第32讲 复数（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第32讲   复数

思维导图

知识梳理

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

题型归纳

题型1    复数的有关概念

【例1-1】（2020•新课标Ⅲ）复数的虚部是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：，

复数的虚部是．

故选：．

【例1-2】（2020春•宜宾期末）已知复数满足，且为纯虚数，则　　

A． B． C． D．

【分析】由已知可得，，求得，则答案可求．

【解答】解：由，且满足，

得，①

又为纯虚数，

，代入①，得．

．

故选：．

【例1-3】（2020春•朝阳区期末）已知复数，则的共轭复数等于　　

A．0 B． C． D．

【分析】直接根据共轭复数的定义求解即可．

【解答】解：因为复数，则的共轭复数；

故选：．

【跟踪训练1-1】（2020春•湖南期末）若的实部为，的虚部为，则　　

A．6 B．8 C．7 D．4

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意求得与的值，则答案可求．

【解答】解：，，

，，

则．

故选：．

【跟踪训练1-2】（（2020春•德州期末）已知复数是纯虚数，则实数　　

A． B． C．0 D．1

【分析】把复数化为的形式，再由实部为0且虚部不为0列式求得值．

【解答】解：是纯虚数，

，解得．

故选：．

【跟踪训练1-3】（（2020春•无锡期末）已知复数为虚数单位），则的虚部为　　

A． B． C． D．

【分析】利用虚部的定义即可得出．

【解答】解：由复数为虚数单位），

则的虚部为．

故选：．

【跟踪训练1-4】（（2020春•沙坪坝区校级期中）若复数是纯虚数，其中是实数，则　　   ．

【分析】由复数是纯虚数，列出方程组，求解可得的值，然后代入求出，进而求得答案．

【解答】解：因为复数是纯虚数，其中是实数，

所以：且；故；故；所以：；故答案为：．

【名师指导】

解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.

(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

题型2   复数的几何意义

【例2-1】（2020春•湖北期末）已知复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．

【解答】解：由，得，

，在复平面内对应的点的坐标为，，所在的象限为第四象限．

故选：．

【例2-2】（2020春•开封期末）在复平面内，是坐标原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数的模为　　  ．

【分析】由已知求得的坐标，得到的坐标，进一步求出向量对应的复数，再由复数模的计算公式求解．

【解答】解：向量对应的复数是，，

又点关于实轴的对称点为点，．

向量对应的复数为，该复数的模为．

故答案为：．

【跟踪训练2-1】（2020春•泉州期末）若复数，则复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】根据复数的几何意义先求出对应点的坐标，然后进行判断即可．

【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020春•六盘水期末）复数，则的共轭复数在复平面内所对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】由已知求得，进一步得到的坐标得答案．

【解答】解：，

，则在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．

故选：．

【跟踪训练2-3】（2020春•赤峰期末）复数满足，则在复平面表示的点所在的象限为　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：由，得；

复数在复平面内对应的点的坐标为，，所在的象限为第一象限．

故选：．

【跟踪训练2-4】（2020春•平顶山期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案．

【解答】解：；

在复平面内对应的点的坐标为，，

在复平面内对应的点的坐标为，，位于第四象限．

故选：．

【跟踪训练2-5】（2020春•内江期末）已知复数是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．

【解答】解：，，

复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选：．

【跟踪训练2-6】（2020春•宜宾期末）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第

　    　象限．

【分析】利用虚数单位的运算性质变形，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．

【解答】解：，

，

则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．

故答案为：一．

【名师指导】

1．准确理解复数的几何意义

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤

(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；

(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．

题型3    复数的运算

【例3-1】（2020•新课标Ⅰ）若，则　　

A．0 B．1 C． D．2

【分析】由复数的乘方和加减运算，化简，再由复数的模的定义，计算可得所求值．

【解答】解：若，则，

则，

故选：．

【例3-2】（2020•新课标Ⅲ）若，则　　

A． B． C． D．

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．

【解答】解：由，得，

．故选：．

【例3-3】（2020•新课标Ⅱ）　　

A． B．4 C． D．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：．

故选：．

【跟踪训练3-1】（2020•山东）　　

A．1 B． C． D．

【分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值．

【解答】解：，

故选：．

【跟踪训练3-2】（2020•海南）　　

A． B． C． D．

【分析】根据复数的乘法公式计算．

【解答】解：，

故选：．

【跟踪训练3-3】（2020春•沙坪坝区校级月考）已知复数，则　　

A．2 B．5 C．10 D．18

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．

【解答】解：由，

得．

故选：．

【跟踪训练3-4】（2020•河南模拟）已知，则　　

A． B． C． D．

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：，

．

故选：．

【名师指导】

复数代数形式运算问题的解题策略