高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册3.1 等比数列的概念及其通项公式第1课时当堂检测题

1.3.1　等比数列的概念及其通项公式

第1课时　等比数列的概念及其通项公式

1.有下列四个说法:

①等比数列中的某一项可以为0;

②等比数列中公比的取值范围是(-∞，+∞);

③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1;

④若b2=ac，则a，b，c成等比数列.

其中正确说法的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B

【解析】只有③正确.

2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12=16，则a5等于(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

【答案】A

【解析】∵a2a12=a1q·a1q11=·q12=·212=16，∴=2-8，又an>0，∴a1=2-4，∴a5=a1q4=2-4·24=1.

3.在等比数列{an}中，an>0，且a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5的值为(　　)

A.16 B.27 C.36 D.81

【答案】B

【解析】∵a1+a2=1，a3+a4=9，∴q2=9.∴q=3(q=-3舍去)，∴a4+a5=(a3+a4)q=27.

4.已知a，b，c∈R，如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么(　　)

A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9

C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9

【答案】B

【解析】∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号，∴b=-3.∵a，c同号，∴ac=b2=9.

5.在等比数列{an}中，a1=1，公比q满足|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5，则m等于(　　)

A.9 B.10 C.11 D.12

【答案】C

【解析】在等比数列{an}中，∵a1=1，∴am=a1a2a3a4a5=q10=q10.∵am=a1qm-1=qm-1，∴qm-1=q10，∵|q|≠1，∴m-1=10，∴m=11.

6.在等比数列{an}中，若a3=3，a10=384，则公比q=　　　　. 

【答案】2

【解析】a3=a1q2=3，a10=a1q9=384，两式相除得，q7=128，所以q=2.

7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为　　　　　. 

【答案】80，40，20，10

【解析】设这6个数所成等比数列的公比为q，则5=160q5，∴q5=，∴q=.∴这4个数依次为80，40，20，10.

8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为　　　　. 

【答案】

【解析】设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴+28+28q=98，∴q=2或.

又0<q<1，∴q=.

9.已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，求证:{an}是等比数列，并求出通项公式.

解∵Sn=2an+1，∴Sn+1=2an+1+1.

∴an+1=Sn+1-Sn

=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an.

∴an+1=2an.

又∵S1=2a1+1=a1，∴a1=-1≠0，

又由an+1=2an知an≠0，

∴=2，∴{an}是首项为-1，公比为2的等比数列.

∴an=-1×2n-1=-2n-1.

10.已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，-(2an+1-1)an-2an+1=0.

(1)求a2，a3;

(2)求{an}的通项公式.

解(1)由题意可得a2=，a3=.

(2)由-(2an+1-1)an-2an+1=0，得2an+1(an+1)=an(an+1).

因为{an}的各项都为正数，所以.

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，

因此an=，n∈N+.

11.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b，c)，则ad等于(　　)

A.3 B.2 C.1 D.-2

【答案】B

【解析】∵y=(x-1)2+2，∴b=1，c=2.

又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad=bc=2.

12.已知正项等比数列{an}满足a2 021=a2 020+2a2 019，若存在两项ap，ar，使得=2a2，则的最小值为(　　)

A.2 B.3 C. D.

【答案】C

【解析】设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a2 021=a2 020+2a2 019可得a2 019q2=a2 019q+2a2 019，即q2=q+2，

解得q=2或q=-1(舍)，

又由=2a2可得=2a1q，

∴2p+r-2=16，即p+r=6，

∴(p+r)=5+≥×(5+2)=，

当且仅当时等号成立，

∴的最小值为.

13.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N+)，则a53的值为(　　)

 …

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51=+(5-1)×.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53=×2=.

14.已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c+2成等比数列，则a等于(　　)

A.2或8 B.2

C.8 D.-2或-8

【答案】A

【解析】由已知得

解得故a=2或a=8.

15.(多选题)在数列{an}中，如果对任意n∈N+都有=k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比.下列说法正确的是(　　)

A.等差数列一定是等差比数列

B.等差比数列的公差比一定不为0

C.若an=-3n+2，则数列{an}是等差比数列

D.若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比

【答案】BCD

【解析】若数列{an}为常数数列，则an+2-an+1=0，an+1-an=0，无法计算公差比，选项A错误;若k=0，则分子an+2-an+1=0，此时数列{an}为常数数列，则an+1-an也为0，分母为0，推出矛盾，所以k不可能为0，选项B正确;=3，所以数列{an}是等差比数列，选项C正确;结合等比数列通项公式可得=q，选项D正确.

16.数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=　　　　. 

【答案】1

【解析】设等差数列的公差为d，则a3=a1+2d，a5=a1+4d，

∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=-1，

∴q==1.

17.若等差数列{an}满足a1+a2=10，a4-a3=2，则an=　　　　;若{bn}是等比数列，且b2=a3，b3=a7，b6=ak，则k=　　　　. 

【答案】2n+2　63

【解析】由a4-a3=2知等差数列{an}的公差d=2，又a1+a2=2a1+d=10，故a1=4，则an=2n+2，所以b2=8，b3=16，得等比数列{bn}的公比q=2，b1=4.又b6=ak，故2k+2=4×25，解得k=63.

18.在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定.假设某种传染病的基本传染数R0=3(注:对于R0>1的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径)，那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为　　　　(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染……). 

【答案】4 095

【解析】初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为1+R0=4人;

经过二轮传染后，感染人数为4+4R0=16人;

经过三轮传染后，感染人数为16+16R0=64人.

每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，设为{an}，

到第n轮传染后，感染人数为an=4×4n-1=4n，

∴由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4 095.

19.在各项均为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1，且a2a5=.

(1)求证:{an}是等比数列，并求出其通项公式.

(2)试问-是这个等比数列中的项吗?如果是，指明是第几项;如果不是，请说明理由.

(1)证明∵2an=3an+1，∴.

又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1<0，

∴数列{an}是以为公比的等比数列.

∴an=a1·qn-1=a1·n-1，

∴a2=a1·2-1=a1，

a5=a1·5-1=a1.

又∵a2·a5=a1·a1=，

∴.

又∵a1<0，

∴a1=-.

∴an=-×n-1=-n-2(n∈N+).

(2)解令an=-n-2=-，

则n-2=4，n=6∈N+，

∴-是这个等比数列中的项，且是第6项.

20.直线l1:y=2-x与直线l2:y=kx+k(k>0)相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，……，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn(n=1，2，3…)的横坐标构成数列{xn}.那么，k=　　　　时，{xn}为等比数列. 

【答案】2

【解析】设Pn(xn，yn)，由题意可得Qn(xn，kxn+k)，

∴Pn+1(2-kxn-k，kxn+k)，即xn+1=-kxn+2-k，

设xn+1+t=-k(xn+t)，即为xn+1=-kxn-t-kt，

即有2-k=-t-kt，可得t=，

可得xn+1+=-kxn+，

由x1=2，可得xn+为以3-为首项、-k为公比的等比数列，

即为xn+=3-·(-k)n-1，

则xn=3-(-k)n-1+-1.

当k=2时，xn=(-1)n-12n，为等比数列.