北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.1 导数的加法与减法法则综合训练题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册4.1 导数的加法与减法法则综合训练题，共7页。试卷主要包含了下列运算中正确的是，故C不对，A正确，若曲线C1等内容，欢迎下载使用。
2.4.1　导数的加法与减法法则~2.4.2　导数的乘法与除法法则1.下列运算中正确的是(　　)A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'B.(sin x-2x2)'=(sin x)'-2'(x2)'C.'=D.(cos x·sin x)'=(sin x)'cos x+(cos x)'cos x【答案】A【解析】(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)'，故A正确;(sin x-2x2)'=(sin x)'-2(x2)'，故B错误;'=，故C错误;(cos x·sin x)'=(cos x)'sin x+cos x(sin x)'，故D错误.2.函数f(x)=xcos x-sin x的导函数是(　　)A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数【答案】B【解析】f'(x)=(xcos x)'-(sin x)'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.令F(x)=-xsin x，x∈R，则F(-x)=xsin(-x)=-xsin x=F(x)，∴f'(x)是偶函数.3.已知f(x)=cos sin -cos ，则f'= (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　A. B.1或-1 C.0 D.-【答案】A【解析】∵f(x)=cossin -cos =(sin x-cos x)-.∴f'(x)=(cos x+sin x)=sinx+.∴f'=sin.4.已知函数f(x)=f'cos x+sin x，则f的值为　　　　. 【答案】1【解析】∵f'(x)=-f'sin x+cos x，∴f'=-f'×，解得f'=-1，∴f(x)=(-1)cos x+sin x，∴f=1.5.设f(5)=5，f'(5)=3，g(5)=4，g'(5)=1，若h(x)=，则h'(5)=　　　　. 【答案】【解析】由题意知f(5)=5，f'(5)=3，g(5)=4，g'(5)=1，∵h'(x)=，∴h'(5)==.6.求下列函数的导数:(1)f(x)=(1+sin x)(1-4x);(2)f(x)=-2x(x≠-1).解(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)·(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.(2)f(x)=-2x=1--2x，则f'(x)=-2xln 2(x≠-1).7.设曲线f(x)=在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a等于(　　)A.2 B. C.- D.-2【答案】D【解析】∵f(x)==1+，∴f'(x)=-(x≠1)，∴f'(3)=-.∴-a×-=-1，即a=-2.8.已知f(x)=x2+cos x，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x)的图象是(　　)【答案】A【解析】函数f(x)=x2+cos x，f'(x)=-sin x，x∈R，f'(-x)=-sin(-x)=--sin x=-f'(x)，故f'(x)为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B，D，f'=-sin<0.故C不对，A正确.9.若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=(a>0)存在公共切线，则实数a的取值范围为(　　)A.(0，1) B.1，C.，2 D.，+∞【答案】D【解析】y=x2在点(m，m2)(m≠0)处的切线斜率为2m，y=(a>0)在点n，en处的切线斜率为en，如果两个曲线存在公共切线，那么2m=en.又由斜率公式可得2m=，由此得到m=2n-2，则4n-4=en有解，所以函数y=4x-4与y=ex的图象有交点即可.当直线y=4x-4与函数y=ex的图象相切时，设切点为(s，t)，则es=4，且t=4s-4=es=4，得s=2，即有切点(2，4)，a=，故实数a的取值范围是，+∞.故选D.10.(多选题)若存在过点O(0，0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值可以是(　　)A.1 B. C. D.-【答案】AB【解析】因为(0，0)在直线l上，当O(0，0)为f(x)的切点时，因为f'(0)=2，所以直线l的方程为y=2x，又直线l与y=x2+a相切，所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0，得a=1;当O(0，0)不是f(x)的切点时，设切点为(x0，-3+2x0)(x0≠0)，则f'(x0)=3-6x0+2，所以=3-6x0+2，得x0=，所以f'=-，所以直线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=0，由题意得Δ=-4a=0，所以a=.综上得a=1或a=.11.(多选题)过点P(2，-6)作曲线f(x)=x3-3x的切线，则切线方程为(　　)A.3x+y=0 B.24x-y-54=0C.3x-y=0 D.24x-y+54=0【答案】AB【解析】设切点为(m，m3-3m)，f(x)=x3-3x的导数为f'(x)=3x2-3，则切线斜率k=3m2-3，由点斜式方程可得切线方程为y-m3+3m=(3m2-3)(x-m)，将点P(2，-6)代入可得-6-m3+3m=(3m2-3)(2-m)，解得m=0或m=3.当m=0时，切线方程为3x+y=0;当m=3时，切线方程为24x-y-54=0.12.已知函数f(x)=xln x，若直线l过点(0，-1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为　　　　　. 【答案】x-y-1=0【解析】∵点(0，-1)不在曲线f(x)=xln x上，∴设切点坐标为(x0，y0).又f'(x)=1+ln x，∴解得x0=1，y0=0.∴切点坐标为(1，0)，∴f'(1)=1+ln 1=1.∴直线l的方程为y=x-1，即x-y-1=0.13.如图所示的图象中，有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R，a≠0)的导函数f'(x)的图象，则这个图象的序号是　　　，f(-1)=　　　　　　. 【答案】③　-【解析】∵f'(x)=x2+2ax+a2-1，∴f'(x)的图象开口向上，排除图象②④;又a≠0，∴f'(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故f'(x)的图象的序号为③.由图象特征可知，f'(0)=0，∴a2-1=0，且对称轴x=-a>0，∴a=-1，∴f(x)=x3-x2+1，则f(-1)=-.14.求下列函数的导数:(1)y=x·tan x;(2)y=;(3)y=;(4)y=x-sincos.解(1)y'=(x·tan x)'='===.(2)y'==.(3)∵y==x2+x3+x4，∴y'=(x2+x3+x4)'=2x+3x2+4x3.(4)∵y=x-sincos=x-sin x，∴y'='=x'-(sin x)'=1-cos x.15.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2，求f(x)的【解析】式.解∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e=1.又∵f(x)为偶函数，∴f(x)=f(-x).故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1.∵函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2，∴切点坐标为(1，-1).∴a+c+1=-1.∵f'(1)=4a+2c，∴4a+2c=1.∴a=，c=-.∴函数f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.16.设函数f(x)=ax-，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解由7x-4y-12=0得y=x-3.当x=2时，y=，∴f(2)=， ①又f'(x)=a+，f'(2)=， ②由①②得解得故f(x)=x-.(2)证明设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f'(x)=1+知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=1+(x-x0)，即y-x0-=1+(x-x0).令x=0得y=-，从而得切线与直线x=0的交点坐标为0，-.令y=x得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0，2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为-·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.