这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.1 函数的单调性随堂练习题，共7页。试卷主要包含了若f=lnxx，e
2.6.1 函数的单调性1.如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象，则下列判断正确的是( )A.在区间(-2，1)上，f(x)是增函数B.在(1，3)上，f(x)是减函数C.在(4，5)上，f(x)是增函数D.在(-3，-2)上，f(x)是增函数【答案】C【解析】由图知当x∈(4，5)时，f'(x)>0，所以在(4，5)上，f(x)是增函数.2.曲线y=x2-2ln x的单调递增区间是( ) A.(0，1] B.[1，+∞)C.(-∞，-1]和(0，1] D.[-1，0)和[1，+∞)【答案】B【解析】y=x2-2ln x的定义域是(0，+∞)，y'=2x-，令y'≥0，解得x≥1，故y=x2-2ln x在[1，+∞)内单调递增，故选B.3.若f(x)=，e<a<b，则( )A.f(a)<f(b) B.f(a)=f(b)C.f(a)>f(b) D.f(a)f(b)>1【答案】C【解析】令f'(x)=<0，解得x>e.∴f(x)在(e，+∞)内单调递减，∵e<a<b，∴f(a)>f(b).4.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )A.[1，+∞) B.[0，1]C.(-∞，1] D.(0，1)【答案】A【解析】f'(x)=3x2-2ax-1，∵f(x)在(0，1)内单调递减，∴不等式3x2-2ax-1≤0在(0，1)上恒成立，∴f'(0)≤0，f'(1)≤0，∴a≥1.5.定义在R上的函数f(x)，若(x-1)·f'(x)<0，则下列各项正确的是( )A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)与2f(1)大小不定【答案】C【解析】∵(x-1)f'(x)<0，∴当x>1时，f'(x)<0，x<1时，f'(x)>0，则f(x)在(1，+∞)内单调递减，在(-∞，1)内单调递增，∴f(0)<f(1)，f(2)<f(1)，则f(0)+f(2)<2f(1).6.下列函数中，在区间(-1，1)上不是增函数的为 ( )A.y=ex+x B.y=sin xC.y=x3-6x2+9x+2 D.y=x2+x+1【答案】D【解析】y=ex+x，y'=ex+1>0，y=ex+x在区间(-1，1)内单调递增;y=sin x，y'=cos x，由在区间(-1，1)上y'=cos x>0知，y=sin x在区间(-1，1)内单调递增;y=x3-6x2+9x+2，y'=3x2-12x+9=3(x-2)2-3，由在区间(-1，1)上y'=3(x-2)2-3>0知，y=x3-6x2+9x+2在区间(-1，1)内单调递增;y=x2+x+1，y'=2x+1，在区间-，1上y'>0，在区间-1，-上y'<0，所以y=x2+x+1在区间(-1，1)上不是增函数.7.若函数f(x)的导函数为f'(x)=x2-4x+3，则函数f(x+1)的单调递减区间是 . 【答案】(0，2)【解析】由f'(x)=x2-4x+3，f'(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x，令f'(x+1)<0，解得0<x<2，所以f(x+1)的单调递减区间是(0，2).8.函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是 . 【答案】(0，+∞)【解析】∵f(x)=ax3-x，∴f'(x)=3ax2-1，要使函数f(x)=ax3-x恰有三个单调区间，则f'(x)是二次函数，且f'(x)=0有两个不等实根，∴a>0，即实数a的取值范围是(0，+∞).9.已知函数f(x)满足f(x)=x3+f'x2-x+c(c为常数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=(f(x)-x3)·ex，若函数g(x)在x∈[-3，2]上单调，求实数c的取值范围.解(1)由f(x)=x3+f'x2-x+c，得f'(x)=3x2+2f'x-1.取x=，得f'=3×2+2f'×-1，解得f'=-1.因为f(x)=x3-x2-x+c，从而f'(x)=3x2-2x-1=3x+(x-1)，列表得:x-∞，---，11(1，+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗ 因此f(x)的单调递增区间是-∞，-和(1，+∞);f(x)的单调递减区间是-，1.(2)函数g(x)=(f(x)-x3)·ex=(-x2-x+c)·ex，所以g'(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)·ex=(-x2-3x+c-1)·ex，当函数在区间[-3，2]上单调递增时，等价于h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，只要h(2)≥0，解得c≥11.当函数在区间[-3，2]上单调递减时，等价于h(x)=-x2-3x+c-1≤0在x∈[-3，2]上恒成立，即Δ=9+4(c-1)≤0，解得c≤-.所以c的取值范围是-∞，-∪[11，+∞).10.函数f(x)=x2-9ln x在区间(m，m+1)内单调递减，则实数m的取值范围是( )A.(0，1) B.[0，2]C.[0，1) D.(0，2)【答案】B【解析】函数f(x)=x2-9ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=x-，令f'(x)<0，得0<x<3，即f(x)的单调递减区间为(0，3)，由于函数f(x)在区间(m，m+1)内单调递减，则(m，m+1)⊆(0，3)，所以解得0≤m≤2，即实数m的取值范围是[0，2].故选B.11.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0，b∈R)恰好有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是( )A.(0，3)∪(3，+∞) B.[3，+∞)C.(0，3] D.(0，3)【答案】D【解析】由题意得f'(x)=3ax2+6x+1(a>0)，∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间，∴f'(x)有两个不同的零点，所以，解得0<a<3.因此，实数a的取值范围是(0，3).故选D.12.已知函数f(x)=，若a=f，b=f，c=f(2e)，其中e=2.718…，则a，b，c的大小关系是( )A.a>b>c B.c>b>aC.b>a>c D.c>a>b【答案】C【解析】函数f(x)的定义域是(0，+∞)，当x∈(0，1)时，f(x)=-，f'(x)=，∵x∈(0，1)，∴f'(x)<0，y=f(x)在(0，1)内单调递减.∵0<<1，∴f>f，即a<b，且a=f>f=2ln 2=ln 4>1，∵x∈(1，+∞)时，f(x)=，∴c=f(2e)=<1，∴a>c，∴b>a>c，故选C. 13.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g(x)不为0，当x<0时，f'(x)·g(x)-f(x)g'(x)>0，且f(3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A.(-3，0)∪(3，+∞)B.(-3，0)∪(0，3)C.(-∞，-3)∪(3，+∞)D.(-∞，-3)∪(0，3)【答案】D【解析】令F(x)=(g(x)恒不为0)，则F(x)为奇函数，F'(x)=，∵当x<0时，F'(x)>0，∴F(x)在(-∞，0)内为增函数.又F(3)==0，∴F(-3)=0.∴当x<-3时，F(x)<0;当-3<x<0时，F(x)>0.又F(x)为奇函数，∴当0<x<3时，F(x)<0;当x>3时，F(x)>0.而不等式f(x)g(x)<0和<0为同解不等式，∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0，3).14.(多选题)已知函数f(x)=xln(1+x)，则下列说法正确的是( )A.f(x)在(0，+∞)内单调递增B.f(x)有两个零点C.曲线y=f(x)在点-，f-处切线的斜率为-1-ln 2D.f(x)是偶函数【答案】AC【解析】函数定义域为(-1，+∞)，不关于原点对称，D错误;因为f'(x)=ln(x+1)+，当x>0时，f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)内单调递增，A正确;当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，又f(0)=0，所以f(x)≥0，所以f(x)只有一个零点，B错误;因为f'-=ln-1=-1-ln 2，所以C正确.15.函数y=3x+在(0，+∞)内单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】(-∞，4]【解析】∵y=3x+(x>0)，∴y'=·[(3x+1)2-a].∵函数在(0，+∞)内单调递增，∴(3x+1)2-a≥0即a≤(3x+1)2在(0，+∞)恒成立，而y=(3x+1)2>4，故a≤4.16.函数f(x)的定义域是(0，π)，其导函数是f'(x)，若f'(x)sin x+f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)sin x>f的解集为 . 【答案】0，【解析】令F(x)=f(x)sin x(0<x<π)，则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x<0(0<x<π)，所以F(x)=f(x)sin x在(0，π)上单调递减，且F=fsin=f，所以不等式f(x)sin x>f等价于F(x)>F，所以0<x<，即不等式的解集为0，.17.已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-时，求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1，+∞)上为减函数，求实数a的取值范围.解(1)当a=-时，f(x)=-x2+ln(x+1)(x>-1)，f'(x)=-x+=-(x>-1).当f'(x)>0时，解得-1<x<1;当f'(x)<0时，解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1，1)，单调递减区间是(1，+∞).(2)因为函数f(x)在区间[1，+∞)上为减函数，所以f'(x)=2ax+≤0对任意x∈[1，+∞)恒成立，即a≤-对任意x∈[1，+∞)恒成立.令g(x)=-，则g'(x)=.因为在区间[1，+∞)上g'(x)>0，所以g(x)在区间[1，+∞)上单调递增，故g(x)在区间[1，+∞)上的最小值g(x)min=g(1)=-，故a≤-.即实数a的取值范围为-∞，-.18.求证:当x>1时，ln x>.证明令g(x)=ln x-，则g'(x)=，∵x>1，∴g'(x)>0，即函数g(x)在区间(1，+∞)内是增函数.∴g(x)>g(1)=0，即ln x->0，故ln x>.
