2021--2022学年八年级数学下学期期中模拟卷3（人教版）

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期中考试冲刺卷三
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)在中，斜边，则的值为（   ）
A．6 B．9 C．18 D．36
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理即可求解.
【详解】
在Rt△ABC中，AB为斜边，∴==9
∴=2=18
故选C.
【点睛】
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质.
2．(本题3分)函数中，自变量的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由有意义，可得且，从而可得函数自变量的取值范围.
【详解】
解：根据题意得且，
．
故选：．
【点睛】
本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握“分式有意义的条件，二次根式有意义的条件”是解本题的关键.
3．(本题3分)下面分别给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x函数的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【详解】
解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以D正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了函数图象的读图能力，解题的关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
4．(本题3分)已知的三边分别为a、b、c，且，则的面积为（       ）
A．30 B．60 C．65 D．无法计算
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】
∵的三边分别为a、b、c，且
∴
∴
∴
∴△ABC是直角三角形，且边c的对角∠C=90°，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了算术平方根、绝对值、偶次方的非负性，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能求出a、b、c的值是解此题的关键．
5．(本题3分)如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，则线段的长为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，利用三角形中位线定理可以得到，然后根据勾股定理可以得到BD的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到OC的长．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，，，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点，
∴OE为的中位线，
∴AD=2OE=6，，
∴，
∵点O为BD的中点，，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，利用勾股定理解三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
6．(本题3分)下列命题中，真命题是（       ）．
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线相等的四边形是矩形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理及特殊四边形的判定定理即可作出判断．
【详解】
A选项：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项说法正确，是真命题，所以本选项符合题意；
B选项：两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以本选项说法错误，是假命题，不符合题意；
C选项：两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以本选项说法错误，是假命题，不符合题意；
D选项：两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项说法错误，是假命题，不符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，熟练掌握这些判定定理是解题的关键．
7．(本题3分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE的度数为(       )

A．20° B．22.5° C．27.5° D．30°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质可证明，再由三角形外角性质可证明出，即得出，根据题意即可知是等腰直角三角形，得出，从而求出，最后即可求出的大小．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质，三角形外角性质，等腰直角三角形的判定和性质．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
8．(本题3分)在中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明是矩形，这个条件可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可；
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴平行四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴平行四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴平行四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴不能判定平行四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和菱形的判定，准确分析判断是解题的关键．
9．(本题3分)甲、乙两车匀速从地到地，甲出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止，甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．则下列说法错误的是（       ）

A．甲车的行驶速度为
B．当乙车行驶1.5小时，乙车追上甲车
C．当甲车行驶5小时，甲、乙两车相距
D．、两地的距离为
【答案】D
【解析】
【分析】
A.根据图象可知，甲车在0.5h内通过的路程为30km，进而可以求出甲的速度；
B.根据乙车速度和甲乙两车间的距离可以求出乙追上甲所用的时间；
C.用乙在4.5h内通过的路程减去甲在5h内通过的路程得出甲车行驶5h，两车间的距离；
D.根据乙追上甲后，两车相距90km，所用的时间，可以得出乙车全程所用时间，结合乙车的速度，即可得出两地间的距离．
【详解】
Ａ．根据图象可知，甲车在0.5h内通过的路程为30km，所以甲车的速度为：，故A正确，不符合题意；
B.由于乙车开始运动时，甲、乙两车之间的距离为30km，乙车的速度为80km/h，所以乙车追上甲车所用时间为：，即乙车出发1.5h后追上甲车，故B正确，不符合题意；
C.甲车行驶5h时，行驶的距离为，甲车行驶5h时，乙车行驶了，此时乙车行驶的距离为：，因此当甲车行驶5h时，甲、乙两车相距，故C正确，不符合题意；
D.由于甲、乙两车相距最远时，乙车到达终点，此时甲、乙两车相距90km时，乙车追上甲车后，又行驶的时间为：，因此乙车全程所用时间为：，A、B两地的距离为，故D错误，符合题意．
故选：D．
10．(本题3分)将图1所示的长方形纸片对折后得到图2，图2再对折后得到图3，沿图3中的虚线剪下并展开，所得的四边形是（　　）

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据操作过程可还原展开后的纸片形状，并判断其属于什么图形．
【详解】

展得到的图形如上图，
由操作过程可知：AB=CD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，和菱形的判定，拥有良好的空间想象能力是解决本题的关键．
11．(本题3分)如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据求出x得到CD的长，利用面积求出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，
∴，
由折叠得AE=AB=5，DE=BD，
设CD=x，则BD=4-x，
在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，
∵，
∴，
解得x=1.5，
∴CD=1.5，
∴图中阴影部分的面积是，
故选：B．
【点睛】
此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
12．(本题3分)有五根小木棒，其长度分别为7，15，24，25，现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．
【详解】
解：∵72=49，242=576，202=400，152=225，252=625，
∴72+242=252，152+202≠242，152+202=252，
∴A错误，B错误，C错误，D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．
第II卷（非选择题）
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二、填空题(共24分)
13．(本题4分)如图，在数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，点A对应的数是1，以点A为圆心，正方形对角线AB为半径画圆，圆与数轴的交点对应的数是 _____．

【答案】或．
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式得出面积为1，根据正方形面积公式为对角线AB乘积的一半求出正方形的对角线长，利用点A的位置，得出圆与数轴的交点对应的数即可．
【详解】
解：∵以单位长度为边长画一个正方形，
∴正方形面积为1，
∴，
∴AB=，
∵点A在1的位置，
∴圆与数轴的交点对应的数为或．
故答案为或．
【点睛】
本题考查数轴上点表示数，正方形性质，算术平方根，图形旋转，掌握数轴上点表示数，正方形性质，图形旋转特征是解题关键
14．(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点坐标是，则顶点的坐标是______．

【答案】
【解析】
【分析】
利用两点间的距离公式确定菱形的边长，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，运用勾股定理确定AD的长，根据坐标的定义确定点B的坐标即可．
【详解】
过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵菱形的顶点坐标是（3，4），

∴AB=OC==5，BD=4，
∴AD==3，
∴OD=OA+AD=5+3=8，
∴顶点的坐标是（8，4）．
故答案为：（8，4）．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，两点间的距离公式，坐标的定义，熟练掌握菱形的性质，灵活运用勾股定理，两点间的距离公式是解题的关键．
15．(本题4分)如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是 ____________．

【答案】5
【解析】
【分析】
根据四边形APCQ是平行四边形得到AQ=PC，再由垂线段最短得到AQ值最小即，根据面积求PC即可．
【详解】
四边形APCQ是平行四边形，
，
由垂线段最短可得，当时，AQ值最小，
，面积是25，
，
，
故答案为：5．
【点睛】
本题利用三角形面积考查平行四边形相关知识点，关键是利用垂线段最短可得AQ的最小值．
16．(本题4分)如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________．

【答案】1
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得S△AOE＝S△BOF，可得四边形BEOF面积＝S△AOB，即可求解．
【详解】
解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，
∴△AOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△BOF，
∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
17．(本题4分)平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为_____．
【答案】14＜α＜26
【解析】
【分析】
首先根据题意画出图形，然后由平行四边形的性质，可得OC=AC=3，BD=2OB，再由三角形三边关系，即可求得答案．
【详解】
如图，


若▱ABCD中，BC=10，AC=6，
∴OC=AC=3，BD=2OB，
∴10-3＜OB＜10+3，
即7＜OB＜13，
∴14＜BD＜26，
即它的另一条对角线长a的取值范围为：14＜α＜26．
故答案为：14＜α＜26．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
18．(本题4分)甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的函数关系如图所示，则下列结论正确是 _____．（填序号）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
③甲、乙两人之间的距离为40米时，甲出发的时间为55秒和90秒；
④乙到达终点时，甲距离终点还有80米．

【答案】①②③
【解析】
【分析】
利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；分甲、乙第一次相遇后，乙到达终点前和乙到底终点后两种情况讨论求解即可判断③；根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可
【详解】
解：①∵乙用80秒跑完400米
∴乙的速度为=5米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，
∴甲的速度为米/秒，
∴设乙追上甲所用时间为t秒，
5t-4t=12，
∴t=12秒，
∴12×5=60米，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
故②正确；
③当甲、乙第一次相遇后，乙未到终点前时，甲乙距离为40米，
由题意得，
解得，即乙出发52秒时，甲乙距离为40米，
∴甲出发55秒时，甲乙距离为40米；
当甲、乙第一次相遇后，乙到终点后，甲乙距离为40米，
由题意得，
解得，即乙发出后第87秒，甲乙距离为40米，
∴甲出发90秒，甲乙距离为40米，故③正确；
④乙到达终点时，
甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，
甲距离终点还有68米．
故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获取信息，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出发时间，拐点的意义是解题关键．
三、解答题(共60分)
19．(本题8分)如图，在的方格纸ABCD中画格点三角形与格点四边形（三角形与四边形顶点在格点上）．


(1)图1中画一个格点，使各边为无理数的直角三角形．
(2)图2中画一个格点四边形EFPQ，使四边形EFPQ的各边为互不相等的无理数且对角线互相垂直．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据网格的特点，根据勾股定理及其逆定理求得，作出即可；
（2）根据题意画一个格点四边形EFPQ，使四边形EFPQ的各边为互不相等的无理数且对角线互相垂直．
(1)
如图，，
，
是各边为无理数的直角三角形，

(2)
如图，
，，，
四边形EFPQ的各边为互不相等的无理数且对角线互相垂直．

【点睛】
本题考查了勾股定理与网格，在网格中判断直角三角形，无理数，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．(本题8分)如图，五边形ABCDE是某学校的一块空地，校方计划沿AC、AD修两条小路，并在△ACD内种植某种草皮，经测量，△ABC和△ADE恰好为两个等腰直角三角形，且∠B＝∠E＝90°，米，米，CD＝30米．求种植草皮部分（△ACD）的面积．

【答案】600平方米
【解析】
【分析】
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，分别利用勾股定理求出AC与AD的长，由勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形，即可求出种植草皮部分（△ACD）的面积．
【详解】
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠B＝∠E＝90°，
∴米，米，
∴米，米．
∵CD＝30米，
∵
∴．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴（平方米）．
即种植草皮部分（△ACD）的面积为600平方米．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理的内容，会熟练应用是解题的关键．
21．(本题8分)在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE．

(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB=BC时，求∠AFD的度数．
【答案】(1)见详解；
(2)∠AFE=75°．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD为正方形，AB=DC，∠FAD=90°=∠CDA，根据点E为DF中点．得出AE=FE=DE，可证∠BAE=∠CDE即可；
（2）根据△AEB≌△DEC；得出BE=CE，可证BC=BE=CE，得出∠EBC=∠ECB=∠BEC=60°再求出∠EBF=90°-∠EBC=90°-60°=30°，∠DEC=∠EDC=，∠FEB=45°即可．
(1)
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=DC，∠FAD=90°=∠CDA，
∵点E为DF中点．
∴AE=FE=DE，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠BAE-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE，
在△AEB和△DEC，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）；
(2)
解：∵△AEB≌△DEC；
∴BE=CE，
∵EB=BC，
∴BC=BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB=∠BEC=60°
∴∠EBF=90°-∠EBC=90°-60°=30°，∠ECD=90°-∠ECB=90°-60°=30°，
∵CE=BC=CD，
∴∠DEC=∠EDC=，
∴∠FEB=180°-∠BEC-∠CED=180°-60°-75°=45°，
∵∠AFE为△FBE的外角，
∴∠AFE=∠FBE+∠FEB=30°+45°=75°．
【点睛】
本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，等边对角线判定与性质，等腰三角形判定与性质，平角性质，三角形外角性质，直角三角形斜边中线性质，掌握正方形的性质，三角形全等判定与性质，等边对角线判定与性质，等腰三角形判定与性质，平角性质，三角形外角性质，直角三角形斜边中线是解题关键．
22．(本题8分)“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点D在BC上，且，这样就可以得出与的大小关系，请说出你的答案并结合图形通过计算说明理由．

【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理求得AB= ，AD=，然后利用三角形三边关系得出结果．
【详解】
解：在直角△ABC中，∠C=90°，
∴AB= ，
∵CD=BC-BD=2
由勾股定理得：AD= ，
在△ABD中，∵AD+BD＞AB，
∴．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理主要有两个作用：已知两边求出第三边，把勾股定理作为等量关系列方程．
23．(本题8分)为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时，采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家四、五月份的用水量及收费情况如下表：
月份
用水量（吨）
水费（元）
4
22
51
5
20
45

(1)求该市每吨水的基本价和市场价．
(2)设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．
(3)小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？
(4)若小兰家7月份的水费为165元，则她家7月份用水多少吨？
【答案】(1)该市每吨水的基本价和市场价分别为：2元/吨，3元/吨
(2)当n≤15时，m＝2n，当n＞15时，m＝3n﹣15
(3)要缴水费63元
(4)她家7月份用水60吨
【解析】
【分析】
（1）利用已知得出4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，求出市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）＝3（元/吨），进而得出每吨水的基本价；
（2）利用（1）中所求不同水价，再利用当n≤15时，m＝2n，当n＞15时，分别求出即可；
（3）根据（1）中所求得出，用水量为26吨时要缴水费；
（4）把m＝165代入m＝3n﹣15即可得到结论．
(1)
解：根据当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费，
∵4月份用水22吨，水费51元，5月份用水20吨，水费45元，
∴市场价收费标准为：（51﹣45）÷（22﹣20）＝3（元/吨），
设基本价收费为x元/吨，
根据题意得出：15x+（22﹣15）×3＝51，
解得：x＝2，
故该市每吨水的基本价和市场价分别为：2元/吨，3元/吨；
(2)
解：当n≤15时，m＝2n，
当n＞15时，m＝15×2+（n﹣15）×3＝3n﹣15；
(3)
解：∵小兰家6月份的用水量为26吨，
∴她家要缴水费15×2+（26﹣15）×3＝63元；
(4)
解：当m＝165元时，3n﹣15＝165，
∴n＝60吨，
答：她家7月份用水60吨．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用，解题关键是分段函数的写法以及求自变量时把函数值正确代入相对应的函数．
24．(本题8分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．

(1)如图1，若∠BAE＝30°，AE＝3，求菱形ABCD的周长及面积；
(2)如图2，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；
(3)如图3，设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．
【答案】(1)周长为 ，面积为
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质可得 ，再由勾股定理可得 ，从而得到 ，即可求解；
（2）根据菱形的性质和AE⊥BC，AF⊥CD，可得△ABE≌△ADF，从而得到BE=DF，进而得到CE=CF，则有∠CBF=∠CBD=（180°-∠C），即可求证；
（3）连接CG，可先证明△ADG≌△CDG，可得到AG=CG，△ADG和△CDG的面积相等，从而得到S1﹣S2=S△CEG，再由勾股定理可得 ，然后设 ，则 ，根据勾股定理可得 ，即可求解．
(1)
解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，
∴ ，
∵AE＝3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ ，
∴菱形ABCD的周长为 ，面积为 ；
(2)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=∠ADF，AB=AD=BC=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
∵∠ABE=∠ADF，∠AEB=∠AFD，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠CBF=∠CBD=（180°-∠C），
∴EF∥BD；
(3)
解：连接CG，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADG=∠CDG，AD=CD，
在△ADG和△CDG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG， DG=DG，
∴△ADG≌△CDG，
∴AG=CG，△ADG和△CDG的面积相等，
∴S1﹣S2=S△CEG，
∵CE＝4，BE＝8，
∴AB=BC=CE+BE=12，
∵AE⊥BC，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，即 ，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
25．(本题12分)如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是  ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB=AD，CB=CD．
(2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即， 如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2=AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由．
(3)问题解决：如图2．在△ABC中，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．
【答案】(1)③④
(2)正确，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用垂美四边形的定义依次判断，可求解；
（2）由勾股定理可得结论；
（3）由三角形中位线定理可得AD＝AC＝2，BE＝BC＝，DE＝AB，由垂美四边形的性质可求解．
(1)
①平行四边形的对角线不一定互相垂直，所以平行四边形不一定是垂美四边形；
②矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，所以矩形不是垂美四边形；
③菱形的对角线互相垂直，所以菱形是垂美四边形；
④∵四边形ABCD中AB=AD，CB=CD，
∴点A、C在线段BD的垂直平分线上，
∴AC⊥BD，
∴当四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD时，四边形是垂美四边形；
综上分析可知，在四边形ABCD中，是垂美四边形的是③④；
(2)
猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COD=∠BOC=∠AOD=90°，
∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，BC2=OB2+OC2，AD2=OA2+OD2，
∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
(3)
∵BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，
∴AD=AC=2，BE=BC=，DE=AB，
∵AE⊥BD，
∴AB2+ED2=AD2+BE2，
∴AB2=4+，
∴AB=．
【点睛】
本题为四边形综合题，主要考查的是菱形的性质，垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．