高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值综合训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册6.2 函数的极值综合训练题，共8页。试卷主要包含了故选A，设函数f=ex+4，则f的等内容，欢迎下载使用。
2.6.2　函数的极值

1.设a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　
A.(-1，1)
B.(-∞，-1)
C.(1，+∞)
D.(-∞，-1)和(1，+∞)
【答案】A
【解析】令f'(x)=3x2-3a=0，得x=±a，
令f'(x)>0，得x>a或x0，解得x>1或x0)，
f'(x)是周期为2π的周期函数，
令f'(x)=0，则cos x=12，
在区间(0，2π]上，x=π3,5π3，
作出f'(x)的图象:

可得f(x)在(0，2π]上的极大值点为x=π3，
所以{an}是首项为a1=π3，公差为d=2π的等差数列，所以S2 021=2 021×π3+2 021×2 0202×2π，
所以cos S2 021=cos2 021×π3+2 021×2 0202×2π
=cos-2 021π3=cos-674π+π3
=cosπ3=12.
故选B.
13.若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x1，x2，则f(x1)+f(x2)的取值范围是(　　)
A.(-∞，16] B.(-∞，16)
C.(16，+∞) D.[16，+∞)
【答案】B
【解析】因为函数f(x)=x3-3ax2+12x(a>0)存在两个极值点x1，x2，
所以f'(x)=3x2-6ax+12=3(x2-2ax+4)=0的两个不相等的根为x1，x2，
则Δ=4a2-16>0且a>0，解得a>2，x1+x2=2a，x1x2=4，
所以f(x1)+f(x2)=x13+x23-3a(x12+x22)+12(x1+x2)
=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x2]+12(x1+x2)
=2a(4a2-12)-3a(4a2-8)+24a
=-4a3+24a(a>2)，
令h(a)=-4a3+24a(a>2)，则h'(a)=-12a2+240，当10，
∴f(x)在(-1，1)内单调递增，在(1，3)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增，
故x=3是f(x)的极小值点，故A正确，B错误，C正确;
由单调性可知f(3)1，∴-ln au(1)=0，
∴g(x)在(1，+∞)上为增函数，
∴方程g(x)=4在(1，+∞)上至多有一个实数解，
又g(e2)=2-2e2+2(e2+1)=4，
即方程f(x1)-f(x2)=4有解，
∴实数a=e2.
17.坐标平面内，由A，B，C，D四点所决定的“贝茨曲线”指的是次数不超过3的多项式函数的图象，过A，D两点，且在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C.若曲线y=f(x)是由A(0，0)，B(1，4)，C(3，2)，D(4，0)四点所决定的“贝茨曲线”，试回答下列问题:
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:函数g(x)=8f(x)+(12-3a)x2-35x+5a(a>0)总存在两个极值点x1，x2，且当g(x1)+g(x2)≤0时，a的最小值为1.
(1)解∵f(x)的图象过点A(0，0)，D(4，0)，
∴f(x)有两个零点0，4，
∴设f(x)=x(x-4)(kx+m)(其中k≠0)，
则f'(x)=kx(x-4)+(kx+m)(2x-4).
∵在点A处的切线经过点B，在点D处的切线经过点C，由f'(0)=4，f'(4)=-2，
解得m=-1，k=18，
∴f(x)=18x(x-4)(x-8).
(2)证明g(x)=8f(x)+(12-3a)x2-35x+5a(a>0)，
则g'(x)=3x2-6ax-3，
∵Δ=(-6a)2-4×3×(-3)=36a2+36>0，
∴g'(x)有两个不相等的根x1，x2，易知x1，x2是g(x)的两个极值点.
∴x1+x2=--6a3=2a，x1x2=-33=-1，
∴g(x1)+g(x2)=x13-3ax12-3x1+5a+x23-3ax22-3x2+5a
=x13+x23-3a(x12+x22)-3(x1+x2)+10a
=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x2]-3(x1+x2)+10a
=2a(4a2+3)-3a(4a2+2)-6a+10a
=-4a3+4a=4a(1-a2)，
∵g(x1)+g(x2)≤0，∴4a(1-a2)≤0，
∵a>0，∴1-a2≤0，∴a≥1，即a的最小值为1.