第28讲 平面向量的概念及线性运算（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第28讲 平面向量的概念及线性运算（讲）思维导图 知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量的大小即向量的长度(模)，记为.　　　　　　　　　　　　　　　　 　　2．几种特殊向量 名称定义备注零向量长度为0的向量零向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量　单位向量记作a0，a0＝平行向量方向相同或相反的非零向量(也叫共线向量)0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a，b为相反向量，则a＝－b3．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算　 三角形法则　 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)　数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 题型归纳题型1    平面向量的有关概念【例1-1】（2020春•临川区校级期中）下列说法正确的是（　　）A．零向量没有方向 B．向量就是有向线段 C．只有零向量的模长等于0 D．单位向量都相等【例1-2】（2020春•芮城县月考）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；②若，则；③若，则四边形ABCD是平行四边形；④若，，则；⑤若，，则；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【跟踪训练1-1】（2019春•城关区校级月考）给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若，都是单位向量，则；③向量与相等，则所有正确命题的序号是（　　）A．① B．③ C．①③ D．①②【跟踪训练1-2】（2019春•北碚区期末）下列命题中，正确的个数是（　　）①单位向量都相等；  ②模相等的两个平行向量是相等向量；③若，满足||＞||且与同向，则；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；⑤若∥，∥，则∥．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【跟踪训练1-3】（2019•西湖区校级模拟）下列关于向量的叙述不正确的是（　　）A．向量的相反向量是 B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的 C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则 D．若向量与满足关系，则与共线【跟踪训练1-4】（2019春•民乐县校级月考）下列关于向量的结论：（1）若||＝||，则或；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且||＞||，则．其中正确的序号为（　　）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）【名师指导】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． 题型2    向量的线性运算【例2-1】（2020•海南）在△ABC中，D是AB边上的中点，则（　　）A．2 B．2 C．2 D．2【例2-2】（2020•绥化模拟）已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则（　　）A． B． C． D．【例2-3】（2020春•焦作期末）在正方形ABCD中，点M，N分别满足，，且，则λ＝（　　）A．2 B．1 C． D．【跟踪训练2-1】（2020春•凉山州期末）如图，△ABC中，已知2，则（　　）A． B． C． D．【跟踪训练2-2】（2020•东莞市二模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足，则（　　）A． B． C． D．【跟踪训练2-3】（2020•湖北模拟）△ABC中，点D为BC的中点，，M为AD与CE的交点，若，则实数λ＝（　　）A． B． C． D．【名师指导】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则． 题型3    共线向量定理的应用【例3-1】（2020春•新余期末）已知两个非零向量，不共线，若3，623，48，且A、B、D三点共线，则λ等于　 　．【例3-2】（2019春•西城区校级期中）向量（k，12），（4，5），（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线．  【跟踪训练3-1】（2020•江都区校级模拟）在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，，若，则x+y的值为　　    ．【跟踪训练3-2】（2020•茂名二模）设，是不共线的两个平面向量，已知，，若A，B，C三点共线，则k＝（　　）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【跟踪训练3-3】（2020春•临川区校级期中）设，不共线，，，，若A，C，D三点共线，则实数m的值是（　　）A． B． C． D．【名师指导】利用向量共线定理证明三点共线若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线．[提醒]　(1)使用向量共线基本定理的大前提是至少有一个向量是非零向量．(2)证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．