第6讲 函数的单调性与最值 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第6讲   函数的单调性与最值思维导图 知识梳理1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间. 3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．  核心素养分析能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 题型归纳题型1    函数的单调性（区间）【例1-1】（2019•西湖区校级模拟）函数的单调递增区间为　　A． B． C． D．【分析】根据题意，分析可得，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，由已知，所以函数在上为增函数，故选：．【例1-2】（2019秋•闵行区期末）已知函数．判断在上的单调性，并给予证明．【分析】先设，然后利用作差比较与的大小即可判断．【解答】在上单调递减．证：设，则，因为，则，即，故在上单调递减．【跟踪训练1-1】（2019秋•天津期中）函数的单调递增区间是　　A． B． C．， D．【分析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】解：令，解得：或，而函数的对称轴是：，由复合函数同增异减的原则，故函数的单调递增区间是，，故选：．【跟踪训练1-2】（2019秋•河西区期中）用函数单调性的定义证明：在上是增函数（这里且【分析】根据题意，设，由函数的解析式可得，按的取值范围分情况讨论，可得且时，都有，结合函数单调性的定义分析可得答案．【解答】证明：根据题意，设，有，当时，，则有，，则有，当时，，则有，，则有，综合可得：且时，都有，故函数在上是增函数．【名师指导】判断函数单调性常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断；②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.   题型2    函数单调性的应用【例2-1】（2020•绵阳模拟）已知在上是减函数，若，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【分析】根据题意，由对数的运算性质可得，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，，又由在上是减函数，则有，即，故选：．【例2-2】（2020•济南二模）已知函数，若，则实数的取值范围是　　A． B．，， C． D．，，【分析】由已知可知单调递增，结合单调性即可求解不等式．【解答】解：由分段函数的性质可知，在上单调递增，若，则，解可得，或．故选：．【例2-3】（2020•郑州三模）若函数在上是单调函数，则的取值范围是　　A．， B．， C．， D．，【分析】先利用导数与函数单调性的关系可知，当时，单调递增，于是在上单调递增，还需要满足，解之即可得的取值范围．【解答】解：当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又函数在上是单调函数，，解得．故选：．【跟踪训练2-1】（2020春•静海区校级期中）已知函数，，则，，的大小关系是　　A． B． C． D．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得在上为减函数，由指数、对数的运算性质可得，分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，区间上，为减函数，且，区间，上，，为减函数，且，故在上为减函数；又由，则有；故选：．【跟踪训练2-2】（2019秋•金华期末）已知函数，若，则实数的取值范围是　　              ．【分析】根据指数函数的单调性和增函数的定义即可判断出分段函数在上是增函数，从而根据得出，从而可求出的取值范围．【解答】解：在，上是增函数，在上是增函数，且，在上是增函数，由得，，解得或，的取值范围是或．故答案为：或．【跟踪训练2-3】（2019秋•黄山期末）已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是　　          ．【分析】根据是上的增函数，根据二次函数、一次函数的单调性，以及增函数的定义即可得出，解出的范围即可．【解答】解：是上的增函数，，解得，实数的取值范围是，．故答案为：，．【名师指导】解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f(x1)＞f(x2)的形式；(2)考查函数f(x)的单调性；(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”，转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的常规不等式，从而得解． 题型3    函数的值域（最值）【例3-1】（2019秋•历城区校级期末）若函数在，上的最大值与最小值的差为，则的值为　　A． B． C．或2 D．或【分析】分和两种情况，求出最大值和最小值，然后由函数的最大值与最小值的差为，建立关于的方程，再解出的值．【解答】解：当时，在，上递增，的最大值为，最小值为，函数在，上的最大值与最小值的差为，，解得或（舍．当时，在，上递减，的最大值为，最小值为，函数在，上的最大值与最小值的差为，，解得或（舍．综上，或．故选：．【例3-2】（2020•辽宁模拟）已知函数，若的最小值为（1），则实数的值不可能是　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意，直接将代入，计算函数的最小值为（2），不合题意，由此即可得出正确选项．【解答】解：当时，，则当时，（1）；当时，，当时取等号；综上，函数的最小值为（2），不合题意；结合单项选择的特征可知，实数的值不可能为1．故选：．【跟踪训练3-1】（2020•江苏模拟）已知函数且的最大值为3，则实数的取值范围是　               ．【分析】利用分段函数的单调性以及函数的最值转化求解即可．【解答】解：函数且，当时，，恒成立，当时，必须恒成立，即：，所以在时是减函数，可得，则，解得，．故答案为：，．【跟踪训练3-2】（2020春•浙江期中）用，表示，两个数中的最小值．设，，则的最大值为　　A． B． C． D．【分析】在坐标系内画出函数，的图象，根据图象求出的最大值．【解答】解：画出函数和的图象如图所示：结合图象，，，故的最大值是（1），故选：．【名师指导】求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．