专题03 折线最短（将军饮马）问题-2022年中考数学选填压轴题专项复习

这是一份专题03 折线最短（将军饮马）问题-2022年中考数学选填压轴题专项复习，文件包含专题03折线最短将军饮马问题解析版-2022年中考数学选填压轴题专项复习docx、专题03折线最短将军饮马问题原卷版-2022年中考数学选填压轴题专项复习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

【2022年中考数学填选重点题型突破】
专题三：折线最短（将军饮马）问题
【备考指南】
在中考试卷中，有一类关于折线段的最小值问题，此类题因与实际生活中的最短路径密切相关，同时在今后的生活中常常会应用到，因此这种问题也是中考常考的一个问题。将军饮马的常见类型有两点一线‚一点两线ƒ两点两线等。这种问题应用到的基本数学知识是轴对称，两点之间线段最短、垂线段最短等，同时伴随转化的数学思想，学生很难熟练掌握，从而考生在解决此类问题时，因无法建模，而导致失分。
解决此类问题有没有一种通俗易懂的方法呢？实际上，我们只要掌握六个字，就可以建立解决此类问题的模型，方法可以用六个字概括：同化异折化直，即：通过对称轴找到对称点完成同化异，然后折线化直（两点之间线段最短或垂线段最短）。如何找对称轴呢？通过拐点所在直线，即可确定对称轴，再利用轴对称将折线由对称轴的同侧转化为两侧，最后通过两点之间线段最短、垂线段最短等知识将折线取直即可.
【典例引领】
（一）两点一线型： 两定点一动点 ‚一定点两动点
类型一：两定点一动点——可化为：两点之间线段最短
例1：（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，点A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为　4+25　．

【答案】4+25
【分析】根据平行线的性质得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（3，3）
∴C（3，1），
∴AC＝BC＝2，
作B关于y轴的对称点E，
连接AE交y轴于D，
则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，
过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，
则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE=EF2+AF2=22+42=25，
∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+25，
故答案为：4+25．


变式训练：（2021•黑龙江）如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为　45　．

【答案】45
【分析】如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC+CG＝EC+ED＝EC+TE，根据TE+EC≥TC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC═AD＝4，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°，
∵AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ABD＝45°，
∵D，T关于AE对称，
∴AD＝AT＝4，∠TAE＝∠EAD＝45°，
∴∠TAD＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴B，A，T共线，
∴CT=BT2+BC2=45，
∵EG＝CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴CG＝EC，
∴EC+CG＝EC+ED＝EC+TE，
∵TE+EC≥TC，
∴EC+CG≥45，
∴EC+CG的最小值为45．

类型二：一定点两动点——可化为：垂线段最短
例2：（2021•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为　15　．

【答案】15
【分析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．

∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等边三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB=ADtan30°=103，
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝53，
∴A′H=3AH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H，
∴AM+MN≤15，
∴AM+MN的最小值为15．
故答案为15．

变式训练：（2021改编题）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为______．

【答案】18
【分析】如图作AH⊥BC于H,连接AD，由EG垂直平分线段AC推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
【解答】
解：∵EG垂直平分线段AC，

∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长．
∵12•BC•AH=120
∴AH=12
∵AB=AC,AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴AF=AH2+HF2=122+52=13
∴DF+DC的最小值为13
∴△CDF的周长最短=13+5=18.
故答案为：18.
【解题指导】本题考查的知识点是轴对称-最短路线问题, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，解题关键是学会运用轴对称，解决最短问题.
（二）一点两线型：
例3：（2021创新题）如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（　　）

A．362 B．332 C．6 D．3
【答案】D
【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．
【解答】
解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，
作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵∠OCH=30°，
∴OH=12OC=32，
CH=3OH=32,
∴CD=2CH=3．
故选D．

【解题指导】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．

（三） 两点两线
例4：（2021中考改编题）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是　8　．

【答案】8
【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，
∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝6，
∵点E，F是线段AC的三等分点，
∴EF＝2，
∵E′F′＝AB＝6，
∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．
故答案为：8．
变式训练1：如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为　2　．

【答案】2　
【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．
此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．
连接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，
∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，
∴△ODD′是等边三角形．
同理△OAA′也是等边三角形．
∴OD'＝OD＝4，OA′＝OA＝2，
∠D′OA′＝90°．
∴A′D′＝＝2．
变式训练2：（2021湖北荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2），再过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，连接BE交x轴与D点，过A’作A’C∥DE交x轴于点C，得到四边形CDEA’为平行四边形，故可知AC+BD最短等于BE的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】作A（0，2）关于x轴的对称点A’（0，-2）
过A’作A’E∥x轴且A’E=CD=2，故E（2，-2）
连接BE交x轴与D点
过A’作A’C∥DE交x轴于点C，
∴四边形CDEA’为平行四边形，
此时AC+BD最短等于BE的长，
即AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE==
故选B．

【点睛】此题主要考查最短路径的求解，解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质．
【强化训练】
1.（2021湖北恩施）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）．

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案.
【详解】连接ED交AC于一点F，连接BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称，
∴BF=DF，
∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，
∵正方形的边长为4，
∴AD=AB=4，∠DAB=90°，
∵点在上且，
∴AE=3，
∴DE=，
∴的周长=5+1=6，
故选：B.

【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算，依据对称性得到连接DE交AC于点F是的周长有最小值的思路是解题的关键.
2.（2021改编）如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　）

A．6 B．33 C．26 D．4.5
【答案】C
【分析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，由PE+PM=PE′+PM=E′M知点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，利用S菱形ABCD=12 AC•BD=AB•E′M求得E′M的长即可得答案．
【解答】
解：如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，

则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，
则有PE+PM=PE′+PM=E′M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，
∵AC=62，BD=6，
∴AB=322+32=33，
由S菱形ABCD=12AC•BD=AB•E′M得12×62×6=33•E′M，
解得：E′M=26，
即PE+PM的最小值是26，
故选C．
【解题指导】本题考查了轴对称——最短路径问题，涉及到菱形的性质、勾股定理等，确定出点P的位置是解题的关键.

3．（2021河南）如图，在扇形中，平分交狐于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【详解】解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则

此时点满足最短，
平分



而的长为：
最短为
故答案为：

【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
4.反比例函数y=kx（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为__________．

【答案】（52，0）．
【分析】先把A点坐标代入y=kx求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出B点坐标；再作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．
【解答】
解：把A（1，3）代入y=kx得k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=3x；
把B（3，m）代入y=3x得3m=3，解得m=1，
∴B点坐标为（3，1）；
作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），

∵PA+PB=PA′+PB=BA′，
∴此时PA+PB的值最小，
设直线BA′的解析式为y=mx+n，
把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得m+n=-33m+n=1，解得m=2n=-5，
∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5，
当y=0时，2x﹣5=0，解得x=52，
∴P点坐标为（52，0）．
【解题指导】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、最短路径问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.
5.（2021新疆）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为_____．

【答案】6
【解析】
【分析】
取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，证明此时D为BC的中点，证明CD=2DF，从而可得答案．
【详解】解：如图，

取AC的中点F，过F作于G，延长FG至E，使EG=FG，连接AE交BC于D，则 此时最短，


过A作于H，则由








为BC的中点，




即的最小值为6．
故答案为：6．

【点睛】本题考查的是利用轴对称求最小值问题，考查了锐角三角函数，三角形的相似的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
6.（2021山东潍坊）如图，在中，，以点O为圆心，2为半径的圆与交于点C，过点C作交于点D，点P是边上的动点．当最小时，的长为（ ）

A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
延长CO交于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．
【详解】延长CO交于点E，连接ED，交AO于点P，如图，

∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°,
又，
∴∠DCB=∠AOB，
∴CD//AO
∴
∵OC=2，OB=4，
∴BC=2,
∴，解得，CD=；
∵CD//AO，
∴，即，解得，PO=
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称---最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
7.（2021改编题）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝　　时，四边形APQE的周长最小．

【答案】
【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，
∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，
设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，
∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，
解得：x＝，则CQ＝
故答案为：．
8．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．

【答案】213-2
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【解答】如图：

取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C=4，OC′=6，
∴D′O=42+62=213，
∴D′G=213-2，
∴PD+PG的最小值为213-2，
故答案为：213-2.
【解题指导】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
9．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（　　）

A．10 B．192 C．34 D．10
【答案】D
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
【解答】
解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．

∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=12DE=2，
∴NP=MN-MP=EF-MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选D．
【解题指导】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
10.（2021四川宜宾）如图，四边形中，是AB上一动点，则的最小值是________________

【答案】
【解析】
【分析】
作C点关于AB对称点C’，连接C’D，的最小值即为C’D的长，作C’E⊥DA的延长线于点E，根据勾股定理即可求解．
【详解】如图，作C点关于AB的对称点C’，连接C’D，的最小值即为C’D的长，
作C’E⊥DA的延长线于点E，
∴四边形ABC’E是矩形
∴DE=AD+AE=AD+BC’=5,
∴C’D=
故答案为：．

【点睛】此题主要考查对称性的应用，解题的关键是熟知对称的性质及勾股定理的应用．
11.（2021改编）如图，一次函数y=-12x+52的图像与反比例函数y=kx(k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，其最小值是________.

【答案】1092
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得出12|k|=1，进而得到反比例函数的解析式；再作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于点P，得到PA+PB最小时，点P的位置，根据两点间的距离公式求出最小值A'B的长；利用待定系数法求出直线A'B的解析式，得到它与y轴的交点，即点P的坐标．
【解答】
解：∵反比例函数y=kx(k>0)的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，ΔAOM面积为1，
∴ 12|k|=1，
∵k>0，
∴k=2，
∴y=2x；
作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B，交y轴于点P，则PA+PB最小．

由y=-12x+52y=2x，解得x=1y=2，或x=4y=12，
∴A(1,2)，B(4,12)，
∴A'(-1,2)，最小值A'B=(4+1)2+(12-2)2=1092．
设直线A'B的解析式为y=mx+n，
则-m+n=24m+n=12，解得m=-310n=1710，
∴直线A'B的解析式为y=-310x+1710，
∴x=0时，y=1710，
∴P点坐标为(0,1710)．
【解题指导】考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题以及最短路线问题，解题的关键是确定PA+PB最小时，点P的位置，灵活运用数形结合思想求出有关点的坐标和图象的解析式是解题的关键．
12.（2021改编）．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=9x的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为_______．

【答案】(125，0)
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题
【解答】
解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求，
∵抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=9x 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6），
∴点B（3,3），
∴a×32-4×3+c=3c=6
解得，a=1c=6
∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2
∴点A的坐标为（2,2），
∴点A＇的坐标为（2，-2），
设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n
∴{2m+n=-23m+n=3,得m=5n=-12
∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12,
令y=0,则0=5x-12得x=125,
故答案为：（125，0）

【解题指导】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_____．

【答案】163
【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
【解答】
解：如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=62，
∴BC=32+622=9，
S△ABC=12AB•AC=12BC•AF，
∴3×62=9AF，
AF=22，
∴AA'=2AF=42，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴AA'A'E=BCAC，
∴42A'E=962，
∴A'E=163，
即AD+DE的最小值是163，
故答案为：163．

【解题指导】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.
14．（2021内蒙古通辽）如图①，在中，，点E是边的中点，点P是边上一动点，设．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．．那么的值为_______．

【答案】7
【解析】
【分析】
过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，证明四边形ABCD为菱形，得到点A和点D关于BC对称，从而得到PA+PE=PD+PE，推出当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，分别求出PA+PE的最小值为3，PC的长，即可得到结果.
【详解】解：如图，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，交于点D，
可得四边形ABCD为平行四边形，又AB=AC，
∴四边形ABCD为菱形，点A和点D关于BC对称，
∴PA+PE=PD+PE，
当P，D，E共线时，PA+PE最小，即DE的长，
观察图像可知：当点P与点B重合时，PD+PE=，
∵点E是AB中点，
∴BE+BD=3BE=，
∴BE=，AB=BD=，
∵∠BAC=120°，
∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴DE⊥AB，∠BDE=30°，
∴DE=3，即PA+PE的最小值为3，
即点H的纵坐标为a=3，
当点P为DE和BC交点时，
∵AB∥CD，
∴△PBE∽△PCD，
∴，
∵菱形ABCD中，AD⊥BC，
∴BC=2×=6，
∴，
解得：PC=4，
即点H的横坐标为b=4，
∴a+b=3+4=7，
故答案为：7.

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15.如图，在ΔABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.若点F是AO的中点，OE=3，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时， BP的长为__________.

【答案】3.
【分析】作B关于BC的对称点G，交BC于H，连接FG交BC于P，此时PE+PF最小.通过证明ΔEHP∽ΔFOP即可求解
【解答】
解：∵OE=OF=3且F是OA的中点
∴AO=6，
∵OE⊥AB
∠EAO=300，∠EOF=600，
作B关于BC的对称点G，交BC于H，连接FG交BC于P，此时PE+PF最小

∴∠B=600
∵EO=3
∴EG=3，EH=32，BH=32
∵EG⊥BC，FO⊥BC
∴ΔEHP∽ΔFOP
∴EHFO=HPPO=32÷3=12即2HP=OP
∵BO=HP+OP=323，
∴3HP=323即HP=32，
∴BP=32+32=3.
【解题指导】本题主要考查了最短路径问题.找出点E的对称点G是解决本题的关键.
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为______．

【答案】42
【分析】首先由S△PAB=13S矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
【解答】
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB=13S矩形ABCD，
∴12AB•h=13AB•AD，
∴h=23AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．

在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE=AB2+AE2=42+42=42，
即PA+PB的最小值为42．
故答案为：42．
【解题指导】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
17．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．

【答案】322
【分析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.
【解答】
解：连接AC,与对称轴交于点P,

此时DE+DF最小，
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
∴DE=12PC,DF=12PB,
在二次函数y=x2+2x﹣3中，当x=0时，y=-3,
当y=0时，x=-3或x=1.
即A-3,0,B1,0,C0,-3.
OA=OC=3,
AC=32+32=32,
点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=32,
DE+DF的最小值为：12PB+PC=322.
故答案为：322.
【解题指导】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
18．（2021改编）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值是__________．

【答案】10+226．
【分析】先证△DEG∽△CDF可得CF=2DG，再作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值为：CD+PD+PC=CD+ PD+PK=CD+DK.
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴DGCF=DEDC=12，
∴CF=2DG．
作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，

此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
∵CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，EG=525，DH=DE⋅DGEG=5，
∴EH=2DH=25，
∴HM=DH⋅EHDE=2，
∴DM=CN=NK=DH2-HM2=1，
在Rt△DCK中，DK=CD2+CK2=102+22102+(23)2=226，
∴△PCD的周长的最小值为10+226．
【解题指导】本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决折线最短问题．
19．如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（-2，-1），其中有两点同时在反比例函数y=kx的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C，设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上的一个动点，则PC＋PD的最小值是__________.

【答案】34.
【分析】利用待定系数法确定k值、C点坐标，及一次函数解析式，然后作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，此时PC+PD的值最小，为CD′的长.
【解答】
解：∵反比例函数y=kx的图象上的点横坐标与纵坐标的积相同，
∴A（1，2），B（-2，-1），C（3，1）
∴k=2．
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则有m+n+2-2m+n＝-1，
解得m＝1n＝1，
∴直线AB的解析式为y=x+1
∵C、D关于直线AB对称，
∴D（0，4）
作D关于x轴的对称点D′（0，-4），连接CD′交x轴于P，

此时PC+PD的值最小，最小值=CD′=32+52=34.
【解题指导】本题考查反比例函数图象上的点的特征，一次函数的性质、反比例函数的性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用轴对称解决最短问题．
20．（2021创新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为　 　．

【答案】13
【分析】直接将A、B两点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法可求得抛物线解析式；然后再求得点H关于y轴的对称点H′，连接H′D与y轴交于点P，此时PD+PH最小.
【解答】
解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴
解得
∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3
y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4
∴顶点D（1，4）
（2）∵B（3，0），D（1，4）
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2）
连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小
且最小值为：=13
∴答案：13
【解题指导】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式后灵活找出点H关于y轴的对称点H′求解.