1<k2

C.k1=k2

D.k1与k2的大小关系不确定

【答案】A

【解析】∵函数y=f(x)=x2在区间[x0，x0+Δx]上的改变量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-(x0)2=Δx(2x0+Δx)，

∴k1==2x0+Δx.

∵函数y=f(x)=x2在区间[x0-Δx，x0]上的改变量为Δy=f(x0)-f(x0-Δx)=(x0)2-(x0-Δx)2=Δx(2x0-Δx)，

∴k2==2x0-Δx.

∵k1-k2=2Δx，而Δx>0，故k1>k2.

12.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果(　　)

A.甲厂好

B.乙厂好

C.甲、乙两厂相同

D.不确定

【答案】B

【解析】在t0处，有W1(t0)=W2(t0)，在t0-Δt处，W1(t0-Δt)<W2(t0-Δt)，即<，所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小.所以乙厂治污效果较好.

13.甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

B.在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度

D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

【答案】C

【解析】在[0，t0]内，甲、乙的平均速度均为，故A，B错误;在[t0，t1]内，.

∵s2-s0>s1-s0，且t1-t0>0，

∴，故C正确，D错误.

14.(多选题)已知某物体的运动函数为s(t)=7t2+8(0≤t≤5)，则(　　)

A.当t=1到t=3时该物体的平均速度是28

B.该物体在t=4时的瞬时速度是56

C.该物体位移的最大值为43

D.该物体在t=5时的瞬时速度是70

【答案】ABD

【解析】该物体在t=1到t=3时的平均速度是=28，故A正确;物体在t=4时的瞬时速度是当Δt趋于0时，=56+7Δt趋于56，故B正确;物体的最大位移是7×52+8=183，故C错误;物体在t=5时的瞬时速度是当Δt趋于0时，=70+7Δt趋于70，故D正确.

15.将半径为R的球加热，若半径从R=1到R=m时球的体积的平均变化率为，则m的值为　　　　　.(注:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)) 

【答案】2

【解析】ΔV=m3-×13=(m3-1)，

∴，

∴m2+m+1=7，

∴m=2或m=-3(舍).

16.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第x h时，原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)，则第4 h时原油温度的瞬时变化率是　　　℃/h. 

【答案】1

【解析】当时间x从4变到4+Δx时，根据平均变化率公式得=Δx+1，当Δx趋于0时，平均变化率趋于1，即第4 h时原油温度的瞬时变化率是1 ℃/h.

17.一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1，该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围.

解质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度为

=4+Δt，

又因为4+Δt≤5，

所以Δt≤1，且Δt>0，

故Δt的取值范围为(0，1].

18.服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位:mg/mL)来表示，它是时间t(单位:min)的函数，表示为c=c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值.

服药后30—70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为　　　　　　 mg/(mL·min). 

【答案】-0.002

【解析】当时间t从30 min变到70 min时，血液中药物的浓度c相对于时间t的平均变化率为=-0.002 mg/(mL·min).

19.若一物体运动函数如下:(位移单位:m，时间单位:s)s=f(t)=求:

(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度;

(2)物体的初速度v0;

(3)物体在t=1时的瞬时速度.

解(1)∵物体在t∈[3，5]上的时间变化量为Δt=5-3=2(s)，

物体在t∈[3，5]上的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48(m)，

∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为=24(m/s).

∴物体在t∈[3，5]上的平均速度为24 m/s.

(2)求物体的初速度v0，即求物体在t=0时的瞬时速度.

∵

=

=3Δt-18，

当Δt趋于0时，3Δt-18趋于-18.

∴物体的初速度为-18 m/s.

(3)∵

=

=3Δt-12，

当Δt趋于0时，3Δt-12趋于-12.

∴物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.