高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 简单复合函数的求导法则练习题

2.5　简单复合函数的求导法则

1.函数y=cos(2x+1)的导数是(　　)

A.y'=sin(2x+1)

B.y'=-2xsin(2x+1)

C.y'=-2sin(2x+1)

D.y'=2xsin(2x+1)

【答案】C

【解析】函数的导数y'=-sin(2x+1)(2x+1)'=-2sin(2x+1).

2.设f(x)=sin 2x，则f'=(　　)

A. B.-

C.1 D.-1

【答案】D

【解析】因为f(x)=sin 2x，

所以f'(x)=(2x)'cos 2x=2cos 2x.

则f'=2cos2×=-1.

3.已知某函数的导数为y'=，则这个函数可能是(　　)

A.y=ln B.y=ln

C.y=ln(1-x) D.y=ln

【答案】A

【解析】(ln)'=)'=，故A正确;

∵y=-ln，

∴y'=-，故B不正确;

y'=·(1-x)'=，故C不正确;

∵y=-ln(x-1)，∴y'=-，故D不正确.

4.设f(x)=ln，则f'(2)=(　　)

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】∵f(x)=ln，令u(x)=，则f(u)=ln u，

∵f'(u)=，u'(x)=，

由复合函数的导数公式得

f'(x)=，

∴f'(2)=.

5.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.-1 D.-2

【答案】B

【解析】设切点坐标是(x0，x0+1)，

依题意有

由此得x0=-1，a=2.

6.函数f(x)=xsin(2x+5)的导数f'(x)=　　　　　　　. 

【答案】sin(2x+5)+2xcos(2x+5)

【解析】f'(x)=x'sin(2x+5)+x(sin(2x+5))'=sin(2x+5)+2xcos(2x+5).

7.函数y=2cos2x在x=处的切线斜率为　　　. 

【答案】-1

【解析】由函数y=2cos2x=1+cos 2x，

得y'=(1+cos 2x)'=-2sin 2x，

所以函数在x=处的切线斜率为-2sin2×=-1.

8.求下列函数的导函数

(1)y=;(2)y=sin2x.

解(1)y'=()'=.

(2)y'=2sin x(sin x)'=2sin xcos x=sin 2x.

9.设f(x)=ln(2x-1)，若f(x)在x0处的导数f'(x0)=1，则x0的值为(　　)

A. B.

C.1 D.

【答案】B

【解析】由f(x)=ln(2x-1)，得f'(x)=.

由f'(x0)==1，解得x0=.故选B.

10.要得到函数f(x)=sin2x+的导函数f'(x)的图象，只需将f(x)的图象(　　)

A.向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

B.向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)

C.向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

D.向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)

【答案】C

【解析】∵f(x)=sin2x+，

∴f'(x)=2cos2x+

=2sin+2x+

=2sin2x++，

∴要得到导函数f'(x)=2sin2x++的图象，

只需将f(x)=sin2x+的图象向左平移个单位长度，

再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变).

11.曲线f(x)=e-2x+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(　　)

A. B. C. D.1

【答案】A

【解析】f'(0)=-2e-2×0=-2，∴曲线在点(0，2)处的切线方程为y=-2x+2.

由

解得x=y=，∴A，

则围成的三角形的面积为×1=.

12.设a∈R，函数f(x)=ex+ae-x的导函数是f'(x)，且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为(　　)

A.ln 2 B.-ln 2

C. D.-

【答案】A

【解析】对f(x)=ex+ae-x求导得

f'(x)=ex-ae-x，

又f'(x)是奇函数，故

f'(0)=1-a=0，

解得a=1，

故有f'(x)=ex-e-x，

设切点为(x0，y0)，

则f'(x0)=，

得=2或=-(舍去)，

得x0=ln 2.

故选A.

13.(多选题)下列函数是复合函数的是(　　)

A.y=-x3-+1 

B.y=cosx+

C.y= 

D.y=(2x+3)4

【答案】BCD

【解析】A不是复合函数，B，C，D均是复合函数.

14.(多选题)设函数f(x)=cos(x+φ)(-π<φ<π).若f(x)+f'(x)是偶函数，则φ=(　　)

A. B.- C. D.-

【答案】AB

【解析】f(x)+f'(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)=2sinx+φ+π，

因为f(x)+f'(x)为偶函数，

所以当x=0时2sinx+φ+π=±2，

则φ+π=kπ+，k∈Z，

所以φ=kπ-，k∈Z.

又-π<φ<π，

所以φ=-.

15.f'(x)是f(x)=cos x·esin x 的导函数，则f'(x)=　　　　　　　　. 

【答案】(cos2x-sin x)esin x

【解析】∵f(x)=cos x·esin x，

∴f'(x)=(cos x)'esin x+cos x(esin x)'

=-sin x·esin x+cos x·esin xcos x

=(cos2x-sin x)esin x.

16.已知函数f(x)=2sin 3x+9x，则=　　　　. 

【答案】6cos 3+9

【解析】f'(x)=(2sin 3x+9x)'=6cos 3x+9.=f'(1)=6cos 3+9.

17.点P是f(x)=(x+1)2上任意一点，则点P到直线y=x-1的最短距离是　　　　，此时点P的坐标为　　　　. 

【答案】　-

【解析】与直线y=x-1平行的f(x)=(x+1)2的切线的切点到直线y=x-1的距离最短.

设切点为(x0，y0)，则f'(x0)=2(x0+1)=1，∴x0=-，y0=，

即P-到直线y=x-1的距离最短.

∴d=.

18.求下列函数的导数:

(1)y=(2x2+3)(3x-1);

(2)y=(-2)2;

(3)y=x-sincos.

解(1)∵y=(2x2+3)(3x-1)，

∴y'=(2x2+3)'(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)'

=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.

(2)∵y=(-2)2，

∴y'=2(-2)(-2)'=2(-2)·=1-.

(3)∵y=x-sincos=x-sin 2，

∴y'=1-(2)'cos 2=1-cos 2.

19.曲线y=e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程.

解y'=(e2x)'·cos 3x+e2x·(cos 3x)'

=2e2x·cos 3x-3·sin 3x，

∴k=2.

∴在点(0，1)处的切线方程为y-1=2(x-0)，即y=2x+1.

设符合题意的直线l的方程为y=2x+b，

根据题意，得，

∴b=6或-4.

∴符合题意的直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.

20.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s=f(t)=5-.求函数在t= s时的导数，并解释它的实际意义.

解函数s=5-可以看作函数s=5-和x=25-9t的复合函数，其中x是中间变量.

由导数公式可得s'x=-，xt'=-9.

故由复合函数求导法则得

f'(t)=s't=s'x·x't

=·(-9)=.

将t=代入f'(t)，

得f'≈0.987(m/s).

它表示当t=s时，梯子上端下滑的速度约为0.987 m/s.