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    第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 (学生版+教师版) 试卷

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    第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 (学生版+教师版)

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    17   导数的应用——利用导数证明不等式 思维导图 知识梳理构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:(1)直接构造法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x))转化为证明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0),进而构造辅助函数h(x)f(x)g(x)(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln xx1exx1ln xxex(x0)≤ln(x1)≤x(x>-1)(3)构造形似函数:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据相同结构构造辅助函数;(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)g(x),利用其最值求解. 题型归纳题型1    移项作差构造函数证明不等式【例1-12019·福州调研)a为实数,函数f(x)ex2x2axR.(1)f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当a>ln 21x>0时,ex>x22ax1.[] (1)f(x)ex2x2a(xR),知f′(x)ex2.f′(x)0,得xln 2.x<ln 2时,f′(x)<0,故函数f(x)在区间(ln 2)上单调递减;x>ln 2时,f′(x)>0,故函数f(x)在区间(ln 2,+∞)上单调递增.所以f(x)的单调递减区间是(ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞)f(x)xln 2处取得极小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a,无极大值.(2)证明:要证当a>ln 21x>0时,ex>x22ax1,即证当a>ln 21x>0时,exx22ax1>0.g(x)exx22ax1(x0)g′(x)ex2x2a,由(1)g′(x)ming′(ln 2)22ln 22a.a>ln 21,则g′(x)min>0.于是对xR,都有g′(x)>0所以g(x)R上单调递增.于是对x>0,都有g(x)>g(0)0.exx22ax1>0,故ex>x22ax1.【跟踪训练1-1(2020·江西赣州模拟)已知函数f(x)1g(x)bx,若曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直.(1)ab的值;(2)证明:当x≥1时,f(x)g(x)≥.【解析】(1)因为f(x)1所以f′(x)f′(1)=-1.因为g(x)bx所以g′(x)=-b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直,所以g(1)1,且f′(1)·g′(1)=-1所以g(1)a1b1g′(1)=-a1b1,解得a=-1b=-1.(2)证明:由(1)知,g(x)=-xf(x)g(x)1x0.h(x)1x(x1)h(1)0h′(x)=-11.因为x1,所以h′(x)1>0所以h(x)[1,+∞)上单调递增,所以h(x)h(1)0,即1x0所以当x1时,f(x)g(x).【名师指导】一般地,要证f(x)>g(x)在区间(ab)上成立,需构造辅助函数F(x)f(x)g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)0,只需证明F(x)(ab)上单调递增即可;若F(b)0,只需证明F(x)(ab)上单调递减即可. 题型2    构造双函数,利用f(x)min>g(x)max,则f(x)>g(x)”证明不等式【例2-12020·菏泽调研)已知函数f(x)xln xax.(1)a=-1时,求函数f(x)(0,+∞)上的最值;(2)证明:对一切x(0,+∞),都有ln x1>成立.[] (1)函数f(x)xln xax的定义域为(0,+∞)a=-1时,f(x)xln xxf′(x)ln x2.f′(x)0,得x.x时,f′(x)0x时,f′(x)0.所以f(x)上单调递减,在上单调递增.因此f(x)x处取得最小值,即f(x)minf=-,但f(x)(0,+∞)上无最大值.(2)证明:当x>0时,ln x1>等价于x(ln x1)>.(1)a=-1时,f(x)xln xx的最小值是-,当且仅当x时取等号.G(x)x(0,+∞)G′(x),易知G(x)maxG(1)=-当且仅当x1时取到,从而可知对一切x(0,+∞),都有f(x)>G(x),即ln x1>.【跟踪训练2-12020·南京模拟)已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=-3x23f(0)=-1g(x)xln x(a≥1)(1)f(x)的极值;(2)求证:对任意x1x2(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2)【解析】(1)依题意得f(x)=-x33x1f′(x)=-3x23=-3(x1)(x1)f(x)(,-1)(1,+∞)上是减函数,在(1,1)上是增函数,所以f(x)极小值f(1)=-3f(x)极大值f(1)1.(2)证明:易得x>0时,f(x)最大值1a1知,g(x)xln x(x>0)h(x)xln x(x>0)h′(x)ln x1ln x.注意到h′(1)0,当x>1时,h′(x)>00<x<1时,h′(x)<0h(x)(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,h(x)最小值h(1)1,即g(x)最小值1.综上知对任意x1x2(0,+∞),都有f(x1)g(x2).  【名师指导】1.在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.2.不等式里既有指数又有对数,求导后不好处理,通常是把指数和对数分开,使得不等式一边是指数,另一边是对数,分别计算它们的最值,利用最值来证明不等式. 题型3    变量代换法证明双变量函数不等式【例3-12020·大连模拟)b>a>0,求证:ln bln a>.[证明] 法一:主元法构造函数f(x)ln bln x其中0<x<bf′(x)=-=-=-.0<x<bf′(x)=-<0,则函数f(x)(0b)上单调递减,而b>a>0,故f(a)>f(b)0,即ln bln a>.法二:整体换元法t(t>1),构造函数f(t)ln t,则f′(t).t>1t21>0t22t1>1221>0,则f′(t)>0f(t)(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)0,即ln >0,从而有ln bln a>.法三:函数不等式的对称性原不等式可化为ln b>ln a则构造函数f(x)ln x(bx>a>0),则f′(x)>0f(x)ln x(ab)上单调递增,即f(b)>f(a),则ln b>ln a,故ln bln a>.【跟踪训练3-12020·郑州模拟)已知函数f(x)(aR),曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线与直线xy10垂直.(1)试比较2 0182 0192 0192 018的大小,并说明理由;(2)若函数g(x)f(x)k有两个不同的零点x1x2,证明:x1·x2e2.【解析】(1)依题意得f′(x),所以f′(1).易知f′(1)1,即1,解得a0.所以f(x)(x0)f′(x).f′(x)0,即1ln x0,解得0xe;令f′(x)0,即1ln x0,解得xe.所以f(x)的单调递增区间为(0e),单调递减区间为(e,+∞)所以f(2 018)f(2 019),即2 019ln 2 0182 018ln 2 019,即2 0182 0192 0192 018.(2)证明:由题意及(1)g(x)k,不妨设x1x20,因为g(x1)g(x2)0,所以ln x1kx10ln x2kx20可得ln x1ln x2k(x1x2)ln x1ln x2k(x1x2)要证明x1·x2e2,只需证明ln x1ln x22,即证k(x1x2)2.因为k,所以可转化为证,即ln.t,则t1,即证ln t.h(t)ln t(t1),则h′(t)0.所以函数h(t)(1,+∞)上是增函数,所以h(t)ln 10,即ln t得证.所以x1·x2e2.【名师指导】证明双变量函数不等式的常见思路(1)将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数,构造一个含参数的辅助函数证明不等式.(2)整体换元.对于齐次式往往可将双变量整体换元,化为一元不等式.(3)若双变量的函数不等式具有对称性,并且可以将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性,从而构造函数利用单调性证明.

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