第37讲 数列的综合应用（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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题型归纳
题型1 数列在数学文化与实际问题中的应用
【例1-1】（2020•北辰区二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为
A．180里B．170里C．160里D．150里
【例1-2】（2020春•河池期末）《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为
A．18B．19C．20D．21
【跟踪训练1-1】（2020春•河南期末）公元1202年意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前项和为，则
A．B．C．D．
【跟踪训练1-2】（2020春•永州期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了
A．64里B．32里C．16里D．8里
【跟踪训练1-3】（2020春•安徽期末）我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有浦生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．浦生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有浦生长1日，长为3尺．莞生长1日，长为1尺．浦的生长逐日减半．莞的生长逐日增加1倍．问几日浦、莞长度相等？”根据上面的已知条件，若浦、莞长度相等时，问浦的长度是
A．4尺B．5尺C．3尺D．6尺
【名师指导】
1．解决数列与数学文化相交汇问题的关键
2．解答数列应用题需过好“四关”
题型2 数列中的新定义问题
【例2-1】（2020春•宿州期末）对于数列，定义为的“最优值”，现已知数列的“最优值” ，记数列的前项和为，则
A．2019B．2020C．2021D．2022
【例2-2】（2020春•武邑县校级期末）定义：若，为非零常数），则称为“差等比数列”．已知在“差等比数列” 中，，，，则的值是
A．B．C．D．
【跟踪训练2-1】（2020•重庆模拟）斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在数学上，斐波那契数列定义如下：，．随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是
A．144厘米B．233厘米C．250厘米D．377厘米
【跟踪训练2-2】（2020•香坊区校级二模）有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，如有504项的数列，，，的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，，，，的“凯森和”为
A．2014B．2016C．2018D．2020
【名师指导】
1．新定义数列问题的特点
通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．
2．新定义问题的解题思路
遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
题型3 数列与函数、不等式的综合问题
【例3-1】（2020春•资阳期末）记数列前项和为，若1，，成等差数列，且数列的前项和对任意的都有恒成立，则的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【例3-2】（2020春•河南期末）已知数列的前项和为，，当时，满足，，成等比数列．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：．
【跟踪训练3-1】（2020春•宣城期末）若数列的通项公式为，则满足的最小的的值为
A．1009B．1010C．1011D．1012
【跟踪训练3-2】（2020春•胶州市期末）在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．
已知等差数列的前项和为，满足： ，．
（1）求的最小值；
（2）设数列的前项和，证明：．
【跟踪训练3-3】（2020春•内江期末）已知数列满足．
（1）求数列的通项；
（2）设，若，求证：．
【名师指导】
1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
2．数列与不等式综合问题的求解策略
解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决．