2021-2022学年浙江省浙东北联盟（ZDB）高一上学期期中数学试题含解析

2021-2022学年浙江省浙东北联盟（ZDB）高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】直接根据集合的交集运算求解即可.

【详解】因为集合，

故选：D

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定为全称命题可得.

【详解】根据特称命题的否定为全称命题，

可得命题“，”的否定是，.

故选：D.

3．下列图形能表示函数的图象的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数的定义判断即可.

【详解】由函数的定义：对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为A→B从集合到集合的一个函数可知，只有B选项能表示函数的图象.

故选：B

4．若，则实数的值等于（       ）

A． B．3

C． D．3或

【答案】A

【分析】分类讨论结合集合中元素的性质求解即可.

【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性；

当时，即或（舍），此时

故选：A

5．已知正实数，满足，则（       ）

A． B．

C． D．，大小不确定

【答案】B

【分析】根据原不等式，利用，为正实数，可对不等式坐标进行平方差公式化简，然后对比不等式两边，判断符号即可完成求解.

【详解】，为正实数，，而，

可化为，若，则，两边同除，变为，不成立，所以排除A；若，则，两边同除，变为，成立，故排除D选项，B选项正确；若，则原不等式化为，不成立，排除C.

6．函数的定义域为，则“函数在上单调递减”是“函数在的最小值为”（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充要条件的定义进行判断.

【详解】因为函数在上单调递减，所以，所以在的最小值为；

而在的最小值为，不一定得出在上单调递减，比如，.

故选：A.

7．正实数，满足，则的最小值是（       ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由题意正数满足，可得，消元化简得，，再利用基本不等式，即可求其最小值.

【详解】因为正数满足，所以，

则，

当且仅当时等号成立，

即时，取得最小值，故的最小值为.

故选：C.

8．设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】通过是偶函数和是奇函数以及题设条件，可以用赋值法求出时，，根据条件将的值转化为，即可得到答案．

【详解】因为是偶函数，所以①，

因为是奇函数，所以②．

令，由①得：，

由②得：，

因为，所以，

令，由②得：，

所以当时，，

.

故选：C．

【点睛】结论点睛：复合函数的奇偶性：

（1）是偶函数，则；

（2）是奇函数，则.

二、多选题

9．下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，对各选项的函数逐一判断即可．

【详解】A：是偶函数，故A错误；

B：是奇函数，且在是增函数，故B正确；

C：是奇函数，在为减函数，为增函数，故C错误；

D：是奇函数，且在是增函数，故D正确.

故选：BD.

10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BCD

【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.

【详解】解：对于A选项，函数的定义域为，的定义域为，故错误；

对于B选项，与的定义域均为，且，满足，故正确；

对于C选项，函数与的定义域均为，且，满足，故正确；

对于D选项，与的定义域与对应关系均相同，故正确.

故选：BCD

11．，且，则下列不等式恒成立的序号为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据，且，利用基本不等式逐项判断.

【详解】因为，且，

所以，，当且仅当a=b时，等号成立

当时，，，

故选：AC

12．已知函数的定义域为，对任意的，都有，，则下列结论中正确的有（       ）

A．为增函数 B．为增函数

C．的解集为 D．的解集为

【答案】ABD

【分析】利用函数的单调性定义判断AB；利用抽象函数的单调性解不等式判断CD.

【详解】对于A，对任意的，则，都有，即，

可知为增函数，故A正确；

对于B，对任意的，都有，即

令，可知为增函数，故B正确；

对于C，，则等价于，又为增函数，

所以，解得，所以的解集为，故C错误；

对于D，等价于，即又为增函数，

所以，解得，所以的解集为，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．函数的定义域为_________．

【答案】

【解析】根据函数表达式可得，解不等式即可.

【详解】由，则，

解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14．已知，函数，且，则______．

【答案】1

【分析】根据解析式直接计算即可得出.

【详解】因为，

所以，

则，解得.

故答案为：1.

15．若函数为R上的奇函数，当时，，则当时，______．

【答案】

【分析】设，则所以，化简即得解.

【详解】解：设，则

所以

所以

所以.

所以当时，.

故答案为：

16．已知函数，，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】分别求出和的值域，根据集合包含关系即可求出.

【详解】对于，对称轴为，开口向上，当时，，，即在的值域为，

对于，当时，，，即在的值域为，

因为对任意的，总存在，使得，

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.

四、解答题

17．集合，；

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由一元二次不等式的解法结合集合的交集和补集运算求解即可；

（2）由得出，分类讨论，两种情况，集合集合的包含关系得出实数的取值范围．

(1)

因为，所以或

所以或

(2)

因为，所以

当时，即，解得，满足.

当时，，解得

综上，实数的取值范围

18．已知，，且．

(1)求的最小值；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由基本不等式求解即可；

（2）由结合基本不等式得出最值.

(1)

由基本不等式可知，，即（当且仅当时，取等号）

故的最小值为.

(2)

当且仅当，即时，取等号.

故的最小值为

19．已知函数，，．

(1)在图1中画出函数，的图象；

(2)定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）

(3)写出函数的单调区间和函数的值域．

【答案】(1)图象见解析

(2)图象法见解析，

(3)单调递增区间：和，单调递减区间：和，值域为

【分析】（1）由零点分段，将改写成，再作出其图象.根据二次函数的作图方法，作出的图象即可；

（2）图象法：根据图象的高低，选取自变量取值相同的部分，更低的点所构成的图象.解析法：按和两种情况，用作差法选择函数，中较小的那个；

（3）根据图象可以写出单调区间和值域.

(1)

由得，

，作图如下：

(2)

图象法：由（1）中的图象，可得函数的图象为下图中实线部分，

则，

解析法：，，

当时，令，即

得，或（舍）

当时，令，即

得，或（舍）

所以；

(3)

由（2）的图象可知，

函数的单调递增区间：和，

单调递减区间：和，

值域为.

20．已知幂函数为奇函数．

(1)求实数的值；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）根据函数是幂函数可得，再根据函数为奇函数确定；

（2）令，根据二次函数的性质可求.

(1)

因为是幂函数，所以，解得或2，

当时，是偶函数，不符合题意，

当时，为奇函数，符合题意，

所以；

(2)

，，

令，则，可得，

则，

则时，，当时，，

所以的值域为,

21．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有300户农民，且都从事中药材种植，据了解，平均每户的年收入为2.5万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事中药材加工，据估计，若能动员户农民从事中药材加工，则剩下的继续从事中药材种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事中药材加工的农民平均每户收入将为万元．

(1)若动员户农民从事中药材加工后，要使从事中药材种植的农民的总年收入不低于动员前从事中药材种植的农民的总年收入，求的取值范围；

(2)在（1）的条件下，要使这300户农民中从事中药材加工的农民的总收入始终不高于从事中药材种植的农民的总收入，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求出动员前后，从事中药材种植的农民的总年收入，列出不等关系，求出的取值范围；

（2）分别求出300户农民中从事中药材加工的农民的总收入和从事中药材种植的农民的总收入，结合基本不等式可得的最大值．

(1)

化简为，

解得，故的取值范围为.

(2)

由题意得，

整理可得，

因为，当且仅当时，取到最小值4；

所以，即的最大值为.

22．已知函数（且）．

(1)当的定义域为时，求函数的值域；

(2)设函数，求的最小值．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）化简函数，根据反比例函数性质求解；

（2）化简得，再分类讨论求解．

(1)

解：，

因为的定义域为，

所以，，，，

所以函数的值域为，．

(2)

解：函数

，

当即时，；

当即时，；

当即时，.

所以，