第41讲 直线、平面垂直的判定与性质（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

第41讲 直线、平面垂直的判定与性质（讲）

思维导图

知识梳理

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

题型归纳

题型1    线面垂直的判定与性质

【例1-1】（2019秋•合肥期末）如图，正方体中，

（1）求证：；

（2）求证：平面．

【例1-2】（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：

（1）当时，；

（2）点在平面内．

【跟踪训练1-1】（2019•梅州二模）如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面．

（1）求证：平面．

（2）当，且该多面体的体积为时，求该多面体的表面积．

【跟踪训练1-2】（2019秋•新余期末）如图四棱锥，平面，四边形是矩形，点为侧棱的中点，过、、三点的平面交侧棱于点．

（1）求证：点为侧棱的中点；

（2）若，求证：．

【名师指导】

证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为：

题型2    面面垂直的判定与性质

【例2-1】（2020•新课标Ⅰ）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．

（1）证明：平面平面；

（2）设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．

【例2-2】（2020•江苏）在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．

（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；

（2）求图2中的四边形的面积．

【跟踪训练2-2】（2020春•本溪县期末）在矩形中，，是的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥．

（1）若平面平面，求四棱锥的体积；

（2）若，求证：平面平面．

【名师指导】

1．面面垂直判定的2种方法与1个转化

(1)2种方法：

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．

(2)1个转化：

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

2．面面垂直性质的应用

(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．

(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

题型3    垂直关系中的探索性问题

【例3-1】（2020•红河州二模）在四棱锥中，侧面是等边三角形，且平面平面，，．

（1）上是否存在一点，使得平面平面；若存在，请证明，若不存在，请说明理由；

（2）若的面积为，求四棱锥的体积．

【例3-2】（2019秋•新余期末）如图，是半圆的直径，，为圆周上一点，平面，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，且使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

【跟踪训练3-1】（2020春•东城区期末）在正方体中，，分别为和的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【跟踪训练3-2】（2020•黄山二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，点是与的交点，点在线段上，且．

（1）证明：平面；

（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

【跟踪训练3-3】（2019秋•西湖区校级期末）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）在棱上是否存在一点，使平面平面，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

【名师指导】

(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．

(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．