专题训练24：锐角三角函数-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求（含答案）

这是一份专题训练24：锐角三角函数-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求（含答案），共21页。试卷主要包含了知识要点，课标要求，常见考点，专题训练等内容，欢迎下载使用。

1、锐角三角函数
正弦：；
余弦：；
正切：。
常见三角函数值：
2、解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。
二、课标要求：
1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cs A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。
2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
3、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
三、常见考点：
1、30°，45°，60°角的三角函数值。
2、30°，45°，60°角的三角函数值与实数运算的结合。
3、解直角三角形。
4、用锐角三角函数的相关知识解决一些简单的实际问题。
四、专题训练：
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝B．csA＝C．tanA＝D．csA＝
2．如图，在塔AB前的平地上选择一点C，测出看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45°，则塔AB的高为（ ）米．（≈1.7）
A．145米B．135米C．125米D．120米
3．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则csB的值为（ ）
A．B．C．D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB＝，则Rt△ABC的三边a、b、c之比a：b：c为（ ）
A．2：：3B．1：：C．1：2：3D．2：：
5．在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠A＝30°，则AB的长为（ ）
A．B．2C．或4D．2或4
6．用计算器求sin24°37'的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
8．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则sinA的值是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，AC＝CB，sin∠ACD＝，则tan∠BDC的值是（ ）
A．B．C．D．
10．若α是锐角，sin（α+15°）＝，那么锐角α等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
11．如图，CD是△ABC的高，若AB＝10，CD＝6，tan∠CAD＝，则BD＝ ．
12．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB等于 ．
13．如图，在2×4的方格中，两条线段的夹角（锐角）为∠1，则sin∠1＝ ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是 ．
15．如图，已知CD是△ABC的高，BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan∠EFA的值为 ．
16．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为 m．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17．如图，已知P（4，3）为∠α边上一点，则csα＝ ．
18．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，通过测量可知河的宽度CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，则AC＝ m（计算结果用含根号的式子表示）．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是 ．
20．如图，一山坡的坡度i＝1：，小明从A处爬到B处所走的直线距离AB＝10米，则他在垂直方向上升的高度CB为 米．
21．如图，在一次数学综合实践活动中，小亮要测量一教学楼的高度，先在坡面D处测得楼房项部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向教学楼方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°，已知坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）
22．一种升降熨烫台如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图1，若∠AOC＝120°，h＝60cm，求AB的长度；
（2）小明发现，实际使用时将家里这种升降熨烫台的两根支撑杆的夹角∠AOC由120°变为60°（如图2），使用起来才顺手，请问在（1）的条件下，该熨烫台升高了多少？
23．江阴芙蓉大道城市快速路在2020年5月份通车，在安装路灯过程中，工人师傅发现垂直于地面的灯柱OA与灯杆AB相交成一定的角度才能产生光照效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OC长为8m，从O、C两处测得路灯B的仰角分别为∠BOC和∠BCO，且tan∠BOC＝4，tan∠BCO＝．
（1）求路灯B到地面的距离；
（2）若∠OAB＝120°，求灯柱OA的高度（结果保留根号）．
24．如图所示，建筑物AB坐落在一斜坡的坡顶的平地上，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得建筑物AB在坡顶平地上的一部分影子BC＝15米，在斜坡CE上的另一部分影子CD＝5米，且斜坡CE的坡度为i（即tanα）＝1：，求建筑物AB的高度．（结果保留根号）
25．如图，楼和塔之间的距离AC为50m，小明在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，求楼高AD．
26．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，港口C的工作人员监测到点A在南偏东30°方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西60°方向，且B、C两地相距120海里．
（1）求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
（2）若该渔船从A处沿AC方向向港口C驶去，当到达点A'时，测得港口B在A'的南偏东75°的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
参考答案
1．解：如图所示：
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝4，
∴sinA＝，故A错误；
csA＝，故B正确；
tanA＝；故C错误；
csA＝，故D错误；
故选：B．
2．解：在Rt△ABD中，
∵∠ADB＝45°，
∴BD＝AB．
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴BC＝AB．
设AB＝x（米），
∵CD＝100米，
∴BC＝（x+100）米．
∴x+100＝x，
∴x＝50（+1），
即塔AB的高为50（+1）≈135米．
故选：B．
3．解：在Rt△BCD中，BD＝＝2，
所以csB＝＝＝．
故选：B．
4．解：∵∠C＝90°，
∴csB＝＝，
设a＝2x，c＝3x，
∴b＝＝x，
∴a：b：c＝2x：x：3x＝2：：3．
故选：A．
5．解：作CD⊥AB交AB的延长线于点D，
当B2C＝2时，
∵∠A＝30°，∠ADC＝90°，AC＝2，
∴CD＝，
∴AD＝＝3，B2D＝＝1，
∴AB2＝3﹣1＝2，
同理可得，AB1＝3+1＝4，
即AB的长为2或4，
故选：D．
6．解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“＝”即可得到结果．
故选：A．
7．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°．
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，
∴BE＝BC＝AE，
设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x．
∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，
即＝，
解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴AE＝2﹣2，
∴csA＝＝＝，故选：C．
8．解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝2，
设AC＝x，则BC＝2x，
∴AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．故选：C．
9．解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，过点C作CH⊥BD于H．
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，DE⊥EC，
∴∠ACE＝∠E＝90°，
∴四边形ACED是矩形，
∴AD＝CE，AC＝DE，
∵sin∠ACD＝＝，
∴可以假设AD＝3k，CD＝5k，则AC＝BC＝DE＝4k，
∴BE＝BC+CE＝7k，
∴BD＝＝＝k，
∵S△CBD＝•BC•DE＝•BD•CH，
∴CH＝k，
∴DH＝＝＝，
∴tan∠BDC＝＝＝．
故选：C．
10．解：∵sin45°＝，
∴α+15°＝45°，
∴α＝30°，
故选：B．
11．解：∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝6，tan∠CAD＝＝，
∴AD＝CD＝8，
∵AB＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣8＝2，
故答案为：2．
12．解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．
∵AB＝5，AC＝＝，BC＝＝5，
∴CD＝．
∵S△ABC＝15﹣﹣×4×3＝，
S△ABC＝×AC×DB，
∴××BD＝，
∴BD＝＝．
在Rt△BCD中，
tan∠ACB＝＝3．
故答案为：3．
13．解：如图，过点C作CE∥AB，连接DE，
∵CE＝，DE＝，CD＝，
∴DE＝CE，CE2+DE2＝10＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∵CE∥AB，
∴∠1＝∠DCE＝45°，
∴sin∠1＝，
故答案为：．
14．解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝AC．
∵AB＝AC，
∴AD＝AB．
在Rt△ABD中，
tan∠ADB＝＝2．
故答案为：2．
15．解：设AD＝x，则CD＝2x，BD＝4x，
∵CD为高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵＝＝2，
∴△ADC∽△CBD，
∴∠CAD＝∠BCD，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°，
∵AG＝GE，
∴CG＝AG＝GE，
∵EF⊥EA，
∴∠EFA+∠DAE＝90°，
∵∠DAE+∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠EFA，
在Rt△AGD中，设DG＝t，则AG＝CG＝2x﹣t，
∵x2+t2＝（2x﹣t）2，
∴t＝x，
∴tan∠AGD＝＝＝，
∴tan∠EFA＝．
故答案为．
16．解：作DE⊥AB于点E，
由题意可得，DE＝CD＝8m，
∵∠ADE＝50°，
∴AE＝DE•tan50°≈8×1.19＝9.52（m），
∵BE＝CD＝1.5m，
∴AB＝AE+BE＝9.52+1.52＝11.2≈11（m），
故答案为：11．
17．解：过点P（4，3）作PQ⊥x轴，垂足为Q，则PQ＝3，OQ＝4，
在Rt△POQ中，OP＝＝＝5，
所以csα＝＝，
故答案为：．
18．解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°，
∴AC＝2AB，DB＝AB．
设AB＝x，则BD＝x，AC＝2x，CB＝50+x，
∵tan∠ACB＝tan30°，
∴AB＝CB•tan∠ACB＝CB•tan30°．
∴x＝（50+x）•．
解得：x＝25（1+），
∴AC＝50（1+）（米）．
答：缆绳AC的长为50（1+）米．
故答案为：50（1+）
19．解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB•cs60°＝6，AH＝AB•sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝＝，
∴EF＝4，
∴DF＝＝＝3，
∵S△CDE＝6，
∴•CD•EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝＝，
∴＝，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．
故答案为：9﹣6．
20．解：因为坡度i＝1：，
∴tan∠A＝＝，
∴∠A＝30°，
∴CB＝AB＝5（米）．
故答案为：5．
21．解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：
则DG＝FP＝BH，DF＝GP，
∵坡面CD＝16米，山坡的坡度i＝1：，
∴∠DCG＝30°，
∴FP＝DG＝CD＝8，
∴CG＝DG＝8，
∵∠FEP＝60°，
∴FP＝EP＝8，
∴EP＝，
∴DF＝GP＝8+10+＝+10，
∵∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝30°，
∵∠ADH＝30°，
∴∠DAH＝60°，
∴∠DAF＝30°＝∠ADF，
∴AF＝DF＝+10，
∴FH＝AF＝+5，
∴AH＝FH＝16+5，
∴AB＝AH+BH＝16+5+8＝24+5≈24+5×1.73≈32.7（米），
答：楼房AB高度约为32.7米．
22．解：（1）如图1中，过点B作BH⊥AC于H．
∵OA＝OC，∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣120°）＝30°，
∵∠AHB＝90°，BH＝h＝60cm，
∴AB＝2BH＝120（cm）．
（2）如图2中，过点B作BT⊥AC于T．
在Rt△ABT中，AB＝120cm，∠A＝60°，∠ATB＝90°，
∴BT＝AB•sin60°＝60（cm），
∴熨烫台升高了（60﹣60）cm．
23．解：（1）过点B作BF⊥OC于F，
设BF＝x．
在Rt△BOF中，∵tan∠BOC＝＝4，
∴OF＝x，
在Rt△BCF中，∵tan∠BCO＝＝，
∴CF＝x，
∵OC＝8，
∴x+x＝8，
∴x＝8，
∴BF＝8（m），
即路灯B到地面的距离8m；
（2）过点A作AG⊥BF于点G，
∵∠OAB＝120°，
∴∠BAG＝∠OAB﹣∠OAG＝120°﹣90°＝30°．
∵OF＝×8＝2，
∴AG＝OF＝2，
在Rt△BCF中，∵tan∠BAG＝，
∴BG＝tan30°×2＝
∴OA＝GF＝（8﹣）（m），
即灯柱OA的高度为（8﹣）m．
24．解：如图，延长BC交AD于F，过F作FG⊥CD于G，
∵斜坡CE的坡度为i（即tanα）＝1：，
∴α＝30°．
∵BF∥EM，
∴∠FCD＝∠E＝30°．
∵∠AFB＝60°．
∴∠CDF＝∠AFB﹣∠FCD＝30°．
∴∠ECD＝∠FDC＝30°．
∴FC＝FD．
∴CG＝CD＝．
∴CF＝＝＝5（米）．
∴BF＝BC+CF＝15+5＝20（米）．
∴AB＝BF•tan60°＝20（米）．
答：建筑物AB的高度是20米．
25．解：由题意，可知∠BDE＝30°，∠BAC＝60°，四边形ACED是矩形，
∴DE＝AC＝50m．
在Rt△DBE中，
∵tan∠BDE＝，
∴＝，
∴BE＝（m）．
在Rt△ABC中，
∵tan∠CAB＝，
∴＝，
∴BC＝50（m），
∴AD＝CE＝BC﹣BE＝50﹣＝（m）．
答：大楼AD的高为m．
26．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则CD＝BC＝60海里，
∵cs∠ACD＝＝cs30°＝，
即＝，
∴AC＝40（海里），
答：此时点A到军港C的距离为40海里；
（2）过点A′作A′N⊥BC于点N，如图：
由（1）得：CD＝60海里，AC＝40海里，
∵A'E∥CD，
∴∠AA'E＝∠ACD＝30°，
∴∠BA′A＝45°，
∵∠BA'E＝75°，
∴∠ABA'＝15°，
∴∠2＝15°＝∠ABA'，
即A′B平分∠CBA，
∴A'E＝A'N，
设AA′＝x，则AE＝AA'，A'N＝A′E＝AE＝x，
∵∠1＝60°﹣30°＝30°，A'N⊥BC，
∴A'C＝2A'N＝x，
∵A'C+AA'＝AC，
∴x+x＝40，
解得：x＝60﹣20，
∴AA'＝（60﹣20）海里，
答：此时渔船的航行距离为（60﹣20）海里．
锐角α
三角函数
30°
45°
60°
1