第30讲 平面向量的数量积（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第30讲 平面向量的数量积（讲）思维导图知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0 题型归纳题型1    平面向量数量积的运算【例1-1】（2020春•南岗区校级期末）已知向量，满足，，则　　A．0 B．2 C．3 D．4 【例1-2】（2020春•临渭区期末）在中，为线段的中点，，，则　　A． B． C．3 D．4【跟踪训练1-1】（2020春•泉州期末）平行四边形中，，，，是线段的中点，则　　A．0 B．2 C．4 D．【跟踪训练1-2】（2020春•道里区校级期末）已知，满足，，的夹角为，则　　     ．【名师指导】求非零向量a，b的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积 题型2    平面向量数量积的应用【例2-1】（2020春•北海期末）已知向量，的夹角为，，，则　　A．1 B． C．3 D．2【例2-2】（2020春•广东期末）已知平面向量，，，则与的夹角为　　A． B． C． D．【例2-3】（2020•太原二模）已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则　　A． B． C． D．【跟踪训练2-1】（2020春•黔南州期末）已知向量，满足，，，，则　　A．2 B．3 C．4 D．6【跟踪训练2-2】（2020春•赤峰期末）已知，是单位向量，若，则与的夹角为　　A． B． C． D．【跟踪训练2-3】（2020春•新余期末）已知向量、满足，，向量，的夹角为，则的值为　　A．4 B．3 C．2 D．【跟踪训练2-4】（2020春•广州期末）已知，，若，则　　  ．【跟踪训练2-5】（2020春•金安区校级期末）已知向量，，且，则　　A． B． C．6 D．8【跟踪训练2-6】（2020•临汾模拟）已知向量，，向量在向量方向上的投影为．若，则实数的值为　　A． B． C． D．【跟踪训练2-7】（2020春•咸阳期末）已知向量，，若，则实数的值为　　A． B．1 C． D．2【跟踪训练2-8】（2020春•密云区期末）已知向量与的夹角为，，，当时，实数为　　A．1 B．2 C． D．【跟踪训练2-9】（2020春•垫江县校级期末）已知，，且，则　　．【跟踪训练2-10】（2020•徐州模拟）已知，，若，则实数的值为　  　．【跟踪训练2-11】（2020•江苏模拟）在中，，若角的最大值为，则实数的值是　  　．【名师指导】1.求平面向量模的2种方法公式法利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解 2.求平面向量夹角的2种方法定义法当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ＝求得坐标法若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]3．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．4．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 题型3    平面向量与三角函数的综合问题 【例3-1】（2020春•辽阳期末）已知向量，，向量，，函数．（1）求的最大值；（2）若，是关于的方程的两根，且，求及的值．      【例3-2】（2020春•北海期末）已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，，时，求函数的最值．     【跟踪训练3-1】（2020春•湛江期末）已知向量，，，．（1）若，求的值；（2）若，则函数的值域．       【跟踪训练3-2】（2020春•沈阳期末）已知，．（1）若，求向量在向量方向的投影的数量．（2）若，且，求向量的坐标．    【名师指导】向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．