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第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 (学生版+教师版)
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这是一份第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 (学生版+教师版),文件包含第17讲导数的应用利用导数证明不等式教师版docx、第17讲导数的应用利用导数证明不等式学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共15页, 欢迎下载使用。
第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式 思维导图 知识梳理构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:(1)直接构造法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln x≤x-1,ex≥x+1,ln x<x<ex(x>0),≤ln(x+1)≤x(x>-1);(3)构造“形似”函数:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解. 题型归纳题型1 移项作差构造函数证明不等式【例1-1】(2019·福州调研)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.[解] (1)由f(x)=ex-2x+2a(x∈R),知f′(x)=ex-2.令f′(x)=0,得x=ln 2.当x<ln 2时,f′(x)<0,故函数f(x)在区间(-∞,ln 2)上单调递减;当x>ln 2时,f′(x)>0,故函数f(x)在区间(ln 2,+∞)上单调递增.所以f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞),f(x)在x=ln 2处取得极小值f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a,无极大值.(2)证明:要证当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1,即证当a>ln 2-1且x>0时,ex-x2+2ax-1>0.设g(x)=ex-x2+2ax-1(x≥0).则g′(x)=ex-2x+2a,由(1)知g′(x)min=g′(ln 2)=2-2ln 2+2a.又a>ln 2-1,则g′(x)min>0.于是对∀x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.于是对∀x>0,都有g(x)>g(0)=0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.【跟踪训练1-1】(2020·江西赣州模拟)已知函数f(x)=1-,g(x)=+-bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直.(1)求a,b的值;(2)证明:当x≥1时,f(x)+g(x)≥.【解析】(1)因为f(x)=1-,所以f′(x)=,f′(1)=-1.因为g(x)=+-bx,所以g′(x)=---b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直,所以g(1)=1,且f′(1)·g′(1)=-1,所以g(1)=a+1-b=1,g′(1)=-a-1-b=1,解得a=-1,b=-1.(2)证明:由(1)知,g(x)=-++x,则f(x)+g(x)≥⇔1---+x≥0.令h(x)=1---+x(x≥1),则h(1)=0,h′(x)=-+++1=++1.因为x≥1,所以h′(x)=++1>0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(1)=0,即1---+x≥0,所以当x≥1时,f(x)+g(x)≥.【名师指导】一般地,要证f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递增即可;若F(b)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可. 题型2 构造双函数,利用“若f(x)min>g(x)max,则f(x)>g(x)”证明不等式【例2-1】(2020·菏泽调研)已知函数f(x)=xln x-ax.(1)当a=-1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的最值;(2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x+1>-成立.[解] (1)函数f(x)=xln x-ax的定义域为(0,+∞).当a=-1时,f(x)=xln x+x,f′(x)=ln x+2.由f′(x)=0,得x=.当x∈时,f′(x)<0;当x>时,f′(x)>0.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.因此f(x)在x=处取得最小值,即f(x)min=f=-,但f(x)在(0,+∞)上无最大值.(2)证明:当x>0时,ln x+1>-等价于x(ln x+1)>-.由(1)知a=-1时,f(x)=xln x+x的最小值是-,当且仅当x=时取等号.设G(x)=-,x∈(0,+∞),则G′(x)=,易知G(x)max=G(1)=-,当且仅当x=1时取到,从而可知对一切x∈(0,+∞),都有f(x)>G(x),即ln x+1>-.【跟踪训练2-1】(2020·南京模拟)已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=-3x2+3且f(0)=-1,g(x)=xln x+(a≥1).(1)求f(x)的极值;(2)求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).【解析】(1)依题意得f(x)=-x3+3x-1,f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),知f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是减函数,在(-1,1)上是增函数,所以f(x)极小值=f(-1)=-3,f(x)极大值=f(1)=1.(2)证明:易得x>0时,f(x)最大值=1,由a≥1知,g(x)≥xln x+(x>0),令h(x)=xln x+(x>0),则h′(x)=ln x+1-=ln x+.注意到h′(1)=0,当x>1时,h′(x)>0;当0<x<1时,h′(x)<0,即h(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,h(x)最小值=h(1)=1,即g(x)最小值=1.综上知对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2). 【名师指导】1.在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.2.不等式里既有指数又有对数,求导后不好处理,通常是把指数和对数分开,使得不等式一边是指数,另一边是对数,分别计算它们的最值,利用最值来证明不等式. 题型3 变量代换法证明双变量函数不等式【例3-1】(2020·大连模拟)若b>a>0,求证:ln b-ln a>.[证明] 法一:主元法构造函数f(x)=ln b-ln x-,其中0<x<b,则f′(x)=--=-=-.∵0<x<b,∴f′(x)=-<0,则函数f(x)在(0,b)上单调递减,而b>a>0,故f(a)>f(b)=0,即ln b-ln a>.法二:整体换元法令=t(t>1),构造函数f(t)=ln t-,则f′(t)=+==.∵t>1,∴t2-1>0,t2+2t-1>12+2-1>0,则f′(t)>0,∴f(t)在(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)=0,即ln ->0,从而有ln b-ln a>.法三:函数不等式的对称性原不等式可化为ln b->ln a-,则构造函数f(x)=ln x-(b≥x>a>0),则f′(x)=->-=0,∴f(x)=ln x-在(a,b)上单调递增,即f(b)>f(a),则ln b->ln a-,故ln b-ln a>.【跟踪训练3-1】(2020·郑州模拟)已知函数f(x)=(a∈R),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直.(1)试比较2 0182 019与2 0192 018的大小,并说明理由;(2)若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点x1,x2,证明:x1·x2>e2.【解析】(1)依题意得f′(x)=,所以f′(1)==.易知f′(1)=1,即=1,解得a=0.所以f(x)=(x>0),f′(x)=.令f′(x)>0,即1-ln x>0,解得0<x<e;令f′(x)<0,即1-ln x<0,解得x>e.所以f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).所以f(2 018)>f(2 019),即>,即2 019ln 2 018>2 018ln 2 019,即2 0182 019>2 0192 018.(2)证明:由题意及(1)得g(x)=-k,不妨设x1>x2>0,因为g(x1)=g(x2)=0,所以ln x1-kx1=0,ln x2-kx2=0,可得ln x1+ln x2=k(x1+x2),ln x1-ln x2=k(x1-x2).要证明x1·x2>e2,只需证明ln x1+ln x2>2,即证k(x1+x2)>2.因为k=,所以可转化为证>,即ln>.令=t,则t>1,即证ln t>.令h(t)=ln t-(t>1),则h′(t)=-=>0.所以函数h(t)在(1,+∞)上是增函数,所以h(t)>ln 1-=0,即ln t>得证.所以x1·x2>e2.【名师指导】证明双变量函数不等式的常见思路(1)将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数,构造一个含参数的辅助函数证明不等式.(2)整体换元.对于齐次式往往可将双变量整体换元,化为一元不等式.(3)若双变量的函数不等式具有对称性,并且可以将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性,从而构造函数利用单调性证明.
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