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    清单25 空间几何体的结构、表面积与体积(解析版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

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    清单25 空间几何体的结构、表面积与体积(解析版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

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    这是一份清单25 空间几何体的结构、表面积与体积(解析版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练,共34页。试卷主要包含了知识与方法清单,跟踪检测,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    清单25 空间几何体的结构、表面积与体积
    一、知识与方法清单
    1.多面体的结构特征
    名称
    棱柱
    棱锥
    棱台
    图形



    底面
    互相平行且全等
    多边形
    互相平行
    侧棱
    平行且相等
    相交于一点但不一定相等
    延长线交于一点
    侧面形状
    平行四边形
    三角形
    梯形
    【对点训练1】关于如图所示的4个几何体,下列说法正确的是(  )

    A.只有②是棱柱 B.只有②④是棱柱
    C.只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱
    【答案】D
    【解析】解决这类问题,要紧扣棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,图①②④满足棱柱的定义,正确;图③不满足侧面都是平行四边形,不正确.
    2.棱柱又分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;
    底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
    【对点训练2】如图,在直三棱柱中,已知是边长为1的等边三角形,,,分别在侧面和侧面内运动(含边界),且满足直线与平面所成的角为30°,点在平面上的射影在内(含边界).令直线与平面所成的角为,则的最大值为( )

    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为点为在平面上的射影,所以平面,连接,则,故在以为直径的球面上.又与平面所成的角为30°,所以,过作于点,如图1所示,则易得,,,,所以在如图2所示的圆锥的底面圆周上,又在内(含边界),故在三棱柱及其内部,其轨迹是以为圆心,为半径的圆中圆心角为60°的圆弧,且在底面上的射影的轨迹(以为圆心,为半径的一段圆弧)如图3所示,连接,易知直线与平面所成的角,且,故当最小时,最大,是圆弧圆心,则当在上时,最小,最小值为,所以.故选A.
    3.特殊的四棱柱

    【对点训练3】下列说法中正确的是(  )
    A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
    B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
    C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
    D.四棱柱有4条侧棱,4个侧面,侧面为平行四边形
    【答案】D
    【解析】A,B都错,反例如图①;C也错,反例如图②,上、下底面是全等的菱形,侧面是全等的正方形,但它不是正方体;根据棱柱的定义,可知D正确.

    4.如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.
    正棱锥的性质:
    侧棱相等,侧面是全等的三角形;棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个直角三角形;斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个三角形.
    【对点训练4】(2021届衡水金卷河北省高三数学模拟)已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,且侧棱长为,则此三棱锥的外接球的表面积为( )
    A. B.3 C.6 D.9
    【答案】C
    【解析】正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球,所以外接球的直径,所以,外接球的表面积,故选C
    5.正三棱柱与正四面体
    底面是正三角形的正棱锥是正三棱锥.所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体, 正四面体是正三棱锥,但正三棱锥不一定是正四面体,正四面体所有面都是全等的正三角形.
    【对点训练5】(2021届云南师范大学附属中学高三月考)棱长为的正四面体容器中能放进10个半径为1的小球,则的最小值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】如图,10个半径为1的小球放进棱长为的正四面体中,成三棱锥形状,有3层,则从上到下每层的小球个数依次为:1,,个,当取最小值时,从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切,底层的每个球都与正四面体底面相切,任意相邻的两个小球都外切,位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体,则该正四面体的棱长为,可求得其高为,所以正四面体的高为,进而可求得其棱长的最小值为.故选A.
    6.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.
    正棱台的性质:
    侧面是全等的等腰三角形;斜高相等;棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形;棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形;棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形.
    【对点训练6】(2021届贵州省黔东南州高三上学期月考)已知正三棱台的上下底边长分别为,高为7,若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上,且球心在正三棱台内,则球的表面积为__________.
    【答案】
    【解析】因为正三棱台的上、下底面边长分别为,
    取正三棱台的上、下底面的中心分别为,
    则正三棱台的高为,
    在上下底面的等边三角形中,可得,
    则球心在直线上,且半径为,
    所以,且,
    解得,所以,
    所以球的表面积为.

    7.旋转体的结构特征
    名称
    圆柱
    圆锥
    圆台

    图形




    母线
    平行、相等且垂直于底面
    相交于一点
    延长线交于一点

    轴截面
    全等的矩形
    全等的等腰三角形
    全等的等腰梯形

    侧面
    展开图
    矩形
    扇形
    扇环

    【对点训练7】将锐角三角形绕其一边旋转一周所形成的空间几何体是
    A. 一个圆柱 B. 一个圆锥 C. 一个圆台 D. 两个圆锥的组合体
    【答案】D
    【解析】可以画出一个锐角三角形,以其中的一个边为轴,竖直旋转,可以想象到是两个同底的圆锥扣在一起.故是两个圆锥的组合体.故选D.
    8. 空间几何体概念辨析题的常用方法
    (1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.
    (2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.
    【对点训练8】下列说法中正确的是(  )
    ①棱锥的各个侧面都是三角形;
    ②三棱柱的侧面为三角形;
    ③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;
    ④棱锥的各侧棱长都相等.
    A.①② B.①③
    C.②③ D.②④
    【答案】B
    【解析】由棱锥的定义可知,棱锥的各个侧面都是三角形,①正确;由棱锥的定义可知,棱柱的侧面都是平行四边形,②错误;③正确;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,但各侧棱必须有一个公共顶点,④不正确.故选B.
    9.将一个多面体的外表面展开,就像打开一件礼物的包纸.礼物外形不同,包装纸的形状也各不相同.如正方体按照不同的方式展开,所得到的展开图共有以下11种.

    利用多面体的平面展开图可求多面体表面上的最短距离
    【对点训练9】长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1=4,AB=3,AD=5,则从A点沿长方体表面到达C1点的最短距离为(  ).
    A.4 B.3 C. D.8
    【答案】C
    【解析】方式一:将长方体沿AA1剪开成平面图形,则 =;
    方式二:
    沿AB展开,AC1==3;
    方式三:沿AD展开,则有AC1==.
    因为,
    所以从点A沿表面到C1的最短距离为,故选C.
    10.空间几何体的直观图
    空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是
    (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为45°或135°,z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
    (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴;平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.
    【对点训练10】有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.

    【答案】2+
    【解析】如图1,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E.在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=.又四边形AECD为矩形,AD=EC=1,∴BC=BE+EC=+1,由此还原为原图形如图2所示,是直角梯形A′B′C′D′.在梯形A′B′C′D′中,A′D′=1,B′C′=+1,A′B′=2.
    ∴这块菜地的面积S=(A′D′+B′C′)·A′B′=××2=2+.

    11. 斜二测画法中的“三变”与“三不变”
    “三变”
    “三不变”
    【对点训练11】下列说法正确的是(  )
    A.相等的角在直观图中仍然相等
    B.相等的线段在直观图中仍然相等
    C.正方形的直观图是正方形
    D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
    【答案】D
    【解析】由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行性不变.
    12.用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积是原平面图形面积的.
    【对点训练12】已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
    【答案】
    【解析】如图所示,作出等腰梯形ABCD的直观图.

    因为OE=1,所以O′E′=,E′F=,
    则直观图A′B′C′D′的面积S′=×=.
    13.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

    圆柱
    圆锥
    圆台
    侧面展开图



    侧面积公式
    S圆柱侧=2πrl
    S圆锥侧=πrl
    S圆台侧=π(r1+r2)l

    【对点训练13】如图,圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点,求:
    (1)绳子的最短长度;
    (2)在绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离.

    【解析】(1)侧面展开图的圆心角为θ=10-520×360°=90°.
    设OB'=l',则5l'·360°=90°,l'=20(cm),∴OA=40(cm),OM=30(cm),
    ∴AM=OA2+OM2=50(cm).故绳子的最短长度为50 cm.
    (2)∵OA·OM=AM·OQ,
    ∴OQ=24(cm).
    故PQ=24-20=4(cm),即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
    14.空间几何体的表面积与体积公式
    名称
    几何体
    表面积
    体积
    柱体(棱柱和圆柱)
    S表面积=S侧+2S底
    V=S底·h
    锥体(棱锥和圆锥)
    S表面积=S侧+S底
    V=S底·h
    台体(棱台和圆台)
    S表面积=S侧+S上+S下
    V=(S上+S下+)h

    S=4πR2
    V=πR3
    【对点训练14】(2022届江西省赣抚吉名校高三8月联考)已知圆锥的轴截面是顶角为120°,腰为1的等腰三角形,若该圆锥的顶点与底面圆周都在球O的球面上,则球O的表面积为___________.
    【答案】
    【解析】因圆锥的轴截面是顶角为,腰为1的等腰三角形,则圆锥底面圆半径为,高为设球O的半径为R,则球心到截面小圆距离为,于是有,解得R=1,所以球O的表面积.
    15.求解多面体的表面积,关键是找到其中的特征图形,如棱柱中的矩形,棱锥中的直角三角形,棱台中的直角梯形等,通过这些图形,找到几何元素间的关系,通过建立未知量与已知量间的关系进行求解.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用,多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
    【对点训练15】已知长方体木块中,,从该木块中挖去一个圆锥,使得圆锥的顶点为正方形的中心,底面圆为正方形的内切圆,则剩余部分的表面积为_____________.
    【答案】
    【解析】剩余部分的表面积为长方体木块的表面积减去一个半径为的圆的面积,再加上一个底面半径为,高为的圆锥的侧面积,即.
    16.求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法:①割补法:将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体积,从而得出要求的几何体的体积;②等积变换法:特别地,对于三棱锥,由于其任意一个面均可作为棱锥的底面,从而可选择更容易计算的方式来求体积;利用“等积性”还可求“点到面的距离”.
    【对点训练16】(2021届广东省珠海市考前模拟)七面体玩具是一种常见的儿童玩具.在几何学中,七面体是指由七个面组成的多面体,常见的七面体有六角锥、五角柱、正三角锥柱、Szilassi多面体等.在拓扑学中,共有34种拓扑结构明显差异的凸七面体,它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的.在如图所示的七面体中,平面

    (1)在该七面体中,探究以下两个结论是否正确.若正确,给出证明;若不正确,请说明理由:
    ①平面;
    ②平面;
    (2)求该七面体的体积.
    【解析】(1)结论①正确,结论②错误,理由如下:
    对于结论①,因为且,连接,
    所以四边形是平行四边形,
    所以,因为平面,平面,
    平面结论①正确
    对于结论②,若,则,
    因为平面,,所以平面,
    所以,又因为,所以平面,
    所以,而在梯形中,,
    ,所以,与矛盾
    所以结论②错误.
    (2)方法一:连接,交于点,连接,
    则在平面中,与EG相交,
    设交点为,则由可得,
    又,

    该七面体的体积等于



    方法二:将该七面体补成如图所示的长方体;



    17.几何体的外接球问题关键是确定球心位置,主要方法有:①将几何体还原或补为正方体或长方体,进而确定球心;②几何体的外接球球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上;③球心到各顶点的距离都相等;④球心一定在外接球的直径上.
    【对点训练17】(多选题)(2021届重庆市高三第三次联合诊断)设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球),已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1,若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切,则( )
    A.该正方体的核长为2 B.该正方体的体对角线长为
    C.空心球的内球半径为 D.空心球的外球表面积为
    【答案】BD
    【解析】设内外球半径分别为r,R,则正方体的棱长为,体对角线长为,∴,
    又由题知,所以,,
    ∴正方体棱长为,体对角线长为,
    ∴外接球表面积为,故选BD.
    18.(2022届广西柳州市新高三上学期摸底)求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑:一是根据球的截面的性质,利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系R2=r2+d2求解.
    【对点训练18】若球О是直三棱柱的外接球,三棱柱的高和体积都是4,底面是直角三角形,则球О表面积的最小值是___________.
    【答案】
    【解析】由题意得,在底面直角三角形中,设,,如图,
    设三棱柱的外接球的半径为R,则,
    又三棱柱的高和体积都为4,所以,得,
    所以三棱柱外接球的表面积为:

    (当且仅当时等号成立),
    所以外接球的表面积的最小值为.

    二、跟踪检测
    一、单选题
    1.(2022届广东省深圳市高三上学期8月调研)已知圆柱的底面半径为2,侧面展开图为面积为的矩形,则该圆柱的体积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】设圆柱的高为,则,所以圆柱的体积为.
    故选A
    2.(2022届浙江省高三高考命题研究组方向性测试)如图是用斜二测画法画出的的直观图, 则是( )

    A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法判断
    【答案】C
    【解析】根据斜二测画法规则知,把直观图还原为平面图,如图所示:

    所以是钝角.故选.
    3.(2021届河南省洛阳市高三4月调研)大约于东汉初年成书的我国古代数学名著《九章算术》中,“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”实际是知道了球的体积,利用球的体积,求其直径的一个近似值的公式:,而我们知道,若球的半径,则球的体积,则在上述公式中,相当于的取值为( )
    A.3 B. C. D.
    【答案】C
    【解析】由得,比较,相当于的取值为.
    故选C.
    4.(2021届云南省曲靖市高三二模)如图,在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12,底面圆的半径等于4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥侧面爬行一周后回到点处,则小虫爬行的最短路程为( )

    A. B.16 C.24 D.
    【答案】A
    【解析】如图,设圆锥侧面展开扇形的圆心角为,则由题可得,则,
    在中,,则小虫爬行的最短路程为.故选A.

    5.(2021届广东省江门市高三5月冲刺)如图,在四边形中,,,,现沿对角线折起,使得平面平面,此时点,,,在同一个球面上,则该球的体积是( ).

    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】如图,取的中点,连接,因为,所以,
    因为平面平面,平面平面,平面,
    所以平面,因为,所以棱锥外接球的球心在直线上,
    因为,,,
    所以,
    设,则,
    所以,解得,
    所以外接球的半径为,
    外接球的体积为,故选A

    6.(2022届浙江省百校高三上学期开学联考)如图,点在正方体的面对角线上运动,则下列结论一定成立的是( )

    A.三棱锥的体积大小与点的位置有关
    B.与平面相交
    C.平面平面
    D.
    【答案】C
    【解析】对于A中,由,在正方体中,可得平面,所以到平面的距离不变,即三棱锥的高不变,又由的面积不变,因此三棱锥的体积不变,即三棱锥的休积与点的位置无关,故A不成立.

    对于B中,由于,平面,平面,所以平面,同理可证平面,又由,所以平面平面,
    因为平面,所以平面,所以B不成立.

    对于C中,因为,,,
    所以平面,则,同理,
    又因为,所以平而.
    又由平面,所以平面平面,所以C成立.
    对于D中,当与重合时,可得与的夹角为,所以D不成立.故选C.
    7.(2021届山西省怀仁市高三下学期一模)在矩形ABCD中,BC=4,M为BC的中点,将△ABM和△DCM分别沿AM,DM翻折,使点B与点C重合于点P,若∠APD=150°,则三棱锥M-PAD的外接球的表面积为( )
    A.12π B.34π C.68π D.126π
    【答案】C
    【解析】由题意可知,MP⊥PA,MP⊥PD.且PA∩PD=P,PA⊂平面PAD,PD⊂平面PAD,所以MP⊥平面PAD.设△ADP的外接圆的半径为r,则由正弦定理可得=2r,
    即=2r,所以r=4.设三棱锥M-PAD的外接球的半径为R,则,即,所以,所以外接球的表面积为.

    故选C.
    8.(2022届江苏省南京市高三上学期质量检测)以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球,并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°,记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和,则( )
    A.1 B. C. D.
    【答案】D
    【解析】如图,正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球,
    设到底面的距离为,到底面的距离为,
    则,取的中点,连接,,,记与平面的交点为,
    由两个正三棱锥和内接于同一个球,故一定为球的直径,
    记其中点为,且由题意可知,为正三角形的中心,
    因此,,分别为正三棱锥和正三棱锥的高,,
    由,,,且为的中点,可得,,,
    则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为,
    ,,记球的半径为,于是,
    在中,由勾股定理可得,,
    解得,于是,
    则..故选D.

    9.(2021届江苏省常州市高三下学期学情检测)已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,且.若四棱锥P-ABCD的五个顶点在以4为半径的同一球面上,当PA最长时,则四棱锥P-ABCD的体积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】如图,由及,得平面,即点在与垂直的圆面内运动,由题意知,当、、三点共线时,达到最长,此时,是圆的直径,则,又,所以平面,此时可将四棱锥
    补形为长方体,
    其体对角线为,底面边长为2的正方形,
    由题意得高,故四棱锥体积.

    故选C
    10.已知正三棱锥中,底面是边长为的正三角形,侧棱长为,为的中点,为中点,是的动点,是平面上的动点,则的最小值是( )

    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】因为为上的动点,为平面上的动点,且两者的运动无关,所以采用一定一动的原则,先固定,当在动的时候,显然,当平面时,取最小值,为了确定垂直状态在哪里,具体给出下图:

    作分别交、于点、,连接,
    当点在上且时,平面,
    以下证明此时平面,
    ,为的中点,则,同理可知,,
    ,平面,
    所以,,所以,平面,
    此时,再将平面绕着转动,使得、、、四点共面,
    此时,释放点,当点在运动过程中,、、三点共线时,
    ,
    已经找到最小状态,易知,,
    ,平面,则平面,则平面,
    平面,,故,则,
    ,,则,则为等腰直角三角形,
    故,,
    因为.故选A.
    11.(2021届安徽师范大学附属中学高三下学期5月最后一卷)如图所示,圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形,,为中点.若底面所在平面上有一个动点,且始终保持,过点作的垂线,垂足为.当点运动时,

    ①点在空间形成的轨迹为圆
    ②三棱锥的体积最大值为
    ③的最大值为2
    ④与平面所成角的正切值的最大值为
    上述结论中正确的序号为( ).
    A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③
    【答案】D
    【解析】建系如图,为等腰直角三角形,



    在所在圆上,设,
    ,
    ,
    则M的轨迹为圆,
    是以OA为直径在xoy面上的圆.
    又随着M运动,H轨迹是以OC为直径的圆,故①正确
    ②由图可得,B到面COH的距离为1,,

    故②正确;
    ③设,则,,
    ,当时等号成立,
    即当H运动到点C时,,故③正确;
    ④由①知H在以OC为直径的圆上,且该圆所在的平面与平面PAB垂直,由对称性,只考虑C在上半圆,
    如图,
    过H作,过B作,
    则BH与平面PAB所成的角为,又,
    ,
    故④错误.
    综上所述,正确的序号为①②③故选D
    12.(2021届四川省成都市石室中学高三一模)已知棱长为的正方体,棱中点为,动点、、分别满足:点到异面直线、的距离相等,点使得异面直线、所成角正弦值为定值,点使得.当动点、两点恰好在正方体侧面内时,则多面体体积最小值为( )

    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】由题意都在平面内,其中为定点.
    点到异面直线、的距离相等,
    在正方体中,平面, 故连接,有,所以为点到直线的距离.
    所以在平面上,点满足到点的距离等于到直线的距离.
    所以动点的轨迹是为以为焦点,以为准线的抛物线在正方体侧面内的部分.
    由,所以异面直线、所成角为(或其补角)
    在正方体中,平面,又平面,所以
    所以,又
    所以,则
    所以,即动点的轨迹是为以为圆心,为半径的圆.
    在四边形中,,又

    在平面内,取的中点,连接,以为轴,为轴
    则直线的方程为:,即,
    则点到直线的距离的最值为:
    所以的最小值为.
    动点的轨迹方程为:,设
    所以点到直线的距离 (当时取得等号)
    所以面积最小值

    所以四边形面积

    点满足,又.
    所以点在以为弦的劣弧上,由,则圆心角为. 其半径为2,圆心到的距离为.
    所以圆弧上的点到的距离的最大值为.
    当劣弧所在的平面垂直于平面时,圆弧上的点到平面的距离最小值为
    所以动点到面距离最小值为,
    所以多面体体积最小值为
    故选A
    二、多选题
    13.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,下列结论正确的是( )
    A.圆柱的侧面积为 B.圆锥的侧面积为
    C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆锥的表面积最小
    【答案】CD
    【解析】对于A,圆柱的底面直径和高都与一个球的直径相等,
    圆柱的侧面积为,故A错误;
    对于B,圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等,
    圆锥的侧面积为,故B错误;
    对于C,圆柱的侧面积为,球面面积为,
    圆柱的侧面积与球面面积相等,故C正确;
    对于D,圆柱的表面积为,
    圆锥的表面积为,
    球的表面积为,
    圆锥的表面积最小,故D正确.故选CD
    14.(2021届广东省实验中学高三考前热身)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”,则( )
    A.“羡除”有且仅有两个面为三角形; B.“羡除”一定不是台体;
    C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”; D.“羡除”至多有两个面为梯形.
    【答案】ABC
    【解析】由题意知:,四边形为梯形,如图所示:

    对于A:由题意知:“羡除”有且仅有两个面为三角形,故A正确;
    对于B:由于,所以:“羡除”一定不是台体,故B正确;
    对于C:假设四边形和四边形BCDF为平行四边形,则,且,则四边形为平行四边形,与已知的四边形为梯形矛盾,故不存在,故C正确;
    对于D:若,则“羡除”三个面为梯形,故D错误.
    故选ABC.
    15.(2021届江苏省泰州中学高三下学期四模)如图,在正方体,中,是棱的中点,是线段(不含端点)上的一个动点,那么在点的运动过程中,下列说法中正确的有( )

    A.存在某一位置,使得直线和直线相交
    B.存在某一位置,使得平面
    C.点与点到平面的距离总相等
    D.三棱锥的体积不变
    【答案】BCD
    【解析】对于A,假设存在,则四点共面,而点不在平面内,故A错误.
    对于B,因为,所以平面,所以当是直线与平面的交点时就满足要求,故B正确.
    对于C,因为的中点在平面内,所以点与点到平面的距离总相等,故C正确.
    对于D,连接,交于O,则O为中点,
    所以,又平面,平面,
    所以平面,所以点到平面的距离为定值,
    从而三棱锥的体积为定值,即三棱锥的体积为定值,故D正确.

    故选BCD
    16.(2021届广东省茂名市五校联盟高三下学期第三次联考)如图所示的几何体中,底面是边长为2的正方形,为矩形,平面平面,,则下列结论正确的是( )

    A. B.异面直线与所成的角为
    C. D.三棱锥的体积为4
    【答案】AC
    【解析】因为为正方形,所以点O为的中点,
    又平面平面,为矩形,所以平面,平面,
    所以,所以,所以A正确;
    因为为正方形,所以,因为平面,
    所以,又,所以平面,又平面,
    所以,从而异面直线与所成的角为,所以B错误;
    在中,,所以,所以C正确;
    三棱锥的体积

    ,所以D错误.
    故选AC.
    三、填空题
    17.(2021届江西省兴国县高三上学期月考)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=2,且三棱锥P-ABC外接球的表面积为.则PA=_______
    【答案】
    【解析】由平面,,将三棱锥补成长方体,它的对角线是其外接球的直径, 三棱锥外接球的表面积为,设外接球的半径为,则,解得三棱锥外接球的半径为3,直径为6,,,


    18.(2021届上海市奉贤中学高三下学期期中)已知是面积为的等边三角形,且其顶点都在球的球面上,若球的表面积为,则到平面的距离为______
    【答案】1
    【解析】由题意可知图形如图:是面积为的等边三角形,可得,
    ,可得:,球的表面积为,设外接球的半径为;所以,解得,所以到平面的距离为:.

    19.(2021届四川省绵阳中学高三仿真模拟)在正四棱柱中,,,长为2的线段在棱上移动,长为3的线段在棱上移动,点在棱上移动,则四棱锥的体积是________.

    【答案】
    【解析】由正四棱柱的对角面为矩形,可得梯形的高为,
    面积为;由于点在棱上移动,平面,
    则到平面的距离即为到平面的距离,所以四棱锥的体积为.
    20.(2022届安徽省江淮十校高三上学期第一次联考)已知正方体的棱长为1,点为底面的四条棱上的动点,则的取值范围为______.
    【答案】
    【解析】由于点在底面各棱上相对点B、D位置相同,不妨设点在棱上,设,则,由勾股定理可得:
    ,
    其几何意义为轴上一动点()到两定点与的距离之和.易知其最小值即为到的距离,即.
    在平面几何中,的最大值在或处取得,
    当时,;当,.
    故的取值范围为.
    四、解答题
    21.(2022届云南省昆明市高三上学期第一次摸底)如图,已知四棱锥的底面是菱形,AC交BD于O,平面ABC,E为AD的中点,点F在PA上,.

    (1)证明:平面BEF;
    (2)若,,求三棱锥的体积.
    【解析】(1)设交于,连结.因为,分别是,的中点,
    所以,即. 又因为,所以,
    所以,又因为平面,平面,所以平面.
    (2)在菱形中,因为,,所以是边长为2的等边三角形,故.因为,平面,所以.
    故点到平面的距离等于,所以,即三棱锥的体积为.

    22.(2022届江西省智学联盟体高三上学期第一次联考)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点,AC=BC=3,AB=3,AA1=6.

    (1)求证:AC1//平面CDB1;
    (2)求点C1到平面CDB1的距离.
    【解析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连接BC1交B1C于点E,连接DE,如图,

    显然四边形BCC1B1是矩形,则E是BC1中点,而D是AB的中点,
    于是得DE//AC1,又平面,平面,
    所以AC1//平面CDB1;
    (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=3,AB=3,则,即,
    而D是AB的中点,则,
    又,,
    ,即,面积,
    显然,而,平面BCC1B1,于是得平面BCC1B1,
    点A到平面BCC1B1的距离为AC=3,点D是平面BCC1B1的斜线段BA的中点,从而得点D到平面BCC1B1的距离为,
    的面积,三棱锥的体积,
    设点C1到平面CDB1的距离为h,由,即,亦即,解得,
    所以点C1到平面CDB1的距离为2.
    23.如图,平面平面,其中为矩形,为直角梯形,,,,.

    (1)求证:平面;
    (2)若三棱锥的体积为,求点到平面的距离.
    【解析】(1)作于,
    因为,.
    所以可得,
    因为,所以,所以.
    所以,即
    因为面面,面 面,面
    所以面.
    (2)因为平面平面,,
    面面,面
    所以平面,,
    ,
    所以,因为,所以,
    因为平面,面,所以,
    所以,
    设点到平面的距离为,
    由可得,可得,
    所以点到平面的距离为

    24.如图,已知图1中是等腰三角形,,,分别是,的中点,沿着把折起到△,使得平面平面,图2中,,为的中点,连接.

    (1)求证:平面;
    (2)求四棱锥的侧面积.
    【解析】(1)证明:取中点,连接,,
    由点、分别是,的中点,
    得,,
    又,.
    所以四边形是平行四边形,
    所以,且平面,
    平面,
    所以平面;
    (2)因为是等腰三角形,,,,
    所以,
    所以是等腰直角三角形,且.
    分别取、的中点、,
    连接,,,从而有.
    又因为平面平面,平面平面,
    所以平面,
    又平面,所以,
    在△中,,,
    又翻折后,,在△中,,
    四棱锥的侧面积为:





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