第29讲 平面向量基本定理及坐标表示（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第29讲 平面向量基本定理及坐标表示（讲）

思维导图

知识梳理

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.　　　　　　　 　　 　　　　　　　　

 (2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝.

3．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

题型归纳

题型1    平面向量基本定理及其应用

【例1-1】（2020春•荆州期末）中，，点在上，且满足，则实数的值为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意，可设，结合条件整理可得，得到关于与的方程组，解出即可．

【解答】解：如图，

因为，所以

则，

因为在上，不妨设，

则，

因为，

所以，解得，

故选：．

【例1-2】（2020春•密云区期末）如图，在中，．若，则的值为　　，是上的一点，若，则的值为　      　．

【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量共线的充要条件的应用求出结果．

【解答】解：如图：在中，．

所以：，故．

由于点、、三点共线．

所以，

则：，

整理得：，

故：．

所以，解得．

故．

故答案为：．

【跟踪训练1-1】（2020•黄州区校级三模）在中是直线上一点，且，若，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，画出图象，可知．进而求得和的值，算出的值．

【解答】解：如图所示：

．

，

，．

．

故选：．

【跟踪训练1-2】（2020春•金安区校级期末）如图，已知，，，，则

A． B． C． D．

【分析】由图可得，再由，代入化简即可

【解答】解：因为，，

所以，，

由图可得，

因为，

则上式可得，

故选：．

【跟踪训练1-3】（2020春•运城期末）如图，在中，，，若，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．

【解答】解：由图可得，

所以，，

则，

故选：．

【名师指导】

平面向量基本定理的实质及应用思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

题型2    平面向量的坐标表示

【例2-1】（2020•黔东南州模拟）若向量，，则　　

A． B． C． D．

【分析】把 代入可得，，从而求出．

【解答】解：，

，

，，，，

，

故选：．

【跟踪训练2-1】（2020春•南岗区校级期末）设，则　　

A． B． C． D．

【分析】可以得出，然后带人的坐标，进行向量坐标的减法和数乘运算即可．

【解答】解：．

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020春•绍兴期末）平面向量，，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用平面向量坐标运算法则直接求解．

【解答】解：向量，，

，，，．

故选：．

【名师指导】

求解向量坐标运算问题的一般思路

(1)向量问题坐标化

向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．

(2)巧借方程思想求坐标

向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．

(3)妙用待定系数法求系数

利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．

题型3    平面向量共线的坐标表示

【例3-1】（2020•全国Ⅰ卷模拟），为原点，，，则点坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，由向量加法的平行四边形法则可得，求出、的坐标，计算可得答案．

【解答】解：根据题意，中，有，

又由，，则，，

则，则；

故选：．

【例3-2】（2020•九江三模）已知向量，，若，则实数的值为　　   ．

【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出的值．

【解答】解：向量，，

所以，

；

又，

所以，

解得．

故答案为：．

【跟踪训练3-1】（2020•广州二模）已知向量，，若与共线，则实数的值为　  　．

【分析】根据题意，由向量共线的坐标表示公式可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，向量，，

若与共线，则有，解可得；

故答案为：2．

【跟踪训练3-2】（2020•河南模拟）已知向量，，，若，则　　  ．

【分析】根据题意，用坐标表示出，根据两直线平行的坐标表示列式子计算即可得答案．

【解答】解：由题，，，

，

，

．

故答案为：．

【跟踪训练3-3】（2020春•山西月考）已知向量，，，若，，三点共线，则　    　．

【分析】推导出，，由此能求出．

【解答】解：向量，，，

，

，，三点共线，，，

解得．

故答案为：．

【跟踪训练3-4】（2020春•乐山期中）已知平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为　　       ．

【分析】由平行四边形得，根据向量相等求点坐标．

【解答】解：设，由已知，即，，，所以，．

故答案为：．

【名师指导】

平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略

利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．