第06章 分式方程-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

2022年中考数学一轮复习(通用版)

第06章  分式方程

考  点  梳  理

考点一  分式方程及其解法

1．分式方程的概念

分母中含有            的方程，叫做分式方程．

2．解分式方程的一般步骤

(1)           ，化为整式方程；

(2)                  ；

(3)            ；

(4)确定原方程的根．

3．分式方程的增根问题

(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为零的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为         ，那么就会出现不适合原方程的根，即增根．

(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．

(3)验根的方法：

方法一：利用方程程的定义，直接代入原方程检验．

方法二：把整式方程的解代入最简公分母，看计算结果是否为0.

【点拨】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.

考点二  分式方程的应用

1．应用问题常用的数量关系及题型

(1)行程问题：涉及的量是时间、速度、路程，它们之间的关系是：时间＝.

(2)工程问题：涉及的量是工作时间、工作总量和工作效率，它们之间的关系是：工作时间＝.

(3)商品销售与利润问题：涉及的量是进价、利润和利润率，它们之间的关系是：利润率＝×100%.

2．列分式方程解应用题的步骤

列分式方程解应用题与列一次方程(组)解应用题的步骤基本相同：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、验根、作答．

【点拨】利用分式方程解应用题时应注意所得的未知数的值，既要使所列的分式方程有意义，又要判断是否符合实际问题的意义．

重  难  点  讲  解

考点一  解分式方程

方法指导：

解分式方程应注意以下四点：

(1)去分母时，方程中的常数项要乘最简公分母，不能漏乘；

(2)去分母时，分子是多项式则需加括号；

(3)约分时，不能约去含未知数的整式；

(4)去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，一定要检验．

经典例题1  (2020•安徽二模)方程＝－1的解是(      )

A．－1  B．1 C．－ D．－9

【解析】 方程两边乘x－3，得2x＋6＝－x＋3，解得x＝－1，检验：x＝－1时，x－3≠0，则x＝－1是原分式方程的解．

【答案】  A

考点二  分式方程的应用

方法指导：

在列方程之前，应先弄清问题中的已知量与未知量，以及它们之间的数量关系，用含未知数的式子表示相关量，再用题中的主要相等关系列出方程．求出解后，必须进行检验，既要检验是否为所列分式方程的解，又要检验是否符合题意．

经典例题2  (2020•青海一模)列方程解应用题：为充实学校图书馆，某校购进《人类简史》和《未来简史》若干本，其中每本《人类简史》的价格比每本《未来简史》的价格多5元，用1600元购买《人类简史》的套数是用700元购买《未来简史》套数的2倍，求每本《人类简史》的价格．

【解析】  设每本《人类简史》的价格是x元，则每本《未来简史》的价格是(x－5)元，根据“用1600元购买《人类简史》的套数是用700元购买《未来简史》套数的2倍”列出方程即可求出答案．

解：设每本《人类简史》的价格是x元，则每本《未来简史》的价格是(x－5)元.

根据题意，得＝2×，

解得x＝40，

经检验，x＝40是所列方程的解．

答：每本《人类简史》的价格是40元．

过  关  演  练

1．(2020·江西模拟)若关于x的方程＝－1的解是负数，则m的取值范围是(　　)

A．m＜－2　　　　                         B．m＞－2

C．m＜－2且m≠4                          D．m＞－2且m≠4

2．(2020•上海)用换元法解方程＋＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是(　　)

A．y2﹣2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y﹣2＝0

3．(2020•黑龙江哈尔滨)方程＝的解为(　　)

A．x＝﹣1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9

4．(2020•四川甘孜州)分式方程﹣1＝0的解为(　　)

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4

5．(2020·浙江嘉兴模拟)若关于x的分式方程＝－2有增根，则实数m的值是(　　)

A．2              B．－2           C．1              D．0

6．(2020·安徽合肥二模)甲打字员计划用若干小时完成文稿的电脑输入工作，两小时后，乙打字员协助此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度是甲的1.5倍，结果提前6小时完成任务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间是(　　)

A．17小时        B．14小时       C．12小时          D．10小时

7．(2020•湖北荆门模拟)我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是(　　)

A．﹣＝15 B．﹣＝15

C．﹣＝20 D．﹣＝20

8．(2020•四川自贡)某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是(　　)

A．﹣＝40 B．﹣＝40

C．﹣＝40 D．﹣＝40

9．(2020•安徽合肥一模)分式方程＋＝1的解为　    　．

10．(2020•浙江杭州)若分式的值等于1，则x＝　  　．

11．(2020·江苏徐州模拟)若关于x的方程＋＝2的解为正数，则m的取值范围是          ．

12．(2020•黑龙江绥化)某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程　        　．

13．(2020·河南模拟)解方程：＝1＋.

14．(2020•江西模拟)解方程：＝－1．

15．(2020•江苏苏州)解方程：＋1＝．

16．(2020•贵州遵义)解方程：＝．

17．(2020•安徽阜阳模拟)列方程或方程组解应用题：

某校的软笔书法社团购进一批宣纸，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，已知用于创作的宣纸的单价比用于练习的宣纸的单价多1元，求用于练习的宣纸的单价是每张多少元？

18. (2020·山东青岛模拟)甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为4000m.甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先步行800m，然后乘公交车，乙同学骑自行车．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的4倍，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到2.5min.求乙到达科技馆时，甲离科技馆还有多远．

19．(2020•江苏泰州)近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．

20．(2020•安徽阜阳模拟)节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶，某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为80元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．

(1)求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？

(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？

参  考  答  案

考点梳理

考点一  1. 未知数  2. (1)去分母  (2)解整式方程  (3)验根  3. (1)零 

过关演练

1. D  解析：由方程＝－1，解得x＝，∵解是负数，且x≠－2，∴＜0且≠－2，∴m＞－2且m≠4.

2. A  解析：把＝y代入原方程得：y＋＝2，转化为整式方程为y2﹣2y＋1＝0．

3. D  解析：方程的两边同乘(x＋5)(x﹣2)，得2(x﹣2)＝x﹣5，解得x＝9，经检验，x＝9是原方程的解．

4. D  解析：分式方程﹣1＝0，去分母，得3﹣(x﹣1)＝0，去括号，得3﹣x＋1＝0，解得x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．

5. A  解析：去分母得m＝x－1－2x＋6，由分式方程有增根，得到x－3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得m＝2.

6. C  解析：设甲打字员原计划完成此项工作的时间是x小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是甲的1.5倍，即，依题意得＋＝1，整理得2x－12＋3(x－8)＝2x，解得x＝12，经检验，x＝12是所列分式方程的解，即甲打字员原计划完成此项工作的时间是12小时．

7. A  解析：设原计划每天铺设钢轨x米，则实际每天铺设钢轨(x＋20)米，依题意，得﹣＝15．

8. A  解析：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得﹣＝40，即﹣＝40．

9. x＝1  解析：方程两边都乘以x－2，得3－2x－2＝x－2，解得x＝1，检验：当x＝1时，x－2＝1－2＝－1≠0，所以分式方程的解为x＝1．

10. 0  解析：由分式的值等于1，得＝1，解得x＝0. 经检验x＝0是分式方程的解．

11. m＜6且m≠0  解析：∵关于x的方程＋＝2有解，∴x－2≠0，即x≠2，去分母得2－x－m＝2(x－2)，即x＝2－，根据题意得2－＞0且2－≠2，解得m＜6且m≠0.

12. ﹣＝2  解析：设原计划每天加工零件x个，则实际每天加工零件1.5x个，依题意，得﹣＝2．

13. 解：方程两边同时乘以2x－4，

得4x＝2x－4－1，即2x＝－5，

解得x＝－2.5，经检验，x＝－2.5是原方程的根．

14. 解：去分母得：2＝x2＋2x－x2＋4，

解得：x＝－1，

经检验x＝－1是分式方程的解．

15. 解：方程的两边同乘x﹣1，得x＋(x﹣1)＝2，

   解得：x＝，

   经检验，x＝是原方程的解．

16. 解：去分母得：2x﹣3＝3x﹣6，

解得：x＝3，

经检验x＝3是分式方程的解．

17. 解：设用于练习的宣纸的单价是每张x元．

由题意，得＝，

解得x＝0.2．

经检验，x＝0.2是所列方程的解，且符合题意．

答：用于练习的宣纸的单价是每张0.2元．

18. 解：设甲步行的速度为x米/分，则乙骑自行车的速度为4x米/分，公交车的速度是8x米/分钟.

根据题意得＋2.5＝＋，

解得x＝80.

经检验，x＝80是原分式方程的解．所以2.5×8×80＝1600(m)．

答：乙到达科技馆时，甲离科技馆还有1600m.

19. 解：设走路线A的平均速度为xkm/h，则走路线B的平均速度为(1＋50%)xkm/h，

根据题意，得﹣＝，

解得x＝60，

经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴(1＋50%)x＝90．

答：走路线B的平均速度为90km/h．

20. 解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为(x＋0.5)元，

根据题意，得＝，

解得x＝0.3，

经检验x＝0.3是原方程的解，

∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100千米.

    (2)汽车行驶中每千米用油费用为0.3＋0.5＝0.8元，设汽车用电行驶ykm，可得0.3y＋0.8(100﹣y)≤50，解得y≥60，所以至少需要用电行驶60千米．