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第42讲 空间向量及其运算和空间位置关系（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）
展开第42讲 空间向量及其运算和空间位置关系（讲）
思维导图
知识梳理
1．空间向量及其有关概念
概念 | 语言描述 |
共线向量(平行向量) | 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 |
共面向量 | 平行于同一个平面的向量 |
共线向量定理 | 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb |
共面向量定理 | 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb |
空间向量基本定理及推论 | 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 |
2．数量积及坐标运算
(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝.
(2)空间向量的坐标运算：
| a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) |
向量和 | a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) |
向量差 | a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) |
数量积 | a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 |
共线 | a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) |
垂直 | a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |
夹角公式 | cos〈a，b〉＝ |
3．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．
4．空间位置关系的向量表示
位置关系 | 向量表示 | |
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 | l1∥l2 | n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) |
l1⊥l2 | n1⊥n2⇔n1·n2＝0 | |
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m | l∥α | n⊥m⇔n·m＝0 |
l⊥α | n∥m⇔n＝km(k∈R) | |
平面α，β的法向量分别为n，m | α∥β | n∥m⇔n＝km(k∈R) |
α⊥β | n⊥m⇔n·m＝0 | |
题型归纳
题型1 空间向量的线性运算
【例1-1】（2019秋•龙岩期末）如图所示，在平行六面体中，，，，是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是
A． B． C． D．
【例1-2】（2019秋•湘西州期末）如图已知正方体中，是的中点，，，，，则
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【跟踪训练1-1】（2019秋•咸阳期末）已知空间四边形中，，点在线段上，且，点为的中点，则
A． B． C． D．
【跟踪训练1-2】（2019秋•濮阳期末）如图，是三棱锥的底面的重心，若、、，则的值为
A． B． C． D．1
【名师指导】
进行向量的线性运算，有以下几个关键点
(1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系．
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立．
题型2 共线、共面向量定理的应用
【例2-1】（2020春•和平区期中）已知空间向量，1，，，，，且，则实数
A． B． C． D．6
【例2-2】（2019秋•吉安期末）在四面体中，空间的一点满足，若共面，则
A． B． C． D．
【例2-3】（2019秋•驻马店期末）已知空间三点，1，，，3，，，5，在一条直线上，则实数的值是
A．2 B．4 C． D．
【跟踪训练2-1】（2019秋•资阳期末）已知，，若，则
A． B． C． D．
【跟踪训练2-2】（2019秋•内蒙古期末）已知点，2，，，4，，，，三点共线，则 ．
【跟踪训练2-3】（2020春•和平区期中）在下列条件中，使与，，一定共面的是
A． B．
C． D．
【名师指导】
共线、共面向量定理的类比
三点P，A，B共线 | 空间四点M，P，A，B共面 |
＝λ | ＝x＋y |
对空间任一点O，＝＋t | 对空间任一点O，＝＋x＋y |
对空间任一点O，＝x＋(1－x) | 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) |
题型3 空间向量数量积的应用
【例3-1】（2019秋•岳麓区校级期末）棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点．
（1）证明：．
（2）求．
（3）求的长．
【例3-2】（2019秋•天津期末）已知空间向量，，若，则实数
A． B． C．1 D．2
【跟踪训练3-1】（2019秋•梅河口市校级期末）已知，1，，，，，，1，，则
A．18 B． C． D．
【跟踪训练3-2】（2019秋•秦皇岛期末）在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，，，则的长为
A．3 B． C．6 D．
【名师指导】
空间向量数量积的3个应用
求夹角 | 设向量a，b夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 |
求长度(距离) | 利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 |
解决垂直问题 | 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 |
题型4 利用空间向量证明平行或垂直
【例4-1】（2019秋•汉中期末）在边长是2的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求的长
（2）证明：平面；
（3）证明：平面．
【跟踪训练4-1】如图，设为长方形所在平面外一点，在上，在上，若，用向量法证明：直线平面．
【跟踪训练4-2】已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【名师指导】
利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．
(4)根据运算结果解释相关问题．
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