清单26 空间点、线、面之间的位置关系（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单26 空间点、线、面之间的位置关系（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共31页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单26 空间点、线、面之间的关系
一、知识与方法清单
1.平面
平面是从生活中常见的平面中抽象、概括出来的,几何里的平面是无限延展的.平面是理想的,绝对平的且是无限延展的,平面无大小、厚薄之分,是不可度量的.在立体几何中,通常用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍,如图1所示. 如果一个平面被另一个平面遮挡,为了增强它的立体感,常把被遮挡部分用虚线画出来,如图2.


平面通常用希腊字母α,β,γ等表示(常把这些字母写在代表平面的平行四边形的一个角上),如平面α,平面β,平面γ等;也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点,或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,如图1所示的平面α,也可表示为平面ABCD或平面AC等;还可以用平面内不共线的三个字母表示,如平面ABC等.
【对点训练1】下面四种说法:①平面的形状是平行四边形;②任何一个平面图形都可以表示平面;③平面ABCD的面积为10cm2;④空间图形中,后引的辅助线都是虚线.其中正确的说法的序号为　　　. 
【答案】②
【解析】因为平面是无限延展的,不计大小,不计面积,而平行四边形是平面的一部分,它是不能无限延展的.另外,在空间图形中,我们一般把能看得见的线画成实线,把被平面遮住看不见的线画成虚线,目的是为了增强立体感,同几何体的三视图的画法类似,后引的辅助线也是如此,这与平面几何是有区别的.有时,根据具体的情况,可以用其他的平面图形,如矩形、圆、正多边形等表示平面,但决不能说它是平面.综上,①③④错误,②正确.故填②.
2. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内．
公理1反映了平面的本质属性,通过直线的“直”和“无限延伸”的特性,揭示了平面的“平”和“无限延展”的特性.其作用:①检验平面;②判断直线是否在平面内.
【对点训练2】在下列命题中,不是公理的是(　　)
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】
【解析】公理是不需要证明的原始命题,而选项A是面面平行的性质定理．故选A.
3.公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面．
【对点训练3】在空间内,可以确定一个平面的条件是(　　)
A.两两相交的三条直线
B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交
C.三个点
D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点
【答案】D
【解析】A中两两相交的三条直线,它们可能相交于同一点,也可能不交于同一点,若交于同一点,则三条直线不一定在同一个平面内.故应排除A.
B中的另外两条直线可能共面,也可能不共面,当另外两条直线不共面时,三条直线是不能确定一个平面的.故应排除B.
对于C来说,三个点的位置可能不在同一直线上,也可能在同一直线上,只有前者才能确定一个平面,后者是不能的.故应排除C.
D中的三条直线,它们两两相交且不交于同一点,可确定一个平面.故选D.
4.公理2的推论：
①经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面；
②经过两条相交直线,有且只有一个平面；
③经过两条平行直线,有且只有一个平面．
公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面,或用来证明点、线共面．
【对点训练4】空间四点A、B、C、D共面而不共线,那么这四点中(　　)
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
【答案】B
【解析】空间四点A、B、C、D共面不共线,有两种情形：①无任何三点共线,但四点共面,②其中某三点共线,另一点在该直线外,这两种情况都有三点不共线．故选B.
5.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
【对点训练5】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=Q,BC∩α=R.求证:P,Q,R三点共线.
【证明】证法一:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈α.
又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.
由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线.
证法二:∵AP∩AQ=A,∴直线AP与直线AQ确定平面APQ.
又AB∩α=P,AC∩α=Q,∴平面APQ∩α=PQ.
∵B∈平面APQ,C∈平面APQ,∴BC⊂平面APQ.
∵R∈BC,∴R∈平面APQ,又R∈α,∴R∈PQ.∴P,Q,R三点共线.
6.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【对点训练6】设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题：
①若a∥b,b∥c,则a∥c；
②若a⊥b,b⊥c,则a∥c；
③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；
④若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线．
上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．
【答案】②③④
【解析】由公理4知①正确；当a⊥b,b⊥c时,a与c可以相交、平行或异面,故②错；当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故③错；a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故④错．故填②③④.
7.直线与直线的位置关系位置关系的分类

【对点训练7】在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条．
【答案】无数
【解析】方法一　在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．

方法二　在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求
8．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
注意：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”,也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”,但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．
【对点训练8】已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点．

(1)求证：BC与AD是异面直线；
(2)求证：EG与FH相交．
证明：(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B、C、A、D∈α.
所以四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．
所以BC与AD是异面直线．
(2)如图,连接AC,

则EF∥AC,HG∥AC,
因此EF∥HG；
同理EH∥FG,则EFGH为平行四边形．
又EG、FH是▱EFGH的对角线,
所以EG与HF相交．
9.异面直线所成的角
①定义：设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
【对点训练9】如图,在四棱锥P­ABCD中,O为CD上的动点,VP­OAB恒为定值,且△PDC是正三角形,则直线PD与直线AB所成角的大小是________．

【答案】60°
【解析】因为VP­OAB为定值,所以S△ABO为定值,即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点,所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形,所以∠PDC＝60°.
所以PD与AB所成角为60°.故填60°.
10.空间四边形
四边形可分为平面四边形和空间四边形,四个顶点不共面的四边形是空间四边形.
空间四边形的性质
(1)顺次连结空间四边形各边中点得到的图形是平行四边形.
(2)若空间四边形的两组邻边分别相等,则对角线垂直但不相交.
(3)若空间四边形的两组对边分别垂直,则对角线垂直但不相交.
(4)空间四边形的两组对边所在直线及一组对角线所在直线分别是异面直线,该结论可推广如下：过空间不共面的四点的连线中,有3对异面直线.
【对点训练10】．已知空间四边形中,对角线,则空间四边形中平行于和的截面四边形的周长的取值范围是____________
【答案】
【解析】用平行于和的四边形截空间四边形,则其周长当一边无限接近6时,另一边趋近0,此时周长大于12,另一种情况则小于16,故答案为
11．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况
【对点训练11】以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面):　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;
④若a∥α,b⊂α,则a∥b.
其中正确命题的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,CD∥AB,AB⊂平面ABCD,但CD⊂平面ABCD,故①错误;
A'B'∥平面ABCD,B'C'∥平面ABCD,但A'B'与B'C'相交,故②错误;
AB∥A'B',A'B'∥平面ABCD,但AB⊂平面ABCD,故③错误;
A'B'∥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,但A'B'与BC异面,故④错误.

12.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
【对点训练12】已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题：
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β；
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β；
③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β；
④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.
其中所有正确的命题是________．(填序号)
【答案】①④
【解析】借助于长方体模型来解决本题,对于①,可以得到平面α,β互相垂直,如图(1)所示,故①正确；对于②,平面α,β可能垂直,如图(2)所示,故②不正确；对于③,平面α,β可能垂直,如图(3)所示,故③不正确；对于④,由m⊥α,α∥β可得m⊥β,因为n∥β,所以过n作平面γ,且γ∩β＝g,如图(4)所示,所以n与交线g平行,因为m⊥g,所以m⊥n,故④正确．

13.证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合．
【对点训练13】如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E,F,G,H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P,求证：P,A,C三点共线．
证明：(1)因为E,F分别为AB,AD的中点,
所以EF∥BD.
在△BCD中,因为＝＝,
所以GH∥BD,所以EF∥GH.
所以E,F,G,H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P,P∈EG,EG⊂平面ABC,
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC,
所以P∈AC,即P,A,C三点共线．
14. 要证明点共线问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,即证点在两个平面的交线上,本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上．
【对点训练14】如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求证：E,F,G,H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P,求证：P,A,C三点共线．
证明　(1)∵E,F分别为AB,AD的中点,
∴EF∥BD.
∵在△BCD中,＝＝,
∴GH∥BD,∴EF∥GH.
∴E,F,G,H四点共面．
(2)∵EG∩FH＝P,P∈EG,EG⊂平面ABC,
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC,
∴P∈AC,∴P,A,C三点共线．
15.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点．
【对点训练15】如图所示,正方体ABCD­A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点．

求证：
(1)E,C,D1,F四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点．
证明：(1)连接EF,CD1,A1B.
因为E,F分别是AB、AA1的中点,所以EF∥BA1.

又A1B∥D1C,所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面．
(2)因为EF∥CD1,EF＜CD1,
所以CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA,
所以P∈直线DA.所以CE、D1F、DA三线共点．
16．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补．
【对点训练16】若∠AOB＝∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
【答案】D
【解析】两角相等,角的一边平行且方向相同,另一边不一定平行,如圆锥的母线与轴的夹角．故选D.
17.正方体中的截面问题
用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面.可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形.在立体几何中,把空间问题转化为平面问题,历来是立体几何的一个基本问题.而已知不共线三点,作几何体的截面,既是转化为平面问题的一个方法,也是深化理解空间点线面关系的一个很好的途径. 作图关键在于确定截点,有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线,从而求得截面．
作截线与截点的主要根据有：
(1)确定平面的条件．
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们相交于过此点的一条直线．
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
(4)如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就和交线平行(线面平行的性质定理,见第2.2节)．
(5)如果两个平面平行,第三个平面和它们相交,那么两条交线平行（面面平行性质定理,见第2.2节）．
作图的的主要思想方法有：
(1)若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截线.
(2)若面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二确定的点.
(3)若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.
(4)若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按平行平面与第三平面相交,那么它们的交线互相平行的性质,可得截面与平面的交线.
(5)若有一点在面上而不在棱上,则可通过作辅助平面转化为棱上的点的问题；若已知点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.
【对点训练17】已知：P、Q、R三点分别在正方体的棱,CC1和AB上,试画出过P、Q、R三点的截面．

方法一：
(1)先过R、P两点作辅助平面.过点R作R1R∥BB1交A1B1于R1,则面CRR1C1为所作的辅助平面.
(2)在面CRR1C1内延长R1C1,交RP的延长线于M.
(3)在面A1B1C1D1内,连接MQ,交C1D1于点S,延长MQ交B1A1的延长线于点T.
(4)连接TR,交AA1于点N,延长TR交B1B于点K,再连接KP交BC于点L.
(5)连接RL、PS、QN.则多边形QNRLPS为所求.

方法二：
(1) 先过Q作QE∥AA1,联结RE、QR
(2) 联结AC交RE于O点
(3) 过O作FO∥QE,交QR于F点
(4) 联结PF并延长,交AA1于G
(5) 联结GQ并延长,交DD1于J
(6) 联结JP,交C1D1于H,延长线交DC延长线于K
(7) 联结KR,交BC于I
(8) 联结RGQHPC,则多边形RGQHPC为所求

方法三：
(1) 过Q作辅助平面QGHL平行于ADD1A1
(2) 联结RC1,交GH于K,联结RP.
(3) 过K作KI∥CC1交RP于I,这点便是RP与辅助平面的交点.
(4) 联结QI并延长交平面CDD1C1于M,过F、E分别作QI的平行线,交BC、AA1于E、F
(5) 联结PM交C1D1于J
(6) 联结JREQFP,则多边形JREQFP为所求

18.用反证法证明线面位置关系
反证法,又称归谬法,是一种论证方式,首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下,结论不成立）,然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证.反证法在数学中经常运用.当论题从正面不容易或不能得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓正难则反.应用反证法证题时,要全面考虑反面的各种情况,逐一推出矛盾进行排除,具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2)归谬；(3)否定假设,肯定结论．
【对点训练18】如果一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线和平面相交．
【解析】
已知：A∈α,A∈a,B∉α,B∈a.
求证：直线a与平面α相交．
假设直线a和平面α不相交,则a∥α或a⊂α.
假设a∥α,就与A∈α,A∈a矛盾；
假设a⊂α,就与B∉α,B∈a矛盾．
∴假设不成立．
∴直线a与平面α相交．
二、跟踪检测
一、单选题
1．如图,在下列四个正方体中,、为正方体的两个顶点,、、为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线不平行与平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A：如图,在正方体中,,所以,
又平面MNQ,平面MNQ,所以平面MNQ；

B：如图,在正方体中,,所以,
又平面MNQ,平面MNQ,所以平面MNQ；

C：如图,在正方体中,,所以,
又平面MNQ,平面MNQ,所以平面MNQ；

D：如图,连接BE交MN于点F,连接QF,连接CD交BE与点O,
若平面MNQ,平面ABE,平面ABE平面MNQ=FQ,
则,所以,
由于M、N分别是DE、CE的中点,所以,且,
所以,有,所以,又,
所以,所以与平面MNQ不平行.

故选D
2．（2021届辽宁省实验中学高三考前模拟）如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,正确的命题是（ ）

A．AB与CF成45°角 B．BD与EF成45°角
C．AB与EF成60°角 D．AB与CD成60°角
【答案】D
【解析】由题意得,将正方体的平面展开图还原为正方体,如图,
CF和BD平行,AB垂直与BD,所以AB与CF成角,故A错误；
BD与CF平行,CF垂直与EF,所以BD与EF成角,故B错误；
EF与CG平行,AB与CG成角,所以AB与EF成角,故C错误；
CD与AE平行,在三角形AEB中,AE=EB=AB,所以,所以AB与CD成角,故D正确.故选D

3．已知正方体中,分别为的中点,则直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示,易知,则为直线与EF所成角.
不妨设AB=2,则,由余弦定理得
即直线与所成的角的余弦值为.故选.

4．（2022届广西柳州市高三摸底考试）三棱锥中,若,则P在底面上的投影О为的（ ）
A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心
【答案】B
【解析】由题意可得,,因为,为公共边,所以≌≌,所以,所以为的外心,故选B.

5．（2022届安徽省六校教育研究会高三上学期第一次测试）下列说法正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面 B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥
C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 D．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形
【答案】D
【解析】A.错误,经过不共线的三点确定一个平面；B.错误,正八面体的八个面也都是正三角形；C.错误,侧面都是正方形,但底面如果不是正多边形,也不是正棱柱,比如侧面是正方形,但底面是菱形的柱体不是正四棱柱；D.正确,底面是直角三角形,一条侧棱和底面垂直,并且垂直落在非直角顶点处的三棱锥,即可满足条件.故选D
6．如图,在三棱柱中,,,,,则异面直线与所成的角等于（ ）

A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解析】因为,,,平面,
所以平面,面,所以．
又,,所以,所以三棱柱为直三棱柱．如图,在直三棱柱中,,,将其补形成正方体,
连接,,则,,所以四边形为平行四边形,
所以,所以或其补角为异面直线与所成的角．
在中,,所以,
所以异面直线与所成的角等于60°,故选B．

7．如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是平面ADD1A1的中心,M、N、F分别是B1C1、CC1、AB的中点,则下列说法正确的是（ ）

A．MNEF,且MN与EF平行 B．MNEF,且MN与EF平行
C．MNEF,且MN与EF异面 D．MNEF,且MN与EF异面
【答案】D
【解析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2a,
则,
作点E在平面ABCD内的射影点G,连结EG,GF,
所以,
所以MN,故选项A,C错误；
连结DE,因为E为平面ADD1A1的中心,所以DE,
又因为M,N分别为B1C1,CC1的中点,所以MN∥B1C,
又因为B1C∥A1D,所以MN∥ED,且DE∩EF＝E,
所以MN与EF异面,故选项B错误；故选D．

8．将如图1所示的平面图形翻折成如图2的正方体,其中,,分别对应,,．有下列四个命题,其中正确命题的个数为（ ）
①在图1中,,翻折后对应的两线段仍然保持平行；
②对于图1中的与,翻折后对应的两直线所成的角为；
③为边上的中点,过,,三点的平面在正方体所得的截面为菱形；
④为正方体的侧面内任一点,若始终保持的关系,则点的运动轨迹为线段．

图1 图2
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于①,由翻折可知,图1中的,分别对应图2中的与,①错误；对于②,由翻折可知,图1中与翻折后对应的两线段分别为和,易知,易知为等边三角形,②正确；对于③,取中点,则,,截面为平行四边形．又,截面为菱形,③正确；对于④,平面,,又,平面,．同理．又,平面．
又平面,,点轨迹为平面与平面的交线,
④正确．综上所述可知选项②③④正确．

故选C
9．（2021届浙江省金华十校高三下学期4月模拟）已知四面体,,,平面,于E,于F,则（ ）

A．可能与垂直,的面积有最大值
B．不可能与垂直,的面积有最大值
C．可能与垂直,的面积没有最大值
D．不可能与垂直,的面积没有最大值
【答案】D
【解析】由平面知,,,则,
利用等面积法求得斜边上的高,从而有,则为等腰三角形,不可能与垂直,即不可能与垂直.,故AC错误；由上知,,设,则,,由余弦定理知,,
则由知,,故为锐角,且
的面积,当取得右侧边界点时,三点共线,不能构成三角形,故无最大值,故B错误,D正确；故选D
10．（2022届山西省大同市高三上学期开学摸底联考）如图,在正方体中,点P为线段上的动点（点与,不重合）,则下列说法不正确的是（ ）

A．
B．三棱锥的体积为定值
C．过,,三点作正方体的截面,截面图形为三角形或梯形
D．DP与平面所成角的正弦值最大为
【答案】D
【解析】由题可知平面,所以,故A正确；由等体积法得为定值,故B正确；设的中点为,当时,如下图所示：

此时截面是三角形,当时,如下图所示：

此时截面是梯形,故C正确；
选项D,在正方体中,连接,则为在平面上的射影,则为与平面所成的角,设正方体的棱长为1,,则,,当取得最小值时,的值最大,即时,的值最小为,所以的值最大为,故D不正确.故选D.
11．（2021届黑龙江省实验中学高三下学期四模）已知正方体内切球的表面积为,是空间中任意一点：
①若点在线段上运动,则始终有；
②若是棱中点,则直线与是相交直线；
③若点在线段上运动,三棱锥体积为定值；
④为中点,过点,且与平面平行的正方体的截面面积为;
以上命题为真命题的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】因为正方体内切球的表面积为,设内切球的半径为,则,解得,所以正方体的棱长为,

因为,且,
所以面,因为面,
所以恒成立,故①是真命题；

由图可知,直线与是异面直线,故②是假命题；


由图可知：因为,三棱锥体积等于三棱锥的体积,
由①知,面,所以点到面的距离为,
因为动点到直线的距离等于1,
所以的面积等于,
所以,故棱锥体积为定值,故③是真命题；
取中点为,中点为,连接,
因为,所以面面,
所以过点,且与平面平行的正方体的截面为面,
由图可知面是菱形,其中对角线长为,
所以,故④是真命题；真命题的个数有3个,故选B;
12．已知长方体中,,点在线段上,,平面过线段的中点以及点,若平面截长方体所得截面为平行四边形,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设,则,设线段的中点为M,平面与交于点G,连接GE,
若平面截长方体所得截面为平行四边形,即四边形是平行四边形,所以,
随着点E从C向移动,则点G沿着向下运动,当点G仍在线段上时,面截长方体所得截面始终是平行四边形,则点G从的中点开始运动,此时点E与重合,直到点G运动到点D为止,此时点E为的中点,所以临界状态为点E为的中点,此时,所以,
故选：D.

二、多选题
13．（2021届重庆市康德卷高三下学期模拟）已知空间中的两个不同平面、和两条不同直线、,若,,,则（ ）
A．直线、可能平行 B．直线、可能异面
C．直线、可能垂直 D．直线、可能相交
【答案】ABC
【解析】由于,,,则、无交点,故直线、可能平行、异面或垂直.故选ABC.
14．（2021届福建省南平市浦城县高三上学期期中）设α,β,γ是三个不重合的平面,是直线,下列命题中正确的命题有（ ）
A．若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ；
B．若α上有不共线的三点到β的距离相等,则βα；
C．若⊥α,β,则α⊥β；
D．若⊥α,,则βα.
【答案】CD
【解析】若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可相交可平行,可垂直,所以A不正确；
若α上有不共线的三点到β的距离相等,则βα或β与α相交,所以B不正确；
若⊥α,β,则β内存在与平行的直线,且⊥α,由面面垂直的判定定理可知则α⊥β,所以C正确；
若⊥α,,且β,α不重合,所以βα,所以D正确.
故选CD.
15．（2022届山东省青岛市高三上学期开学考试）在三棱柱中,,,,分别为线段,,,的中点,下列说法正确的是（ ）
A．,,,四点共面 B．平面平面
C．直线与异面 D．直线与平面平行
【答案】ABC
【解析】A. 连接,如图所示,因为为中点,所以,
又因为为中点,所以,所以,所以,,,四点共面,故正确；

B.连接,

因为位中点,所以,又平面,平面,
所以平面,
同理,由可证明平面,且,
所以平面平面,故正确；
C. 取的中点,连接,如图所示：

显然四边形为平行四边形,
又因为,平面,平面,
所以平面,且平面,所以直线与异面,故正确；
D.连接,连接,如下图所示：
若平面,因为平面,所以（*）,
因为,所以,
因为,所以,
所以,所以不成立,这与（*）矛盾,
故错误；

故选ABC.
16．（2021届江苏省泰州市高三上学期学情检测）如图,在四棱锥中,底面为菱形,,侧面为正三角形,且平面平面,则下列说法正确的是（ ）

A．在棱上存在点,使平面
B．异面直线与所成的角为90°
C．二面角的大小为45°
D．平面
【答案】ABC
【解析】
A选项：如图,取的中点,连接,

∵侧面为正三角形,,
又底面是菱形,,是等边三角形,
又为的中点,
又,,在平面内,且相交于点,
平面,故选项A正确；
B选项：由选项A知,平面,又平面,,
即异面直线与所成的角为90°,故选项B正确；
C选项：∵平面, ,
平面,,,
又平面平面,是二面角的平面角,
设,则,,
在直角中,,即,
故二面角的大小为,故选项C正确；
D选项：因为平面平面,,
所以平面,又平面,所以.
假设平面,则有,又,在平面内,且相交于点,
所以平面,又平面,所以,
而由题可知,与的夹角为,矛盾,故假设不成立,故选项D错误.
故选ABC.
三、填空题
17．如图,、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线与是异面直线的图形有______.

【答案】②④
【解析】根据题意,
在①中,且,则四边形是平行四边形,有,不是异面直线；
图②中,、、三点共面,但面,因此直线与异面；
在③中,、分别是所在棱的中点,所以且,故,必相交,不是异面直线；
图④中,、、共面,但面,与异面．
所以图②④中与异面．
故答案为：②④.
18．（2021届陕西省渭南市富平县高三下学期二模）在空间中,给出下面四个命题,其中真命题的个数为___________.
①过平面外的两点,有且只有一个平面与平面垂直；
②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等,则；
③若直线与平面内的无数条直线垂直,则；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线.
【答案】.
【解析】对于①中,当平面外两点的连线与平面垂直时,此时过两点有无数个平面与平面垂直,所以①不正确；
对于②中,只有当不共线的三点在平面的同侧时,才能得到,所以②不正确；
对于③中,只有直线与平面内的任意直线垂直时,才能得到,所以③不正确；
对于④中,两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点,所以④不正确,
综上可得,正确命题的个数为0个.
19．（2021届安徽省宣城市郎溪县高考仿真模拟）在正方体中,,点,分是棱,的中点,有下列命题：
①平面平面；
②平面截正方体所得截面的面积为；
③直线与平面所成角的正弦值为；
④若点是线段上的一个动点,则三棱锥的体积为定值.
其中正确的选项是___________.
【答案】①②④
【解析】取的中点,连接,与平行且相等,则是平行四边形,与平行且相等,同理与平行且相等,
与与平行且相等,是平行四边形,与行且相等,
所以与平行且相等,是平行四边形,平行四边形就是截面,
首先由,平面,平面,得平面,同理平面,而,平面,所以平面平面,①正确；
平行四边形是菱形,边长为,对角线,,
面积为,②正确；
如图,以为轴建立空间直角坐标系,则．,,,
设平面的一个法向量是,则,
取得,
,它的一个方向向量为,
,
所以直线与平面所成角的正弦值为,③错；

由平面,点是线段上,所以到平面的距离不变,面积不变,所以不变．④正确．
故答案为：①②④．
四、解答题
20．20．（2022届广西柳州市高三摸底）如图,直四柱中,,为的中点,底面是边长为4的菱形,.

（1）证明：,,,四点共面；
（2）求点到平面的距离
【解析】（1）证明：连接,
因为为的中点,所以点在上,
因为∥,,
所以四边形为平行四边形,
所以∥,
因为点在上,所以,,,四点共面；
（2）取的中点,连接,,取的中点,连接,
因为为的中点,所以∥,
因为∥,
所以∥,
因为平面, 平面,
所以∥平面,
所以点到平面的距离等于点到平面的距离,设为,
因为底面是边长为4的菱形,,
所以,,,
因为平面,平面,
所以,
因为,
所以平面,
因为,
所以,
因为,
,
,
所以,
因为,
所以,得