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    第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程(讲) 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 (学生版+教师版) 试卷
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    第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程(讲) 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 (学生版+教师版)

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    这是一份第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程(讲) 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 (学生版+教师版),文件包含第44讲直线的倾斜角斜率与直线的方程讲教师版docx、第44讲直线的倾斜角斜率与直线的方程讲学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共18页, 欢迎下载使用。

    44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程(讲)

    思维导图

    知识梳理

    1直线的倾斜角

    (1)定义:当直线lx轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

    (2)规定:当直线lx轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.

    (3)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0π)

    2斜率公式

    (1)定义式:直线l的倾斜角为α,则斜率ktan α.

     (2)坐标式:P1(x1y1)P2(x2y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率 k. 

    3直线方程的五种形式

     

    名称

    方程

    适用范围

    点斜式

    yy0k(xx0)

    不含垂直于x轴的直线

    斜截式

    ykxb

    不含垂直于x轴的直线

    两点式

    不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)

    截距式

    1

    不含垂直于坐标轴和过原点的直线

    一般式

    AxByC0A2B2≠0

    平面内所有直线都适用

     

    题型归纳

    题型1    直线的倾斜角与斜率

    【例1-12019庐江县期末)直线xcosαy﹣40的倾斜角的取值范围是(  )

    A[0π B 

    C D

    【分析】先求出斜率的范围,再根据倾斜角和斜率的关系,求出倾斜角的取值范围.

    【解答】解:由于直线xcosαy﹣40的斜率为 cosα[﹣11],设倾斜角为θθ[0π),

    tanθ[﹣11]θ[0][π),

    故选:D

    【例1-22020黄冈期末)已知点A﹣2﹣3)和点B﹣10)是平面直角坐标系中的定点,直线ykx+1与线段AB始终相交,则实数k的取值范围是(  )

    A[12] B[﹣21] C[﹣2﹣1] D[1]

    【分析】根据题意,分析可得点AB分别在直线ykx+1的两侧或直线上,由一元二次不等式的几何意义可得(﹣2k+3+1)(k+1≤0,解可得k的取值范围,即可得答案.

    【解答】解:根据题意,直线ykx+1与线段AB始终相交,则点AB分别在直线ykx+1的两侧或直线上,

    则有(﹣2k+3+1)(k+1≤0

    解可得:1≤k≤2,即k的取值范围为[12]

    故选:A

    【跟踪训练1-12020沙坪坝区校级期末)过点A21),Bm3)的直线的倾斜角α的范围是,则实数m的取值范围是(  )

    A0m≤2 B0m4 

    C2≤m4 D0m22m4

    【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围,再由两点求斜率求出AB所在直线的斜率,得到关于m的不等式,求解m的范围,再由m2时直线的倾斜角为,符合题意,则答案可求.

    【解答】解:由直线的倾斜角α的范围是

    得直线的斜率存在时,有k﹣1k1

    kAB

    解得0m22m4

    当直线的斜率不存在时,m2

    综上,实数m的取值范围是(04).

    故选:B

    【跟踪训练1-22020保山期末)已知直线l过点P10)且与线段y2﹣2≤x≤2)有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是(  )

    A.(﹣∞][2+∞ B[﹣2] 

    C.(﹣∞2+∞ D.(2

    【分析】先求出PAPB的斜率,再根据题意求出k的范围.

    【解答】解:如图,

    由于直线l与线段y2﹣2≤x≤2)有交点,

    k≥2,或 k≤﹣

    故选:A

    【名师指导】

    数形结合法

    作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定

    函数图象法

    根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可

    题型2    直线的方程

    【例2-12019佛山期末)已知直线l经过点P﹣12),且倾斜角为135°,则直线l的方程为(  )

    Ax+y﹣30 Bx+y﹣10 Cxy+10 Dxy+30

    【分析】由直线l的倾斜角为135°,所以可求出直线l的斜率,进而根据直线的点斜式方程写出即可.

    【解答】解:直线l的倾斜角为135°

    斜率=tan135°﹣1

    又直线l过点(﹣12),

    直线的点斜式为y﹣2﹣1x+1),

    x+y﹣10

    故选:B

    【例2-2】(多选)2020金湖县校级期中)已知直线l过点P24),在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的方程可能为(  )

    Axy+20 Bx+y﹣60 Cx2 D2xy0

    【分析】分直线l的斜率存在与不存在分类求解得答案.

    【解答】解:当直线l过原点时,直线方程为y2x,即2xy0

    当直线l不过原点时,设直线方程为x+ym,则m2+46

    直线方程为x+y﹣60

    直线l的方程可能为2xy0x+y﹣60

    故选:BD

    【例2-32020镇江期末)已知A32),B﹣23),C45),则ABCBC边上的中线所在的直线方程为(  )

    Ax+y+10 Bx+y﹣10 Cx+y﹣50 Dxy﹣50

    【分析】根据题意,设BC的中点为D,求出D的坐标,进而求出直线AD的斜率,结合直线的点斜式方程分析可得答案.

    【解答】解:根据题意,设BC的中点为D

    又由B﹣23),C45),则D的坐标为(14),

    又由A32),则kAD1

    ABCBC边上的中线所在的直线方程为y﹣2x﹣3),即x+y﹣50

    故选:C

    【例2-42019上饶期末)过点A12)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为(  )

    Axy+10 Bx+y﹣30 

    C2xy0x+y﹣30 D2xy0xy+10

    【分析】讨论直线过原点和不过原点时,分别求出对应的直线方程即可.

    【解答】解:当直线过原点时,可得斜率为k2

    所以直线方程为y2x,即2xy0

    当直线不过原点时,设方程为+1

    代入点(12)可得1,解得a﹣1

    所以直线方程为xy+10

    综上知,所求直线方程为:2xy0xy+10

    故选:D

    【跟踪训练2-12019拉萨期末)如果直线x﹣4y+b0的纵截距为正,且与两坐标轴围成的三角形的面积为8,则b   

    【分析】由题意知,可用斜截式求出直线x﹣4y+b0的方程,得到它与两坐标轴的交点坐标,代入三角形的面积公式进行运算.

    【解答】解:由题意知,直线的方程为 yx+b0),它与两坐标轴的焦点为(0)和(b0),

    它与两坐标轴围成的三角形的面积为 b8

    解得b8

    故答案是:8

    【跟踪训练2-22019兴庆区校级期末)在y轴上的截距为﹣6,且与y轴相交成30°角的直线方程是            

    【分析】与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为ktan60°,或ktan120°,由此能求出y轴上的截距为﹣6,且与y轴相交成30°角的直线方程.

    【解答】解:与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为:

    ktan60°,或ktan120°

    y轴上的截距为﹣6,且与y轴相交成30°角的直线方程是:

    yx﹣6y﹣6

    故答案为:yx﹣6yx﹣6

    【跟踪训练2-32019惠州期末)一条直线经过点,并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍,则这条直线的方程是(  )

    A B 

    C D

    【分析】根据题意,分析直线线的斜率,即可得其倾斜角,进而可得所求直线的倾斜角与斜率,由直线的点斜式方程分析可得答案.

    【解答】解:根据题意,已知直线的斜率k,则其倾斜角为30°

    故所求直线的倾斜角为60°,得出其斜率为

    由直线的点斜式得y)=x﹣2),即

    故选:B

    【名师指导】

    1.求解直线方程的2种方法

    直接法

    根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程

    待定系数法

    设所求直线方程的某种形式;

    由条件建立所求参数的方程()

    解这个方程()求出参数;

    把参数的值代入所设直线方程

    2.谨防3种失误

    (1)应用点斜式斜截式方程时,要注意讨论斜率是否存在.

    (2)应用截距式方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.

    (3)应用一般式AxByC0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.

     

    题型3    直线方程的综合问题

    【例3-12019城关区校级期末)ABC中,A01),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣40AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣30

    1)求直线AB的方程;

    2)求直线BC的方程;

    3)求BDE的面积.

    【分析】(1)由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率,再由点斜式写出AB的直线方程;

    2)先求出点B,点C的坐标,再写出BC的直线方程;

    3)由点到直线的距离求出EAB的距离d,以及BCD的距离BD,计算SBDE即可.

    或求出BEDBE的距离d,计算SBDE

    【解答】解:(1CD所在直线的方程为x+2y﹣40

    直线AB的斜率为2

    AB边所在的直线方程为y﹣12x﹣0),即2xy+10

    2)由,得

    即直线ABAC边中线BE的交点为B2);

    Cmn),

    则由已知条件得

    解得C21);

    所以BC边所在的直线方程为,即2x+3y﹣70

    3EAC的中点,E11),

    EAB的距离为:d

    又点BCD的距离为:BD

    SBDEdBD

    另解:EAC的中点,E11),

    BE

    D),

    DBE的距离为:d

    SBDEdBE

    【跟踪训练3-12020新都区期末)已知ABC的三个顶点坐标为A﹣31),B3﹣3),C17).

    1)求BC边的中线所在直线方程的一般式方程;

    2)求ABC的面积.

    【分析】(1)利用中点坐标公式、两点式即可得出.

    2)三角形的面积公式即可计算得解.

    【解答】解:(1)设BC的中点M的坐标为(xy),

    所以x2y2,即点M的坐标为(22).

    由两点式得:x﹣5y+80

    所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为:x﹣5y+80

    2直线BC的方程为:5x+y﹣120

    dABC|BC|2

    SABC|BC|dABC×2×26

    【名师指导】

    与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

    (1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.

    (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.

    (3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的性质或基本不等式求解.

     

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