第27讲 解三角形应用举例（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第27讲 解三角形应用举例（讲）

思维导图

知识梳理

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

3．方向角：相对于某一正方向的水平角．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

区分两种角

(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．

(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．

4．坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

题型归纳

题型1    解三角形的实际应用

【例1-1】（2020春•鼓楼区校级期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为　　

A． B．80 C．160 D．

【分析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出的值，中利用等角对等边求出的值，再在中由余弦定理求出的值．

【解答】解：如图所示：

中，，，，

，由正弦定理，得，解得，

中，，，

，

，，

中，由余弦定理，得

，

，即，两点间的距离为，

故选：．

【例1-2】（2020春•威宁县期末）小华想测出操场上旗杆的高度，在操场上选取了一条基线，请从测得的数据①，②处的仰角，③处的仰角，④，⑤中选取合适的，计算出旗杆的高度为　　

A． B． C． D．

【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出和的长，进一步利用余弦定理的应用求出的长

【解答】解：选①②③⑤，

如图所示：

则，，

设，则，．

在中，

利用余弦定理：，

整理得：，即

故选：．

【例1-3】（2019秋•黄山期末）新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好抵达处时，　　

A． B． C． D．

【分析】依题意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得，从而可得答案．

【解答】解：依题意，作图如下，设由到航行的时间为，则，，

在直角三角形中，，

所以，

所以，

所以，

故选：．

【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期末）为了测量河对岸两地、之间的距离，先在河这岸选择一条基线，测得米，再测得，，，，据此计算、两地之间的距离是　　

A． B． C． D．

【分析】先在直角三角中，求出，然后在三角形中，利用正弦定理求出，最后利用三角形中，利用余弦定理求出的值．

【解答】解：由已知，在三角形中，米，，，．

又在三角形中，米，，，，

由正弦定理得，即，．

所以在中，，

，

．

故选：．

【跟踪训练1-2】（2020春•德州期末）如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：为　　

A．750 B． C．850 D．

【分析】利用直角三角形求出，由正弦定理求出，再利用直角三角形求出的值．

【解答】解：在中，，，所以；

在中，，，从而，

由正弦定理得，，

因此；

在中，，，

由，

得．

故选：．

【跟踪训练1-3】（2020春•萍乡期末）俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为．已知山岭高为36米，则塔高为　　

A．米 B．米 C．米 D．米

【分析】根据题意结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出塔高的值．

【解答】解：如图所示，

在中，，，所以；

在中，，所以，

所以，

即塔高为米．

故选：．

【跟踪训练1-4】（2020•全国Ⅱ卷模拟）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走80米到点处，测得仰角为，再行走80米到点处，测得仰角为．则　　    ．

【分析】画出示意图，知道边长和角度，然后利用，即可求出结论．

【解答】解：如图；

面，，；

由题可得：；；

；

；

；

故答案为：．

【名师指导】

1.测量距离问题的2个策略

(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．

(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

2.高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度．

3.测量角度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

题型2   正、余弦定理在平面几何中的应用

【例2-1】（2020春•垫江县校级期末）如图，在平面四边形中，的面积为，，，，，则　　   ，　　．

【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用，勾股定理的应用求出结果．

【解答】解：连接，

如图所示：

在中，由于，，，

利用余弦定理：，

解得，

所以，

所以．

由于，所以．

已知的面积为，所以，解得．

进一步利用勾股定理的应用：，解得．

故答案为：，

【例2-2】（2020春•天河区期末）如图，在四边形中，，且，，．

（1）求的面积；

（2）若，求的长．

【分析】（1）利用已知条件求出角的正弦函数值，然后求的面积；

（2）利用余弦定理求出，通过的值利用余弦定理求解的长．

【解答】解：（1），，可求：．

．

．

（2），，，

在中，由余弦定理知，，

在中，，可得：，整理可得，

解得：．

【跟踪训练2-1】（2019秋•珠海期末）如图，在中，，，是边上一点，，，则的长为　　

A． B． C．8 D．

【分析】先根据余弦定理求出度数，最后根据正弦定理可得答案．

【解答】解：在中，，，，

由余弦定理得，

因为是三角形内角，

，

在中，，，，

由正弦定理得：．

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020•漳州模拟）如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】设，则由题意可得：，，利用余弦定理表示出，把三边长代入求出的值，进而确定出的值，由，，以及的值，利用正弦定理求出的值即可．

【解答】解：设，则由题意可得：，，

在中，由余弦定理得：，

，

在中，由正弦定理得，，即，

解得：，

故选：．

【跟踪训练2-3】（2020春•泰州期末）如图，在中，角的平分线交于，且．若，，则　　    ．

【分析】不妨令，易知，，然后在中，利用正弦定理，求出，的值，最后在中，利用正弦定理，可求出的值．

【解答】解：在中，角的平分线交于，且．

设，则，，

，即，

整理得，所以：，

结合得，

即，显然是锐角，所以，

．

再由得：，，

解得．

故答案为：．

【跟踪训练2-4】（2020•青岛模拟）如图，在平面四边形中，，，．

（1）若，求四边形的面积；

（2）若，求．

【分析】（1）由已知结合勾股定理可求，然后结合余弦定理可求，再由三角形的面积公式可求；

（2）由已知结合正弦定理可求，然后结合同角平方关系可求，结合特殊角的三角函数值及两角和的正弦公式可求．

【解答】解：（1）连接，在 中，由勾股定理可得，，故，

中，由余弦定理可得，，

因为为三角形的内角，故，

所以，，

故求四边形的面积，

（2）在中，由正弦定理可得，

所以，

因为，所以，，

中，，故，

所以．

【名师指导】

与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路

求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．

具体解题思路如下：

(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

题型3    解三角形与三角函数的综合问题

【例3-1】（2020春•温州期中）设函数，．

（Ⅰ）已知，，函数是偶函数，求的值；

（Ⅱ）设的三边，，所对的角分别为，，，若，，求的面积的最大值．

【分析】把已知函数解析式利用辅助角公式化简．

（Ⅰ）由函数是偶函数，得，进一步得到，恒成立，得到，再由的范围求得值；

（Ⅱ）由求解角，由已知结合余弦定理及基本不等式求得的最大值，则的面积的最大值可求．

【解答】解：．

（Ⅰ）由函数是偶函数，得，

即，

，（舍

或，恒成立．

即，

，，或；

（Ⅱ）由，得，

即，

，，得，即．

由余弦定理可得：，

（当且仅当时取等号），

即．

的面积．

即的面积的最大值为．

【跟踪训练3-1】（2020•遂宁模拟）已知向量，向量，，函数，直线是函数图象的一条对称轴．

（1）求函数的解析式及单调递增区间；

（2）设的内角，，的对边分别为，，，且，，锐角满足，求的值．

【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合函数的对称性周期性，求解函数的解析式．利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可．

（2）利用函数的解析式结合正弦定理余弦定理转化求解即可．

【解答】解：（1），

直线是函数图象的一条对称轴，，，

，，，，

．

由，得，．

单调递增区间为，．

（2）由，得，即，

因为为锐角，所以，所以，即，

又，所以由正弦定理得．①

由余弦定理，得，即．②

由①②解得．

【名师指导】

解三角形与三角函数综合问题的一般步骤