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第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程(讲) 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 (学生版+教师版)
展开第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程(讲)
思维导图
知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
(3)范围:直线l倾斜角的取值范围是[0,π).
2.斜率公式
(1)定义式:直线l的倾斜角为α,则斜率k=tan α.
(2)坐标式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率 k=.
3.直线方程的五种形式
名称 | 方程 | 适用范围 |
点斜式 | y-y0=k(x-x0) | 不含垂直于x轴的直线 |
斜截式 | y=kx+b | 不含垂直于x轴的直线 |
两点式 | = | 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2) |
截距式 | +=1 | 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 |
一般式 | Ax+By+C=0,A2+B2≠0 | 平面内所有直线都适用 |
题型归纳
题型1 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】(2019秋•庐江县期末)直线xcosα﹣y﹣4=0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π) B.
C. D.
【分析】先求出斜率的范围,再根据倾斜角和斜率的关系,求出倾斜角的取值范围.
【解答】解:由于直线xcosα﹣y﹣4=0的斜率为 cosα∈[﹣1,1],设倾斜角为θ,θ∈[0,π),
则tanθ∈[﹣1,1],∴θ∈[0,]∪[,π),
故选:D.
【例1-2】(2020春•黄冈期末)已知点A(﹣2,﹣3)和点B(﹣1,0)是平面直角坐标系中的定点,直线y=kx+1与线段AB始终相交,则实数k的取值范围是( )
A.[1,2] B.[﹣2,1] C.[﹣2,﹣1] D.[,1]
【分析】根据题意,分析可得点A、B分别在直线y=kx+1的两侧或直线上,由一元二次不等式的几何意义可得(﹣2k+3+1)(﹣k+1)≤0,解可得k的取值范围,即可得答案.
【解答】解:根据题意,直线y=kx+1与线段AB始终相交,则点A、B分别在直线y=kx+1的两侧或直线上,
则有(﹣2k+3+1)(﹣k+1)≤0,
解可得:1≤k≤2,即k的取值范围为[1,2];
故选:A.
【跟踪训练1-1】(2020春•沙坪坝区校级期末)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是,则实数m的取值范围是( )
A.0<m≤2 B.0<m<4
C.2≤m<4 D.0<m<2或2<m<4
【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围,再由两点求斜率求出AB所在直线的斜率,得到关于m的不等式,求解m的范围,再由m=2时直线的倾斜角为,符合题意,则答案可求.
【解答】解:由直线的倾斜角α的范围是,
得直线的斜率存在时,有k<﹣1或k>1.
又kAB=,
∴或,
解得0<m<2或2<m<4.
当直线的斜率不存在时,m=2.
综上,实数m的取值范围是(0,4).
故选:B.
【跟踪训练1-2】(2020春•保山期末)已知直线l过点P(1,0)且与线段y=2(﹣2≤x≤2)有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣]∪[2,+∞) B.[﹣,2]
C.(﹣∞,﹣)∪(2,+∞) D.(﹣,2)
【分析】先求出PA、PB的斜率,再根据题意求出k的范围.
【解答】解:如图,,,
由于直线l与线段y=2(﹣2≤x≤2)有交点,
故k≥2,或 k≤﹣,
故选:A.
【名师指导】
数形结合法 | 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置,借助图形,结合正切函数的单调性确定 |
函数图象法 | 根据正切函数图象,由倾斜角范围求斜率范围,反之亦可 |
题型2 直线的方程
【例2-1】(2019秋•佛山期末)已知直线l经过点P(﹣1,2),且倾斜角为135°,则直线l的方程为( )
A.x+y﹣3=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y+3=0
【分析】由直线l的倾斜角为135°,所以可求出直线l的斜率,进而根据直线的点斜式方程写出即可.
【解答】解:∵直线l的倾斜角为135°,
∴斜率=tan135°=﹣1,
又直线l过点(﹣1,2),
∴直线的点斜式为y﹣2=﹣1(x+1),
即x+y﹣1=0.
故选:B.
【例2-2】(多选)(2020春•金湖县校级期中)已知直线l过点P(2,4),在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的方程可能为( )
A.x﹣y+2=0 B.x+y﹣6=0 C.x=2 D.2x﹣y=0
【分析】分直线l的斜率存在与不存在分类求解得答案.
【解答】解:当直线l过原点时,直线方程为y=2x,即2x﹣y=0;
当直线l不过原点时,设直线方程为x+y=m,则m=2+4=6,
∴直线方程为x+y﹣6=0.
∴直线l的方程可能为2x﹣y=0或x+y﹣6=0.
故选:BD.
【例2-3】(2020春•镇江期末)已知A(3,2),B(﹣2,3),C(4,5),则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为( )
A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x+y﹣5=0 D.x﹣y﹣5=0
【分析】根据题意,设BC的中点为D,求出D的坐标,进而求出直线AD的斜率,结合直线的点斜式方程分析可得答案.
【解答】解:根据题意,设BC的中点为D,
又由B(﹣2,3),C(4,5),则D的坐标为(1,4),
又由A(3,2),则kAD=1,
故△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为y﹣2=﹣(x﹣3),即x+y﹣5=0;
故选:C.
【例2-4】(2019秋•上饶期末)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为( )
A.x﹣y+1=0 B.x+y﹣3=0
C.2x﹣y=0或x+y﹣3=0 D.2x﹣y=0或x﹣y+1=0
【分析】讨论直线过原点和不过原点时,分别求出对应的直线方程即可.
【解答】解:当直线过原点时,可得斜率为k==2,
所以直线方程为y=2x,即2x﹣y=0;
当直线不过原点时,设方程为+=1,
代入点(1,2)可得﹣=1,解得a=﹣1,
所以直线方程为x﹣y+1=0;
综上知,所求直线方程为:2x﹣y=0或x﹣y+1=0.
故选:D.
【跟踪训练2-1】(2019秋•拉萨期末)如果直线x﹣4y+b=0的纵截距为正,且与两坐标轴围成的三角形的面积为8,则b= .
【分析】由题意知,可用斜截式求出直线x﹣4y+b=0的方程,得到它与两坐标轴的交点坐标,代入三角形的面积公式进行运算.
【解答】解:由题意知,直线的方程为 y=x+(b>0),它与两坐标轴的焦点为(0,)和(﹣b,0),
∴它与两坐标轴围成的三角形的面积为 ••b=8,
解得b=8.
故答案是:8.
【跟踪训练2-2】(2019秋•兴庆区校级期末)在y轴上的截距为﹣6,且与y轴相交成30°角的直线方程是 .
【分析】与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为k=tan60°=,或k=tan120°=﹣,由此能求出y轴上的截距为﹣6,且与y轴相交成30°角的直线方程.
【解答】解:与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为:
k=tan60°=,或k=tan120°=﹣,
∴y轴上的截距为﹣6,且与y轴相交成30°角的直线方程是:
y=x﹣6或y=﹣﹣6.
故答案为:y=x﹣6或y=﹣x﹣6.
【跟踪训练2-3】(2019春•惠州期末)一条直线经过点,并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍,则这条直线的方程是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据题意,分析直线线的斜率,即可得其倾斜角,进而可得所求直线的倾斜角与斜率,由直线的点斜式方程分析可得答案.
【解答】解:根据题意,已知直线的斜率k=,则其倾斜角为30°,
故所求直线的倾斜角为60°,得出其斜率为,
由直线的点斜式得y﹣(﹣)=(x﹣2),即.
故选:B.
【名师指导】
1.求解直线方程的2种方法
直接法 | 根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程 |
待定系数法 | ①设所求直线方程的某种形式; ②由条件建立所求参数的方程(组); ③解这个方程(组)求出参数; ④把参数的值代入所设直线方程 |
2.谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在.
(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点,截距是否为0.
(3)应用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.
题型3 直线方程的综合问题
【例3-1】(2019秋•城关区校级期末)△ABC中,A(0,1),AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0,AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3=0.
(1)求直线AB的方程;
(2)求直线BC的方程;
(3)求△BDE的面积.
【分析】(1)由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率,再由点斜式写出AB的直线方程;
(2)先求出点B,点C的坐标,再写出BC的直线方程;
(3)由点到直线的距离求出E到AB的距离d,以及B到CD的距离BD,计算S△BDE即可.
或求出BE,D到BE的距离d,计算S△BDE.
【解答】解:(1)∵CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0,
∴直线AB的斜率为2,
∴AB边所在的直线方程为y﹣1=2(x﹣0),即2x﹣y+1=0;
(2)由,得,
即直线AB与AC边中线BE的交点为B(,2);
设C(m,n),
则由已知条件得,
解得,∴C(2,1);
∴所以BC边所在的直线方程为=,即2x+3y﹣7=0;
(3)∵E是AC的中点,∴E(1,1),
∴E到AB的距离为:d=;
又点B到CD的距离为:BD=,
∴S△BDE=•d•BD=.
另解:∵E是AC的中点,∴E(1,1),
∴BE=,
由,
得,∴D(,),
∴D到BE的距离为:d=,
∴S△BDE=•d•BE=.
【跟踪训练3-1】(2020春•新都区期末)已知△ABC的三个顶点坐标为A(﹣3,1),B(3,﹣3),C(1,7).
(1)求BC边的中线所在直线方程的一般式方程;
(2)求△ABC的面积.
【分析】(1)利用中点坐标公式、两点式即可得出.
(2)三角形的面积公式即可计算得解.
【解答】解:(1)设BC的中点M的坐标为(x,y),
所以x==2,y==2,即点M的坐标为(2,2).
由两点式得:x﹣5y+8=0.
所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为:x﹣5y+8=0;
(2)∵直线BC的方程为:5x+y﹣12=0.
dA﹣BC==,|BC|==2,
S△ABC=|BC|dA﹣BC=×2×=26.
【名师指导】
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.
(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.
(3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的性质或基本不等式求解.
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