备考2022中考数学一轮专题复习学案19 四边形

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备考2022中考数学一轮专题复习学案19
四边形

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
多边形
①探索并了解多边形内角和与外角和公式；②通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计
常以选择题、填空题的形式考查多边形的内角和、外角和以及平面镶嵌
2
平行四边形
掌握平行四边形的概念和性质以及一个四边形是平行四边形的条件
常以选择题、填空题、证明题的形式考查
平行四边形的判定和性质，有时也以探究性试题的形式考查
3
矩形、菱形、正方形
掌握矩形、菱形、正方形的概念和性质以及四边形是矩形、菱形、正方形的条件，了解它们之间的关系
常以选择题、填空题、解答题的形式考查矩形、菱形、正方形的性质和判定，注重图形变换的考查，部分地市以探究性试题的形式考查
4
梯形
探究并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件
常以选择题、填空题、解答题的形式考查
梯形的判定和性质，注重梯形中辅助线作法的考查，部分地市以探究性试题的形式考查

知识点1：多边形


知识点梳理

1.多边形：
（1）内角和：n边形的内角和为(n－2) ×180°. 四边形的内角和等于360°
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°．
（3）对角线：在多边形中连接互不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
①n边形共有条对角线．
②从一个顶点出发的对角线把n边形分成 (n-2)个三角形．
（4）不稳定性：n边形(n>3)具有不稳定性．
【温馨提示】(1)多边形的外角和与边数无关；(2)多边形的内角中最多有3个锐角．
2.正多边形：
（1）边：各条边都相等．
（2）内角：各个内角都相等，且正n边形的每个内角为．
（3）外角：各个外角相等，且正n边形的每个外角为．
（4）对称性：①正多边形都是　轴　对称图形，其中边数为偶数的正多边形也是 中心 对称图形．②正n边形有　n　条对称轴 
3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) ．平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和为360°时，可以平面镶嵌．
典型例题

【例1】（2019·福建）已知正多边形的一个外角等于36°，则该正多边形的边数为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】B．
【解答】n＝＝10，故选B.
【例2】（2019·株洲）如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝______度．

【答案】66．　
【解答】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝(5－2)×180°÷5＝108°．∵AP是∠EAB的平分线，∴∠PAB＝∠EAB＝54°．∵∠ABP＝60°，∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝66°．
知识点2： 平行四边形


知识点梳理

1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的邻角互补，对角相等．
（2）平行四边形的对边平行且相等．
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．
（3）平行四边形的对角线互相平分．
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．
3.平行四边形的判定：
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4.面积： S=ah(a表示一条边长，h表示此边上的高)
5.相关结论：
（1）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成 面积相等 的四个三角形； 
（2）同底等高的平行四边形的面积相等；
（3）若一条直线过平行四边形的对角线的交点，则这条直线等分平行四边形的面积．
典型例题

【例3】（2019·遂宁）如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若□ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ ）
A. 28 B. 24 C. 21 D. 14

【答案】D．　
【解答】在□ABCD中，OB＝OD，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∴△ABE的周长AB＋AE＋BE＝ AB＋AE＋DE＝AB＋AD，即为□ABCD周长的一半，∴△ABE的周长为14，故选择D.
【例4】（2019·威海）如图，E是□ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（ ）
A. ∠ABD＝∠DCE B. DF＝CF
C. ∠AEB＝∠BCD D. ∠AEC＝∠CBD

【答案】C．
【解答】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.若∠ABD＝∠DCE，则∠DCE ＝∠BDC，∴EC∥BD，∴四边形BCED为平行四边形
√
B
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC， ∠EDC＝∠DCB.若DF＝CF，则△DEF≌△CBF(AAS)，∴EF＝BF，∴四边形BCED为平行四边形
√
C
∠AEB＝∠BCD不能证明四边形BCED为平行四边形
×
D
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，若∠AEC＝∠CBD，∴∠ADB＝∠AEC，∴EC∥BD，∴四边形BCED为平行四边形
√
知识点3： 矩形、菱形、正方形


知识点梳理

1．矩形：
（1）矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
（2）矩形的性质：
①具有平行四边形的一切性质
②矩形的四个角都是直角
③矩形的对角线相等
④矩形既是轴对称图形，它有两条对称轴；又是中心对称图形，它的对称中心是　对角线的交点　
（3）矩形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
（4）矩形的有关计算：
①周长C矩形=2(a+b) (其中a为长，b为宽)；
②面积S矩形=长×宽=ab (其中a为长，b为宽)
2．菱形：
（1）菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
（2）菱形的性质：
①具有平行四边形的一切性质
②菱形的四条边相等
③菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线，对称中心是 对角线的交点
（3）菱形的判定：
①定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
②定理1：四边都相等的四边形是菱形
③定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（4）菱形的有关计算：
①周长C菱形=4a (其中a为边长)；
②面积S菱形=ah=两条对角线乘积的一半 (其中a为边长，h为此边上的高)
3．正方形：
（1）正方形的概念：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质：
①具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质
②正方形的四个角都是直角，四条边都相等
③正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
④正方形是轴对称图形，有4条对称轴，又是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
⑤正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形
⑥正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等．
（3）正方形的判定：
①判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证有一组邻边相等．
先证它是菱形，再证有一个角是直角．
②判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：
先证明它是平行四边形；
再证明它是菱形（或矩形）；
最后证明它是矩形（或菱形）
（4）正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=

4.梯形：
（1）梯形的概念：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
（2）等腰梯形的性质：
①等腰梯形的两腰相等，两底平行．
②等腰梯形的两条对角线相等．
③等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线．
（3）等腰梯形的判定：
①定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
②定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
③对角线相等的梯形是等腰梯形．
（4）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
典型例题

【例5】（2019·重庆）下列命题正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A．
【解析】根据矩形的判定定理可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A正确；四条边相等的四边形是菱形，不是矩形，故B错误；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，故C错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故D错误．
【例6】（2019·呼和浩特）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（ ）
A. 2　　B. 2　　C. 4　　D. 2
【答案】C．
【解析】菱形对角线互相垂直且平分，因此另一条对角线长为2＝4.
【例7】（2019·毕节）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（ ）
A. 　　　B. 3　　　C. 　　　D. 5

【答案】B．
【解析】在Rt△BCE中，BC＝＝，∴正方形ABCD的面积为()2＝3.
知识点4： 中点四边形


知识点梳理

1．中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.中点四边形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理.
2. 常见结论如下：
原四边形的形状
中点四边形的形状
任意四边形
平行四边形
平行四边形
平行四边形
矩形
菱形
菱形
矩形
正方形
正方形
典型例题

【例8】（2019·娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形
C. 矩形 D. 正方形
【答案】C．
【解答】如下图，顺次连接任意四边形的四边中点，得到的四边形一定是平行四边形；如果原四边形的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；如果原四边形的对角线互相垂直，则可得中点四边形的邻边垂直，即是矩形．菱形的对角线互相垂直，所以顺次连接它的中点得到的四边形是矩形．

巩固训练

1．（2019·河北省二模）下列图形中，内角和与外角和相等的多边形是（ ）

2.（2019·甘肃省卷）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（ ）
A. 180°　　B. 360°　　C. 540°　　D. 720°
　
3.（2019河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（ ）
A. 1 B. C. D. 2

4.（2019·保定高阳县演练）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB＝（ ）
A. 36° B. 72° C. 108° D. 144°

5.（2019·广州）如图，□ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点．则下列说法正确的是（ ）
A. EH＝HG
B. 四边形EFGH是平行四边形
C. AC⊥BD
D. △ABO的面积是△EFO的面积的2倍

6.（2019·武汉）如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小是________．

7.（2019·天津）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A. B. 4 C. 4 D. 20

8.（2019·呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A，B，C，D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（ ）
A. （－2，），（2，－） B. （－，2），（，－2）
C. （－，2），（2，－） D. （－，），（，－）
9.（2019·扬州）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝________．

10.（2019·荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2.
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥BC.

11.（2019·滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

12.（2019·内江）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE＝5，请求出EF的长．

巩固训练参考答案

1．【答案】B．　
【解答】设多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝360°，解得n＝4，故选B.
2．【答案】C　
【解答】根据多边形的内角和公式，正五边形的内角和为180°×(5－2)＝540°，故选C.
3．【答案】D　
【解答】如下图，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，∵多边形ABCDEF为正六边形，∴AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠ABH＝60°，AH＝CH＝AC＝.在Rt△ABH中，AB＝＝＝2.

4．【答案】C　
【解答】如下图，∵正五边形的每个外角是360°÷5＝72°，∴∠OCD＝∠ODC＝72°，∴∠COD＝36°，又∵正五边形每个内角是108°，∴∠AOB＝360°－108°－108°－36°＝108°.

5．【答案】B　
【解答】∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，HG∥CD且HG＝CD.∵AB∥CD且AB＝CD，∴EF∥HG且EF＝HG，故四边形EFGH是平行四边形．
6．【答案】 21°　
【解答】设∠CAD＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CAD＝∠ACB＝x.∵∠ADF＝90°，AE＝EF，∴AE＝DE，∠CAD＝∠ADE＝x，∴∠DEC＝∠CAD＋∠ADE＝2x.又∵AE＝DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝2x.∴∠DCE＋∠ACB＝2x＋x＝63°，解得x＝21°，∴∠CAD＝21°，∴∠ADE＝21°.
7．【答案】 C　
【解答】∵A(2，0)，B(0，1)，∴OA＝2，OB＝1，在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝＝，∵四边形ABCD为菱形，∴菱形ABCD的周长为4AB＝4.
8．【答案】B　
【解答】如下图所示，分别过点B，A作BE⊥OE，AF⊥OF，垂足分别为点E，F.∴△BOE≌△AOF.∴BE＝AF＝，OE＝OF＝2.∴点B的坐标为(－，2)．∵点D与点B关于原点中心对称，∴点D的坐标为(，－2)．故选B.

9．【答案】　
【解答】 如下图，连接FC，则MN＝CF，在Rt△CFG中，FG＝BE＝5，CG＝5＋7＝12，∴FC＝＝13，∴MN＝.

10．【解答】(1)解：如下图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，
设BE＝x，CE＝h，
在Rt△CEB中，x2＋h2＝9①，
在Rt△CEA中，(5＋x)2＋h2＝52②，
联立①②解得：x＝，h＝，
∴平行四边形ABCD的面积为AB·h＝5×＝12；

(2)证明：如下图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，

易得△ADF≌△BCE，∴AF＝BE＝，BF＝AB－AF＝5－＝，DF＝CE＝，
在Rt△DFB中，
BD2＝DF2＋BF2＝()2＋()2＝16，
∴BD＝4.
又∵BC＝3，DC＝5，
∴DC2＝BD2＋BC2.
∴△BCD为直角三角形，∠DBC＝90°.
∴BD⊥BC.
11．【解答】 (1)证明：由折叠性质可知△FGE≌△CGE，EF＝EC，FG＝GC，∠FEG＝∠CEG，
∵FG∥CD，
∴∠FGE＝∠GEC.
∴∠FGE＝∠FEG.
∴EF＝FG.
∴FG＝GC＝CE＝EF，
即四边形CEFG为菱形；
(2)解：在矩形ABCD中，∵AB＝6，AD＝10.
∴BC＝BF＝10.
在Rt△ABF中，AB＝6，BF＝10，
∴AF＝8，
∴FD＝AD－AF＝2，
设CE＝x，则EF＝x，DE＝6－x，
在Rt△FED中，FD2＋ED2＝EF2，
∴22＋(6－x)2＝x2，解得x＝.
∴S菱形CEFG＝CE·FD＝×2＝.
12．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°.
∴∠B＝∠ADF＝90°.
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF；
(2)解： ∵△ABE≌△ADF，
∴AF＝AE＝5，∠FAD＝∠BAE.
∴∠FAE＝∠BAD＝90°.
∴EF＝＝5.