第34讲 等差数列及其前n项和（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝eq \f(a＋b,2)，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \f(na1＋an,2) eq \(――→,\s\up7(an＝a1＋n－1d))Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项．
[常用结论]
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)．
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(6)若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2).
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
(9)在等差数列{an}中，若a1>0，d0，d