第45讲 两直线的位置关系（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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思维导图
知识梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两直线相交
(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．
(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解．
(3)平行⇔方程组无解．
(4)重合⇔方程组有无数个解．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) .
题型归纳
题型1 两直线的位置关系
【例1-1】（2020春•金湖县校级期中）若直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2或﹣1D．2
【分析】由两直线平行，可得，求解m值即可．
【解答】解：由直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，
得，解得m＝2．
故选：D．
【例1-2】（2020•黄浦区二模）若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为 ．
【分析】由直线互相垂直，可得a+6＝0，解得a．
【解答】解：∵直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，
∴a+6＝0，解得a＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【跟踪训练1-1】（2019•宝鸡二模）若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．
【分析】由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．
【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，可得，得：m＝1，
故选：A．
【跟踪训练1-2】（2020•江西模拟）已知直线l1：kx+y+3＝0，l2：x+ky+3＝0，且l1∥l2，则k的值 ．
【分析】利用直线与直线平行的性质求解．
【解答】解：∵直线l1：kx+y+3＝0，l2：x+ky+3＝0，且l1∥l2，
∴﹣k＝﹣．
则k＝1或k＝﹣1．
当k＝1时，两直线重合．
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【名师指导】
1．与两直线的位置关系有关的常见题目类型
(1)判断两直线的位置关系．
(2)由两直线的位置关系求参数．
(3)根据两直线的位置关系求直线方程．
2．由一般式确定两直线位置关系的方法
题型2 两直线的交点及距离问题
【例2-1】（2019秋•芜湖期末）若三条直线2x+3y+8＝0，x﹣y﹣1＝0和x+ky＝0交于一点，则k的值为（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
【分析】通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入x+ky＝0，即可求得k的值．
【解答】解：依题意，，
解得，
∴两直线2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0的交点坐标为（﹣1，﹣2）．
∵直线x+ky＝0，2x+3y+8＝0和x﹣y﹣1＝0交于一点，
∴﹣1﹣2k＝0，
∴k＝﹣．
故选：B．
【例2-2】（2020春•包头期末）点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，利用点到直线的距离公式能求出|OP|的最小值．
【解答】解：∵点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，
∴|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，
∴则|OP|的最小值是d＝＝．
故选：B．
【例2-3】（2020春•张家界期末）直线3x+4y﹣3＝0与直线6x+my+9＝0平行，则它们的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m，再利用两条平行直线间的距离公式，求得它们的距离．
【解答】解：∵直线3x+4y﹣3＝0，即 6x+8y﹣6＝0，
它与直线6x+my+9＝0平行，
∴＝≠，求得m＝8，
则它们的距离＝，
故选：B．
【跟踪训练2-1】（2020春•江宁区校级月考）若三条直线2x﹣y＝0，x+y﹣3＝0，mx+ny+5＝0相交于同一点，则点（m，n）到原点的距离的最小值为 ．
【分析】先求出直线2x﹣y＝0，x+y﹣3＝0的交点坐标，代入直线mx+ny+5＝0中，得出关于m，n的直线方程；求出点O（0，0）到直线x+2y+5＝0的距离即可．
【解答】解：由题意，令，解得，
把对应点A（1，2）的坐标代入直线mx+ny+5＝0中，得m+2n+5＝0；
则原点O（0，0）到直线x+2y+5＝0的距离为d＝＝，
所以点（m，n）到原点距离的最小值为．
故答案为：．
【跟踪训练2-2】（2020春•会宁县校级期末）点A（csθ，sinθ）到直线3x+4y﹣4＝0距离的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】由题意利用点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的最值，求得点A（csθ，sinθ）到直线3x+4y﹣4＝0距离的最大值．
【解答】解：点A（csθ，sinθ）到直线3x+4y﹣4＝0距离
为 ＝≤＝，
即点A（csθ，sinθ）到直线3x+4y﹣4＝0距离的最大值为 ，其中，tanα＝，α为锐角，
故选：D．
【跟踪训练2-3】（2020春•广州期末）若两平行直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0之间的距离是，则m+n＝（ ）
A．0B．1C．﹣1D．﹣2
【分析】两直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0平行，可得﹣n﹣2＝0，解得n，再利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：∵两直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0平行，
∴﹣n﹣2＝0，解得n＝﹣2．
又两平行直线x+2y+m＝0（m＞0）与x﹣ny﹣3＝0之间的距离是，
∴＝，解得m＝2．
∴m+n＝0．
故选：A．
【名师指导】
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两平行线间的距离公式．
题型3 对称问题
【例3-1】（2020春•石家庄期末）直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5B．y＝4x﹣5C．y＝4x﹣9D．y＝4x+9
【分析】设直线y＝4x﹣5上的点P（x0，y0）关于点（2，1）的对称点的坐标为（x，y），求出x0，y0，再代入直线y＝4x﹣5中即可得到对称直线的方程．
【解答】解：设直线y＝4x﹣5上的点P（x0，y0）关于点（2，1）的对称点的坐标为（x，y），
所以，，所以x0＝4﹣x，y0＝2﹣y，
将其代入直线y＝4x﹣5中，得到2﹣y＝4（4﹣x）﹣5，
化简，得y＝4x﹣9．
故选：C．
【例3-2】（2020春•钦州期末）点P（2，4）与点Q关于直线l：y＝﹣x+1对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，﹣3）C．（2，0）D．（﹣3，﹣1）
【分析】设出Q点坐标，根据直线PQ与直线l互相垂直，以及线段PQ中点在直线l上，列出方程组，解出x，y即可．
【解答】解：设Q（x，y），则直线PQ⊥l，且线段PQ的中点在l上，
即﹣，解得，
点Q的坐标为（﹣3，﹣1），
故选：D．
【例3-3】（2020春•河北期末）已知直线l：x+y+3＝0，直线m：2x﹣y+6＝0，则m关于l对称的直线方程为（ ）
A．x+6y+3＝0B．x﹣6y+3＝0C．2x+y+6＝0D．x﹣2y+3＝0
【分析】联立，解得交点P（﹣3，0）．在直线m：2x﹣y+6＝0上取点M（0，6），设点M关于直线m的对称点N（a，b），可得，解得a，b，利用点斜式即可得出m关于l对称的直线方程．
【解答】解：联立，解得：x＝﹣3，y＝0，可得交点P（﹣3，0）．
在直线m：2x﹣y+6＝0上取点M（0，6），设点M关于直线m的对称点N（a，b），
则，解得a＝﹣9，b＝﹣3．即N（﹣9，﹣3）．
∴m关于l对称的直线方程为：y﹣0＝（x+3），化为：x﹣2y+3＝0．
故选：D．
【跟踪训练3-1】（2019秋•温州期末）与直线l：2x﹣3y+1＝0关于y轴对称的直线的方程为（ ）
A．2x+3y+1＝0B．2x+3y﹣1＝0C．3x﹣2y+1＝0D．3x+2y+1＝0
【分析】设P（x，y）为要求直线上的任意一点，则点P关于y轴对称的点为（﹣x，y），代入直线l的方程即可得出．
【解答】解：设P（x，y）为要求直线上的任意一点，则点P关于y轴对称的点为（﹣x，y），代入直线l的方程可得：﹣2x﹣3y+1＝0，
化为：2x+3y﹣1＝0，
故选：B．
【跟踪训练3-2】（2020春•朝阳区校级月考）点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1＝0对称的点的坐标为（ ）
A．（2，0）B．（0，2）C．（1，1）D．（﹣1，﹣1）
【分析】设点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1＝0对称的点的坐标为（a，b），可得﹣+1＝0，×1＝﹣1，解出即可得出．
【解答】解：设点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1＝0对称的点的坐标为（a，b），
则﹣+1＝0，×1＝﹣1，
解得a＝b＝﹣1．
∴点（﹣2，0）关于直线x﹣y+1＝0对称的点的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：D．
【跟踪训练3-3】（2020春•包头期末）与直线3x﹣4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0
【分析】首先根据中点坐标公式，可将对称直线上的点表示成已知直线上的点，然后代入已知直线，即可求出对称直线方程．
【解答】解：设直线3x﹣4y+5＝0点Q（x1，y1）关于点M（0，0）对称的直线上的点P（x，y），
∵所求直线关于点M（0，0）的对称直线为3x﹣4y+5＝0，
∴由中点坐标公式得 ＝0，＝0；
解得x1＝﹣x，y1＝﹣y代入直线3x﹣4y+5＝0，
得3（﹣x）﹣4（﹣y）+5＝0，
整理得：3x﹣4y﹣5＝0，
即所求直线方程为：3x﹣4y﹣5＝0．
故选：D．
【名师指导】
1.点关于点对称的求解方法
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．
2.点关于直线对称的解题方法
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于直线l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
3．线关于点对称的求解方法
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．线关于点对称的实质
“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”．
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)