高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法达标测试

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法达标测试，共6页。试卷主要包含了用数学归纳法证明，故选D等内容，欢迎下载使用。
1.5　数学归纳法1.用数学归纳法证明:对任意正偶数n，均有1-+…+=2+…+，在验证n=2正确后，归纳假设应写成(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　A.假设n=k(k∈N+)时命题成立B.假设n≥k(k∈N+)时命题成立C.假设n=2k(k∈N+)时命题成立D.假设n=2(k+1)(k∈N+)时命题成立【答案】C2.利用数学归纳法证明不等式1++…+<n(n≥2，n∈N+)的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式左边增加了(　　)A.1项 B.k项C.2k-1项 D.2k项【答案】D【解析】增加项为:+…+，共2k项.3.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开(　　)A.(k+3)3 B.(k+2)3C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3【答案】A【解析】假设当n=k时，原式能被9整除，即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可.4.用数学归纳法证明:1++…+时，由n=k到n=k+1时，等式左边需要添加的项是(　　)A. B.C. D.【答案】D【解析】当n=k时，假设成立的等式为1++…+，当n=k+1时，要证明的等式为1++…+，故左边需要添加的项为.故选D.5.用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时，初始值n0应等于　　　　. 【答案】6【解析】由题意，当n=1时，21<(1+1)2;当n=2时，22<(2+1)2;当n=3时，23<(3+1)2;当n=4时，24<(4+1)2;当n=5时，25<(5+1)2;当n=6时，26>(6+1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N+)时，初始值n0应等于6.6.用数学归纳法证明+…+.假设n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是　　　　　　　　　. 【答案】+…+【解析】观察不等式中各项的分母变化，知n=k+1时，应推证的不等式是+…+.7.用数学归纳法证明1-1-1-×…×1-=(n≥2，n∈N+).证明(1)当n=2时，左边=1-，右边=，所以左边=右边，所以n=2时等式成立.(2)假设n=k(k≥2，k∈N+)时等式成立，即1-1-1-×…×1-=，那么n=k+1时，1-1-1-×…×1-1-=1-=，即n=k+1时等式成立.综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N+等式恒成立.8.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)等于(　　)A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2【答案】C【解析】增加一个顶点，就增加(n+1-3)条对角线，另外，原来的一边也变成了对角线，故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故选C.9.用数学归纳法证明不等式+…+(n∈N+，n≥2)时，可将其转化为证明(　　)A.+…+(n∈N+，n≥2)B.+…+(n∈N+，n≥2)C.+…+(n∈N+，n≥2)D.+…+(n∈N+，n≥2)【答案】B【解析】由于，不能推得不等式+…+成立，故排除选项A，C.可令f(n)=+…+，当n=2时，f(2)=，故排除D.由于+…++…+，只要证+…+，当n=k时，假设+…+成立，当n=k+1时，+…+，即n=k+1时，不等式也成立.综上可得+…+成立.故原不等式成立.10.某个命题与自然数n有关，如果当n=k(k∈N+)时命题成立，则可得当n=k+1时命题也成立，若已知当n=5时命题不成立，则下列说法正确的是(　　)A.当n=4时，命题不成立B.当n=1时，命题可能成立C.当n=6时，命题不成立D.当n=6时，命题成立【答案】A【解析】由题意可知，P(n)对n=4成立，则n=5也成立，与题设矛盾，所以n=4时，命题不成立，所以A的说法正确;如果n=1命题成立，则n=2命题成立，可得n=5时，命题成立，与题设矛盾，所以B说法不正确;当n=6时，命题可能成立也可能不成立，所以C的说法不正确，D的说法不正确，故选A.11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时，总有f(k+1)≥k+2成立.下列命题总成立的是(　　)A.若f(6)<7成立，则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立【答案】AD【解析】若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，A正确.BC显然错误.若f(4)≥5成立，由题意，得当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立，故D正确.所以选AD.12.在用数学归纳法证明“f(n)=+…+<1(n∈N+，n≥3)”的过程中，假设当n=k(k∈N+，k≥3)时，不等式f(k)<1成立，当证明n=k+1，f(k+1)<1也成立时，若f(k+1)=f(k)+g(k)，则g(k)=　　　　　. 【答案】【解析】∵f(k)=+…+，f(k+1)=+…+，∴f(k+1)-f(k)=.∵f(k+1)=f(k)+g(k)，∴g(k)=.13.试比较2n+2与n2的大小(n∈N+)，并用数学归纳法证明你的结论.解当n=1时，21+2=4>n2=1，当n=2时，22+2=6>n2=4，当n=3时，23+2=10>n2=9，当n=4时，24+2=18>n2=16，由此可以猜想，2n+2>n2(n∈N+)成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时，21+2>12，所以原不等式成立.当n=2时，22+2>22，所以原不等式成立.当n=3时，23+2>32，所以原不等式成立.(2)假设当n=k时(k≥3且k∈N+)时，不等式成立，即2k+2>k2.当n=k+1时，2k+1+2=2×2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.又2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0，即2k2-2≥(k+1)2，故2k+1+2>(k+1)2成立.根据(1)和(2)，原不等式对于任意n∈N+都成立.14.(1)设数列{an}满足a0=2，an=-n(n∈N+)，用数学归纳法证明an>n(n∈N+).(2)证明:对任意自然数n，都有<2.证明(1)显然a0=2>0，a1=-1=3>1，a2=-2=7>2，a3=-3=46>3;设n=k，k>3时，有ak>k，则ak+1>-(k+1)>k2-(k+1)>3k-(k+1)=2k-1>k+1，所以n=k+1时，ak+1>k+1也成立.于是，对任意自然数n∈N+，都有an>n.(2)由(1)知，an=-n，且an>n>0，n∈N+，所以an-1=，an-2=，…a0>，即<2成立.15.汉诺塔问题源于一种古老的益智游戏.这个游戏的目的是将图1中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求:每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.(1)试写出a1，a2，a3，a4的值，并猜想出an.(无需给出证明)(2)著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图2的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn=n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.解(1)由题意得，a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，猜想an=2n-1;(2)a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=31，b1=1，b2=4，b3=9，b4=16，b5=25.则当2≤n<5时，an<bn，猜想:当n≥5时，an>bn，即2n-1>n2.下面利用数学归纳法证明:①当n=5时，a5=31，b5=25，a5>b5，结论成立;②假设n=k(k≥5，k∈N+)时结论成立，即2k-1>k2，那么当n=k+1时，ak+1=2k+1-1=2(2k-1)+1>2k2+1=k2+k2+1.而k≥5时，k(k-2)>0，即k2>2k，∴ak+1=2k+1-1>k2+k2+1>k2+2k+1=(k+1)2=bk+1.∴当n=k+1时，结论成立.由①②可知，当n≥5时，结论成立.综上，当2≤n<5时，an<bn，当n≥5时，an>bn.