备考2022中考数学一轮专题复习学案21 图形的变化

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备考2022中考数学一轮专题复习学案21
图形的变化

中考命题说明



考点
课标要求
考查角度
1
图形的平移
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质；②能按要求作出简单平面图形平移后的图形．利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用
常以选择题、填空题的形式考查图形平移的概念和性质，以解答题的形式考查平移作图和相关计算
2
图形的轴对称
①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；②能够作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；③探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关性质．能利用轴对称进行图案设计
常以选择题、填空题的形式考查轴对称图形的概念和性质，以解答题的形式考查轴对称作图和相关的推理计算
3
图形的旋转
①通过具体实例认识旋转，了解中心对称的概念，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；③探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)．灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计
多以选择题、填空题、解答题的形式考查图形的旋转、中心对称的概念和性质，有时将图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转综合起来考查
4
图形的相似
①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割；②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件；④通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题
常以选择题、填空题、解答题的形式考查比例的基本性质、相似图形的性质和判定，近年来部分地市常结合函数、三角形、四边形等知识以综合题的形式考查
5
图形的位似
了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小
常以选择题、填空题、作图题的形式考查图形的位似，一般为低中档题

知识点1：图形的平移


知识点梳理

1．平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.
2．平移的性质：
（1）平移不改变图形的大小和形状，平移前后的图形全等．但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；
（2）图形平移后，对应线段相等且平行，对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向相同；
（3）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等.
3.确定一个平移运动的条件是：平移的方向和距离
4.平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．
5.画平移图形：必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．
典型例题

【例1】（2019·乐山）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是(　　)

【答案】D．
【解答】
选项
逐项分析
正误
A
可由原图通过逆时针旋转90°得到
×
B
可由原图通过逆时针或顺时针旋转180°得到
×
C
可由原图通过顺时针旋转90°得到
×
D
可由原图通过平移得到
√
【例2】（2019·苏州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

【答案】C．　
【解答】∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝16，∴AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝8.∵将△ABO沿AC方向平移得到△A′B′O′，∴B′O′⊥AO′，∵点C与点A′重合，∴CO′＝A′O′＝AO＝2，B′O′＝BO＝8，∴AO′＝6，在Rt△AB′O′中，由勾股定理得AB′＝＝10.
知识点2：图形的轴对称


知识点梳理

1.轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
2．图形轴对称的性质：
（1）轴对称图形变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．关于某条直线对称的两个图形是全等形，对应线段、对应角相等．
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
3．轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
4．轴对称图形的定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
5. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：
（1）轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；
（2）两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
典型例题

【例3】（2019·扬州）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC＝26°，则∠ACD＝________°.

【答案】128．　
【解答】如下图，补全原纸片，由折叠性质可知：∠ACB＝∠ECB，由矩形纸片的对边平行，可得：∠ABC＝∠ECB＝∠ACB＝26°，∴∠ACD＝180°－(∠ACB＋∠ECB)＝180°－52°＝128°.

知识点3： 图形的旋转


知识点梳理

1.旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
2．旋转的性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等.
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
4.中心对称的性质：
（1）关于中心对称的两个图形是全等形.
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.
5. 中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
6.中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
7.中心对称与中心对称图形区别与联系：
（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．
（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
8.中心对称与轴对称的区别与联系：
（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
典型例题

【例4】（2019·湘潭）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝(　　)
A. 45°　　　 B. 40°　　　 C. 35°　　　 D. 30°
　　
【答案】D．
【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，∴∠BOD＝70°.又∵∠AOB＝40°，∴∠AOD＝∠BOD－∠AOB＝70°－40°＝30°.
【例5】（2019·张家界）下列四个立体图形中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)

【答案】C．
【解析】先判断出这四个立体图形的主视图的图形，再判断是否符合题意即可.A选项主视图是正方形，B选项主视图是矩形，C选项主视图是等腰三角形，D选项主视图是圆.故答案为C.
知识点4：坐标系中对称点的特征


知识点梳理

1.关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）.
2.关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y）.
3.关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）.
典型例题

【例6】（2019•呼和浩特9/25）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的坐标为（2，），则B点与D点的坐标分别为（　　）
A．（﹣2，），（2，﹣） B．（﹣，2），（，﹣2）
C．（﹣，2），（2，﹣） D．（，）（，）
【答案】B．
【解答】如图，连接OA、OD，过点A作 AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，

易证△AFO≌△OED（AAS），
∴OE＝AF＝，DE＝OF＝2，
∴D（，﹣2），
∵B、D关于原点对称，
∴B（﹣，2），
故选：B．
知识点5： 相似三角形


知识点梳理

1．比例的有关概念和性质：
(1)线段的比：在同一单位长度下，两条线段的长度之比，叫做两条线段的比．
(2)表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.
(3)第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项.
(4)比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.
(5)成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．
(6)比例的基本性质：＝⇔ad＝bc.
(7)合比性质：＝⇔＝.
(8)等比性质：＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)⇒＝.
(9)黄金分割：若线段AB上的一点P，把线段AB分成AP、BP两部分，并且使＝，即较长线段（AP）是原线段AB与较短线段（BP）的比例中项，就叫作把这条线段黄金分割.即AP2=AB·BP，AP=；一条线段的黄金分割点有两个.
(10)平行线分线段成比例定理：
①三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；
②平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；
③如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；
④平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
2．相似三角形：
(1)定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
(2)相似三角形的性质：
①对应角相等；
②对应边成比例；
③对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，
④周长之比等于相似比；
⑤面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；
②两角对应相等，两三角形相似；
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
④三边对应成比例，两三角形相似；
⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
3．相似多边形的性质：
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
4. 图形的位似：
(1)定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
典型例题

【例7】（2019·玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A. 3对 B. 5对 C. 6对 D. 8对
　
【答案】C．
【解析】∵AB∥EF∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD，四边形ABFE和四边形DCFE都是平行四边形，∴图中的相似三角形有：△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△CGF∽△CAB，△CGF∽△ACD，△ADC≌△CBA(相似比为1)．故有6对．
【例8】（2019·重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】C．
【解析】∵△ABO∽△CDO，∴＝，即＝，解得AB＝4.
【例8】（2019·邢台二模）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A. （1，0） B. （0，1） C. （－1，0） D. （0，－1）

【答案】D．
【解析】如下图，作直线CC1与直线AA1相交于点P，可知位似中心的坐标为(0，－1)．

巩固训练

1． (2019·兰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A(－3，5)，B(－4，3)，A1(3，3)，则点B1坐标为(　　)

A. (1，2) B. (2，1) C. (1，4) D. (4，1)
2. (2019·天水)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为________．

3. (2019·天津)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE.折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE＝5，则GE的长为________．

4. (2019·天津)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是(　　)
A. AC＝AD B. AB⊥EB C. BC＝DE D. ∠A＝∠EBC
　　
5. (2019·眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为________．

6. (2019·常德)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是________．
7. (2019·淄博)如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________度．

8. (2019·新疆)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为______．
　
9. (2019·随州)如图，在平面直角坐标系中， Rt△ABC的直角顶点C的坐标为(1，0)，点A在x轴正半轴上，且AC＝2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°，再向左平移3个单位，则变换后点 A 的对应点的坐标为______．

10.（2018·兴安盟呼伦贝尔8/26）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以原点为中心，将点顺时针旋转得到点，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
11.（2019·乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.

A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
12.（2019·安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5

13.（2019·滨州）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________．
14.（2018·杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE，记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（ ）
A. 若2AD>AB，则3S1>2S2 B. 若2AD>AB，则3S1<2S2
C. 若2AD2S2 D. 若2AD
15.(2019·绍兴)如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中．
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．

16.（2019·石家庄十八县联考二）如图，直线a∥b，点M，N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E，设∠NPE＝α.
(1)证明：△MPD∽△NPE；
(2)当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置；
(3)当△NPE是等腰三角形时，求α的值．

巩固训练参考答案

1．【答案】B．　
【解析】∵A1(3，3)是由A(－3，5)先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到的，∴点B(－4，3)先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到点B1(2，1)．
2. 【答案】．　
【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠B＝90°.由折叠性质知AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝4.∴CF＝1.设CE＝x，则EF＝3－x，在Rt△EFC中，由勾股定理得(3－x)2－x2＝12，解得x＝.∴CE＝，EF＝3－＝.∴sin∠EFC＝＝.
3. 【答案】 ．　
【解析】如解图，记AE与BF交于点H，由折叠性质知BF⊥AE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵∠DAE＋∠DEA＝∠DAE＋∠AFB＝90°，∴∠DEA＝∠AFB，∵AD＝AB，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝5，AE＝BF.在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝＝13，∵AH⊥BF，∴AH·BF＝AF·AB，解得AH＝，由折叠性质知GH＝AH＝，∴AG＝2AH＝2×＝，∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE－AG＝13－＝.

4. 【答案】D．　
【解析】由旋转的性质知，CD＝AC，CE＝BC，∠DCA＝∠BCE，∴∠A＝∠CDA，∠CBE＝∠CEB，∵∠DCA＝∠BCE，∴∠A＝∠EBC.∴一定正确的结论为D选项．
5. 【答案】 ．　
【解析】在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝12，∠B＝90°，根据勾股定理可得AC＝13，根据旋转性质可知ED＝BC＝12，AD＝AB＝5，∴DC＝13－5＝8，∴tan∠ECD＝＝＝.
6. 【答案】22.5°．　
【解析】∵△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′＝45°，AD＝AD′，∴∠ADD′＝∠AD′D＝67.5°，∵∠BAD＝∠CAD′＝45°，∴∠BAD′＝∠BAD＋∠CAD′＝90°，∵D′、D、B三点在同一条直线上，∴∠ABD＝90°－∠AD′D＝22.5°.
7. 【答案】90．　
【解析】如下图，连接AA1，BB1，CC1，分别作出AA1，BB1，CC1的垂直平分线，交于点P，连接CP，C1P，则∠CPC1＝90°，故旋转角为90°.

8. 【答案】 2－2．　
【解析】如下图，过点C作CF⊥AE于点F，∵△ABC绕点A旋转30°得到△ACD，AB＝AC，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，AD＝AC＝4，∠ABC＝∠ACB＝＝75°.∴∠E＝180°－∠BAE－∠B＝45°.∵CF⊥AE，∴∠CFA＝∠CFE＝90°.∵∠CAD＝30°，∴CF＝AC＝2，AF＝AC·cos30°＝4×＝2.∵∠E＝45°，∴EF＝CF＝2，∴DE＝AF＋EF－AD＝2＋2－4＝2－2.

9. 【答案】 (－2，2) ．　
【解析】∵点C的坐标为(1，0)，AC＝2，∴点A的坐标为(3，0)，将Rt△ABC先绕点C逆时针旋转90°，则点A的坐标为(1，2)，再向左平移3个单位长度，则变换后点A的对应点坐标为(－2，2)．
10. 【答案】D．
【解答】解：如图所示：

过作轴，
点的坐标为，
，，
，，
将点顺时针旋转得到点， ‘，
故选：．
11. 【答案】A．　
【解析】如解图，∵由正方形的性质得AB∥DC，∴△ABH∽△GCH.∴＝＝.∵BC＝1，∴BH＝.∴图中阴影部分的面积为××1＝.

12. 【答案】B．　
【解析】如下图，过点D作DH∥EG交AB于点H，则有＝＝，∵EF＝EG，∴CD＝DH.∵DH∥EG∥AC，∴＝.设CD＝DH＝x，则有＝，解得x＝4，∴CD＝4.

13. 【答案】 (－1，2)或(1，－2) ．　
【解析】△ABO三个顶点的坐标为A(－2，4)，B(－4，0)，O(0，0)．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，当△ABO与△CDO在第二象限时，点A的对应点C的坐标为(－1，2)；当△CDO在第四象限时，点C的坐标为(1，－2)．
14. 【答案】D．　
【解析】在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴＝()2.∴若2AD＞AB，即＞时，＞，此时3S1＞S2＋S△BDE，而S2＋S△BDE＜2S2，但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即＜时，＜，此时3S1＜S2＋S△BDE＜2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意．
15. 【答案】解：(1)①AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20；
②显然∠MAD不能为直角，
当∠AMD为直角时，
AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，∴AM＝20.
当∠ADM为直角时，
AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1000，∴AM＝10；
(2)如解图，连接CD1，由题意得∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30.
又∵∠AD2C＝135°，
∴∠CD2D1＝90°.
∴CD1＝＝30.
∵∠BAC＝∠D2AD1＝90°，
∴∠BAC－∠CAD2＝∠D2AD1－∠CAD2，
即∠BAD2＝∠CAD1.
又∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△ABD2≌△ACD1(SAS)，
∴BD2＝CD1＝30.

16. 【答案】(1)证明：∵a∥b，∴∠1＝∠PNE.
又∵∠MPD＝∠NPE＝α，
∴△MPD∽△NPE；
(2)解：当△MPD与△NPE全等时，点P是MN的中点；
(3)解：①当PN＝PE时，∠PNE＝∠PEN＝70°.
∴α＝180°－∠PNE－∠PEN＝180°－70°－70°＝40°.
∴α＝40°；
②当EP＝EN时，
α＝∠PNE＝∠1＝70°；
③当NP＝NE时，
α＝∠PEN＝＝＝＝55°.
综上所述：α的值为40°或70°或55°.