2022届湖北省荆州中学高三上学期期末考试数学试题试卷含答案

这是一份2022届湖北省荆州中学高三上学期期末考试数学试题试卷含答案，共8页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题,本题共6小题等内容，欢迎下载使用。

1.已知M，N是任意两个非空集合，定义集合M-N={x|x∈M，且x∉N}，则（M∪N）-M=（ ）
A. NB. N-MC. M-ND. M∩N
2.已知z1，z2为复数．若命题p：z1-z2＞0，命题q：z1＞z2，则p是q成立的（ ）
充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足2a4=a3+5，则S9=（ ）
A. 35B. 40C. 45D. 50
4.某人民医院召开抗疫总结表彰大会，有7名先进个人受到表彰，其中有一对夫妻．现要选3人上台报告事迹，要求夫妻两人中至少有1人报告，若夫妻同时被选，则两人的报告顺序需要相邻，这样不同的报告方案共有（ ）
A. 80种B. 120种C. 130种D. 140种
5.已知向量，若，则在上的投影是（ ）
A.B. C. D.
6.已知函数f（x）=x2⋅lg2|x|，其图象可能是（ ）
A. B. C. D.
7.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米．已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段（单位：天）河水污染质量指数为m（t）（每立方米河水所含的污染物）满足（m0为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是（ ）（参考数据：ln10≈2.30）
A. 1个月B. 3个月C. 半年D. 1年
8.苏格兰数学家科林麦克劳林（Clin Maclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（ ）（可能用到数值ln2.414=0.881，ln3.414=1.23）
A. 2.788B. 2.881C. 2.886D. 2.902
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，下列叙述正确的有（ ）
A. AH⊥FC
B. AC∥BG
C. BD与FC所成的角为60°
D. AC∥平面BEG
10.已知0＜a＜b＜1＜c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. ac＜bcB. ca＜cb
C. lgac＞lgbcD. sinc＞sina
11.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D. 随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：cm）的概率一样大
12.已知圆M：，直线l：下列命题中，正确的命题是
A. 对任意实数k和，直线l和圆M有公共点
B. 对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C. 对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切
D. 存在实数k与，使得圆M上有一点到直线l的距离为3
三、填空题:每小题5分,共20分.
13.已如直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为______．
14.若的展开式中x2的系数为224，则正实数a的值为______ .
15.已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|=______．
16.九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数，在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N）个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=，则解下n（n为奇数）个环所需的最少移动次数为______.（用含n的式子表示）
四、解答题,本题共6小题
17.在①，②2bsinA=atanB，③（a-c）sinA+csin（A+B）=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_______.
（1）求角B；
（2）若a+c=4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=（an-1），n∈N．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=an•sin，求数列{bn}的前100项的和T100．
19.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB=1，AD=DC=DP=2，∠PDC=120°．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的余弦值；
20.某电器企业统计了近10年的年利润额y（千万元）与投入的年广告费用x（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令ui=lnxi，vi=lnyi，得到相关数据如表所示：
（1）从①y=bx+a；②y=m•xk（m＞0，k＞0）；③y=cx2+dx+e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）
参考数据：≈49.787.
参考公式：回归方程=t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=， =-.
21.如图所示，已知椭圆C： =1与直线l：=1．点P在直线l上，由点P引椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，O是坐标原点．
（1）若点P为直线l与y轴的交点，求△PAB的面积S；
（2）若OD⊥AB，D为垂足，求证：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
22.已知函数f（x）=ex-e-x-asinx，其中e是自然对数的底数．
（1）当x＞0，f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）当x＞1时，求证：＞.
高三数学期末答案
BBCD DACB ACD ABC AC AC
x-6y+6=0或x-6y-6=0 14.2 15.4 16. 2n-1（1≤n≤9，n为奇数）
17.【答案】解：若选①：
（1）因为，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcsB+sinA，
因为A为三角形内角，所以sinA≠0，sinB=csB+1，可得：2sin（B-）=1，即sin（B-）=，因为B∈（0，π），可得B-∈（-，），可得B-=，所以可得B=．
（2）因为b2=a2+c2-2accsB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，
所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，
所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．
若选②：（1）因为2bsinA=atanB，所以2bsinA=，
由正弦定理可得2sinBsinA=sinA•，
因为A,B为三角形内角，所以sinA≠0，sinB≠0，所以csB=，
又B∈（0，π），所以B=．
（2）因为b2=a2+c2-2accsB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，
所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，
所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．
若选③：（1）因为（a-c）sinA+csin（A+B）=bsinB，
所以（a-c）sinA+csinC=bsinB，
由正弦定理可得：（a-c）a+c2=b2，整理可得：a2+c2-b2=ac，
由余弦定理可得csB===，因为B∈（0，π），​所以B=．
（2）因为b2=a2+c2-2accsB=（a+c）2-3ac=16-3ac，即3ac=16-b2，
所以16-b2=3ac≤3（）2=12，解得b≥2，当且仅当a=c=2时，取等号，
所以bmin=2，△ABC周长的最小值为6，此时，△ABC的面积S=acsinB=．
18.【答案】解：（1）由Sn=（an-1），得Sn+1=（an+1-1），n∈N+，
两式相减得an+1=an+1-an，即an+1=-an，
又当n=1时，a1=S1=（a1-1），解得a1=-，
所以{an}是以-为首项，-为公比的等比数列，所以an=（-）n；
（2）由（1）可知bn=ansin=，n∈N+，
所以a1，a3，a5，a7，…，a97，a99是首项为a1，公比为-的等比数列，共有50项，所以T100=a1-a3+a5-a7+…+a97-a99===-+×．
19.【答案】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD=CD，AD⊂平面ABCD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，
∴AD⊥PC；
（Ⅱ）解：在平面PCD内过点D作DH⊥DC，交PC于H，由（Ⅰ）知，AD⊥平面PDC，DH⊂平面PDC，
∴AD⊥DH，∴AD，CD，DH两两垂直，
以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，0），P（0，﹣1，），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），∵DH⊥平面ABCD，
∴平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），又=（2，1，），=（2，2，），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），
由，取z=2，则m=（），
∴cs，由题意可知，二面角P﹣AB﹣C为锐角，
∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为；
20.【答案】解：（1）由散点图知，选择回归类型y=m⋅xk更好．
（2）对y=m⋅xk两边取对数，得lny=lnm+klnx，即v=lnm+ku，
由表中数据得，
，
所以，所以=e，
所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为．
（3）由（2），知，令，得，得，
所以x＞3.67883≈49.787，故下一年应至少投入498万元广告费用．
【答案】解：（1）由题意知P（0，3），过点P与圆相切的直线斜率存在，设切线方程为y=kx+3，联立，得（1+2k2）x2+12kx+12=0，由△=（12k）2-4（1+2k2）×12=0，解得k=±1，即切线方程为y=±x+3，此时切点坐标为A（-2，1），B（2，1），
△PAB为直角三角形，|PA|=|PB|=2，所以S△PAB=|PA||PB|=4．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则切线PA为+=1，切线PB为+=1，
设P（x0，y0），则+=1，+=1，所以直线AB的方程为+=1①，
又点P（x0，y0）在直线l： +=1上，所以+=1，即=1-，代入①，得+（1-）y=1，
即x0（x-y）+6（y-1）=0，所以直线过定点T（1，1），
又因为OD⊥AB，所以点D在以OT为直径，Q（，）为圆心的定圆上，
所以|DQ|为定值，且|DQ|=．
22.【答案】解：（1）由题意可知f'（x）=ex+e-x-acsx，
①当0＜a≤2时，由-1≤csx≤1可知-2≤-a≤acsx≤a≤2，
又因为ex+e-x≥2恒成立，所以f'（x）=ex+e-x-acsx≥0恒成立，
所以y=f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．又f（0）=0，所以f（x）＞0对x＞0恒成立；
②当a＞2时，，
且可知y=ex+e-x与y=acsx必有一个交点，不妨设为x0，
所以y=f（x）在[0，x0）上为减函数，在[x0，+∞）为增函数，又f（0）=0，
所以f（x0）＜0，与题意不符，故舍去．综合可知a的取值范围是（0，2]．
（2），只需证，
即证，即证ex-e-x-2sinx＞elnx-e-lnx-2sin（lnx），
即证f（x）＞f（lnx）（此时a=2），由（1）问可知当0＜a≤2时y=f（x）在[0，+∞）上恒为增函数．所以即证x＞lnx，不妨令g（x）=x-lnx，
则
所以y=g（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增．又因为g（x）min=g（1）=1＞0
所以g（x）=x-lnx＞0恒成立，即x＞lnx，
所以原结论得证．uivi
vi
30.5
15
15
46.5