2022年中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（5）

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中考数学二次函数压轴题终极突破提升训练（5）

1．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线的对称轴 上找一点，使的值最小，求出点M的坐标；
（3）当点运动到什么位置时，的面积最大？

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）M（-1，2）；（3）P(-0.5，3.75)
【分析】（1）把点B、C代入解析式求解即可；
（2）由题意可得点A、B关于对称轴对称，要使的值最小，则点M需在线段AB与对称轴的交点上，进而求解即可；
（3）连接OP，然后根据等积法把△APB的面积表示出来，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：（1）把，代入抛物线得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；
（2）由题意可得：抛物线的对称轴为直线，点，
要使的值最小，对称轴直线x=-1 与线段AB的交点即为所求点M，
设直线AB的解析式为：，把点A和点B的坐标代入，解得：，
∴直线AB：y=x+3，
∴M（-1，2）；
（3）连接OP，如图所示：

设P(t，-t2-2t+3)，其中t＜0，-t2-2t+3＞0，由（1）（2）可得：
OA=3，OB=3，△PAO的高为点P到y轴的距离，△PBO的高为点P到x轴的距离，
∴
=0.5×3×（-t）+0.5×3×（-t2-2t+3）-0.5×3×3
=-0.5(t+0.5)2+3.375；
∵，即抛物线的开口向下，
∴当t=-0.5时，S最大，此时，点P(-0.5，3.75)．
【点评】本题主要考查二次函数与几何的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D．

（1）求二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）结合图象，请直接写出 时，x的取值范围：_____．
【答案】（1）；；（2）（，）；（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式，求得交点坐标即可；
（3）根据解得坐标，结合图象即可求得．
【详解】解：（1）将点和点代入，得：，
解得：，
二次函数的解析式为．
二次函数的对称轴为直线，
，
一次函数的图象经过点、，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得：，
解之得或，
点D的坐标为，，
（3）由图象可知，当或时，有．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点，自变量取值范围等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
3．定义：如果一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”．显然，“特征轴三角形”是等腰三角形．
（1）抛物线y＝x2﹣2x对应的“特征轴三角形”是　 　；抛物线y＝x2﹣2对应的“特征轴三角形”是　 　．（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形．）
（2）若抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值．
（3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式．

【答案】（1）②；④；（2）；（3）y＝﹣x2+6x﹣24．
【分析】（1）根据题意先求出这两个抛物线的顶点及与x轴的交点坐标，然后进行求解即可；
（2）由题意易得抛物线的顶点及与x轴的交点坐标，然后根据题意列方程求解即可；
（3）如图，过点A作AH⊥x轴，交于点H，由题意易得S△ABE＝＝×12＝3，则有BE2＝3，进而可得A（3，3），E（2，0），B（4，0），然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）由抛物线y＝x2﹣2x可得顶点坐标为：，与x轴的交点坐标为：，
∴抛物线y＝x2﹣2x对应的“特征轴三角形”是等边三角形；
由抛物线y＝x2﹣2可得顶点坐标为：，与x轴的交点坐标为：，
∴抛物线y＝x2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形；
故答案为②；④；
（2）设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，
∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），
∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴16＝4+16a2+4+16a2，
∴a＝；
（3）如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE＝OE＝BE，
∴S△ABE＝＝×12＝3，
∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，
∴AE＝AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
过点A作AH⊥BE，
∴AH＝ABsin∠ABE＝AB＝BE，
∴BE2＝3，
∴BE＝2，
∴AH＝3，EH＝，
∴A（3，3），E（2，0），B（4，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+3，将点E（2，0）代入得，a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+6x﹣24．
∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6x﹣24．
【点评】本题主要考查二次函数的综合及三角函数，熟练掌握二次函数的性质及三角函数是解题的关键．
4．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当时，求点P的坐标．

【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）直接将点和点代入求解即可；
（2）先求出点C的坐标及支线BC的解析式，再根据图及题意得出△PBC的面积，过点P作轴交x轴于点G，交BC于点F，设，根据△PBC的面积列出关于t的方程，解出t即可；
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∴，
∴直线BC解析式为，
∵，
∴，
过点P作轴交x轴于点G，交BC于点F，
设，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴或．

【点评】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解是解题的关键．
5．如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）请你直接写出△ABC的面积：
（3）在轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），点的坐标为（2）△ABC的面积为；（3）P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解；
（2）△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴，解得，
∴此二次函数关系式为：，
当时，解得，
∴点的坐标为．
（2）连接AB，二次函数关系式为：，令x=0，得y=3
∴B（0，3）由（1）得A（4，0）， ，
∴AC=4－（）=
∴△ABC的面积=×AC•OB=××3=；

（3）存在，设点P的坐标为（x，0），
由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，
①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，
∴P(9，0)或P（﹣1,0）；
②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，
∴P（﹣4,0）
③当AP=BP时，如图所示
∵OP=x，∴AP=BP=4－x
在Rt△OBP中，
∴
∴x=
∴P（，0）
综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
6．平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；
（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE＝2S△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，AC＝，DC＝；（2）E（1，0）；（3）
【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx+3可解的a，b的值，从而得到解析式，tan∠DAC＝，可根据表达式求出C，D的坐标然后计算DC和AC的长度计算；
（2）可取一点E，过E作EF平行于x轴，交AC于F此时可表示出S△ACE，根据类方程S△ACE＝2S△ACD，求E点坐标即可；
（3）根据题能得到Q的运动轨迹为直线，且当P在A处时Q在C处，当P运动到C处时，可以得到△ADC∽PQD，根据形似性质可得到PQ长度即为Q的运动路径长．
【详解】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx+3可得：
，解得；
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴D（﹣1，4），C（0，3）；
∴AC＝，DC＝；
∴tan∠DAC＝．
（2）如图1所示，过E作EF//x轴交AC于点F，设点E（m，﹣m2﹣2m+3），直线AC的表达式为y＝kx+n，
将A（﹣3，0），C（0，3）分别代入y＝kx+n可得：
，解得，
∴直线AC表达式为y＝x+3，
∴F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），
∴EF＝m+m2+2m＝m2+3m，
∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF，
∵S△ACD＝AC•CD＝3，
∴S△ACE＝（xC﹣xA）EF＝2S△ACD＝6，
∴（m2+3m）＝6，
解得m1＝1，m2＝﹣4（舍），
∴E（1，0）．

（3）如图2所示

当点P与点A重合时，
∵∠ADQ=∠DCA=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°=∠ADC+∠QDC，
∴∠DAC=∠QDC，
又∵∠DCA=∠DCQ=90°，
∴△ADC∽△DQC，
∴，
∴，
当点P与点C重合时，
∴∠Q'DC=∠ACD=90°，
∴DQ'∥CQ，
∵∠DAC=∠Q'P'D，∠Q'DP'=∠ACD=90°，
∴△ADC∽△P'Q'D，
∴，
∴，
∴DQ'=CQ，
∴四边形DQ'QC是平行四边形，
∴QQ'=CD=．
【点评】本题综合性比较强，主要考查二次函数点相关知识，解题的关键在于找出变换后的图形，根据已知条件，建立方程求解．
7．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线的顶点为A，且与y轴的交点为B，过点B作轴交抛物线于点，在CB延长线上取点D，使，连接OC，OD，AC和AD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）试判断四边形ADOC的形状，并说明理由；
（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）四边形ADOC是平行四边形，见解析；（3）存在，P的坐标是或
【分析】（1）首先求出点B，C的坐标，再代入抛物线即可求出b、c的值即可；
（2）求出抛物线顶点A的坐标，再证明AC=OD，AC//OD即可证明四边形ADOC是平行四边形；
（3）分点P为抛物线与y轴负半轴的交点和点P为抛物线与x轴负半轴的交点两种情况求解即可．
【详解】解：（1）轴，点C的坐标为，
点B的坐标为，
把B，C两点的坐标代入，
得，解得．
抛物线的解析式为．
（2）四边形ADOC是平行四边形，理由如下：
点B的坐标是，点C的坐标为，
，，
由（1）得，抛物线的解析式为，
顶点A的坐标为．
如答图，过点A作于点E，
则，，．

，
，
．
轴，
，

，
，，
，
四边形ADOC是平行四边形．
（3）在抛物线上存在点P，使得．
点C的坐标为，轴，
，，
，
点P为抛物线与x轴负半轴或y轴负半轴的交点．
情况1：当点P为抛物线与y轴负半轴的交点时，点P与点B重合，
此时点P的坐标为．
情况2：当点P为抛物线与x轴负半轴的交点时，解方程，
得，．（不合题意，舍去）
此时点P的坐标为，
综上所述，当点P的坐标是或时，．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质等知识，求得A的坐标是解题的关键．
8．已知抛物线与形状相同，开口方向不同，其中抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），且；抛物线与交于点和点．
（1）求抛物线，的表达式；
（2）当的取值范围是　　时，抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
（3）直线轴，与轴、、分别相交于点、、，当时，求线段的最大值．
【答案】（1），；（2）；（3）21
【分析】（1）设点A的横坐标为，点B的横坐标为，根据题意，得-=6，
=4，求得A（1，0）,B(7，0)，代入解析式，求得a= -，
得到的解析式，从而得到，把点A，点C的坐标分别代入解析式求解即可；
（2）作出两条抛物线的图像，依据二次函数的增减性，对称轴的位置确定答案；
（3）用m表示MN的长度，利用函数的增减性确定最值即可．
【详解】（1）设点A的横坐标为，点B的横坐标为，根据题意，得-=6，
=4，
∴，
解得
∴A（1，0）,B(7，0)，
∴，
解得a= -，
∴的解析式为，
∴的解析式为，
∴n=4，
∴，
∵抛物线与形状相同，开口方向不同，
∴的解析式为,
把点A，点C的坐标分别代入解析式，得
，
解得，
，
综上，，；
（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，

顶点，顶点，
所以时，抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，
故答案为：．
（3）∵直线轴，与轴、、分别相交于点、、，
∴M（m，），N（m，），
当M在点N的上方时，
MN=-()
=-
=
=，
当m=3时，MN最大，且最大为4；
满足，
当M在点N的上方时，
MN=-()
=+
=
=，
∵，
∴时，MN随m的增大而增大，
∴当m=8时，MN最大，且最大为21；
综上所述，MN的最大值为21．
【点评】本题考查了二次函数的解析式，对称轴，增减性，最值，熟练运用所学知识表示线段MN的长，分类计算最值是解题的关键．
9．已知抛物线经过点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）平移抛物线，设平移后的抛物线为，抛物线的顶点记为，它的对称轴与轴交于点，已知点，怎样平移才能使得以、、、顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）；（2）向右平移5个单位并且向下平移1个单位或向左平移3个单位并且向下平移1个单位．
【分析】（1）将、两点的坐标代入，根据待定系数法即可解答；
（2）先确定，则当时，四边形为平行四边形，由菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，排除P点在x轴上方的情况后可知，如图，设点，则点的坐标为，根据以上等式通过勾股定理得到关于的方程，解出后，即可得到符合条件的点的坐标，再求出原抛物线图像的顶点坐标后即可知道平移方式．
【详解】解：（1）抛物线：经过点，点，
代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为：；
（2）由题意得，M（2，﹣3），N（2，﹣8），
∴MN∥y轴，MN＝5，
∵PQ∥MN∥y轴，
∴当PQ＝MN＝5时，四边形MNPQ为平行四边形
若P点在x轴上方，此时PM和PN都大于5，因此该情况不成立，
所以P点在x轴下方，
如果PN=5，则此时平行四边形MNPQ为菱形，
可设点Q（m，0），则P点的坐标为（m，﹣5），
要使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形，
只需PN=QM＝MN＝5，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（6，﹣5）或（﹣2，﹣5）（为图中的位置）．
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
∴有如下两种情况：
①当点P的坐标为（6，﹣5）时，将原抛物线先向右平移5个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线；
②当点P的坐标为（﹣2，﹣5）时，将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线．

【点评】本题综合考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图像的平移、勾股定理以及菱形的判定等知识，要求学生理解相关概念，并会运用相关性质与公式求出点的坐标，考查了学生对数形结合法的运用能力和分类讨论的能力．
10．已知点O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1·x20）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，直接写出2n2-5n的最小值．
【答案】（1）点C（0，3）或（0，-3）；（2）①当x≥1时，y1随x的增大而增大；②-
【分析】（1）根据O，C两点间的距离为3，分在y轴的正半轴与负半轴两种情况考虑即可；
（2）①根据题意先确定出C的完整坐标，然后求出直线的完整解析式，从而求得A的完整坐标，再结合题意分析出B点坐标，从而运用待定系数法求出抛物线解析式，即可得出结论；②若c=3，则=－－2x+3=－+4，=－3x+3，向左平移n个单位后则解析式为：+4，则当x≤－1－n时，y随x的增大而增大，向下平移n个单位后则解析式为：=－3x+3－n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1－n，≤，然后求出n的取值范围，从而利用函数的性质判断2n2-5n的最小值即可．
【详解】解：（1）易知点C（0，c）．
∵O，C两点间的距离为3，即|c|=3，则c=±3，
∴点C（0，3）或（0，-3）．
（2）①点C在y轴负半轴上，则c=-3，C（0，-3）．
把点C的坐标代入y2=-3x+t，得-3=t，即t=-3．
∴y2=-3x-3．
把点A（x1，0）代入y2=-3x-3，解得x1=-1，
∴A（-1，0）．
∵x1·x20．
∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，∴x2=3，
∴B（3，0）．
把点A，B的坐标分别代入y1=ax2+bx-3，
得，解得，
∴y1=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴当x≥1时，y1随x的增大而增大．
②由题意可知，抛物线y1平移后对应的函数表达式为y3=（x-1+n）2-4，
直线y2平移后对应的函数表达式为y4=-3x-3-n，
易得当x≥1-n时，y3随x的增大而增大，
∴要使直线y4与P有公共点，
则当x=1-n时，y3≤y4，
即（1-n-1+n）2-4≤-3（1-n）-3-n，
解得n≥1．
∵2n2-5n=2（n-）2-，
∴当n=时，2n2-5n有最小值，最小值为-．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，熟练根据题意确定出相应解析式，以及理解函数图象平移的法则是解题关键．
11．抛物线C：y＝﹣x2+2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）写出AB的长；
（2）如图1，已知C（0，2），点E是x轴正半轴上的点，OE的垂直平分线MN，交OE于点F．交CE于点M，交抛物线C于点N，若MN＝2，求点E的坐标；
（3）如图2．将抛物线C向左平移1个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到抛物线C1，点D是抛物线C1的顶点，点P是抛物线C1在第一象限上的动点，PP'⊥y轴，交抛物线C1于点P'，直线PO交抛物线C1于点Q，直线QP'交y轴于H，求证：HD＝OD．
【答案】（1）AB＝；（2）点E的坐标为或；（3）见解析．
【分析】（1）对于，分别令和x＝0，即可求出点A、B的坐标．
（2）设点E的坐标为，则点，点．由中点坐标公式可知点M的坐标为，再由MN两点的距离列出关于m的绝对值方程，求出m即可求出点E的坐标．
（3）先求出平移后的抛物线表达式，再设点P的坐标为，点Q的坐标为，则点P′的坐标为，设直线PQ的表达式为，直线的表达式为．分别联立抛物线和两直线的解析式，得出，即可求出，即得出点H的坐标为，最后即可证明．
【详解】解：（1）令，即
解得：或，
令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标分别为，．
则．
（2）如下图，设点E的坐标为，则点，点，

由中点公式得，点M的坐标为，
则，
解得：（舍），（舍）．
故点E的坐标为或；
（3）将改变为顶点式为：，
∴将抛物线C向左平移1个单位长度，再向上平移b（b＞0）个单位长度得到抛物线C1，则平移后的抛物线表达式为，即①，
则点D，
设点P的坐标为，点Q的坐标为，则点P′的坐标为，
设直线PQ的表达式为②，直线的表达式为③，
联立①②并整理得：，则④，
联立①③并整理得：，则⑤，
由④和⑤得：，
解得，
故点H的坐标为，
则．
【点评】本题为二次函数综合题，考查求抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数图象的平移，二次函数与一次函数的综合，较难．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
12．问题提出
（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．

问题探究
（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．
①根据题意求出y与x之间的函数关系式；
②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．
【答案】（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元．
【分析】（1）先由矩形的性质得，再由三角形面积公式求解即可；
（2）由折叠的性质得：，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式求解；
（3）①先证得，然后根据相似三角形的性质求得，然后根据面积公式列式求解；
②根据二次函数性质求最值
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵点E为的中点，
∴




故答案为：；
（2）存在，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴．
∵Q是的中点，∴．
由折叠的性质得：，
当点P、、三点在同一条直线上时，，
∴．
∵，
∴．
∵∵，
∴，
∴，即，
解得：或；
（3）①根据题意做出辅助线，如图所示．

由题意得：．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
由，则．
∵，
∴，
∴，
∴


；
②由①知，，
当时，四边形的面积取得最小值为，
∴最低造价为（元），
∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
13．综合与探究
在图1中，抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交AC于点F．
（1）AB的长为　 　，a的值为　 　；
（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝，连接NC．
①直线ON的解析式为　 　；
②证明：NC∥AB；
③第四象限存在点P使与 相似，且BF为的直角边，请直接写出点P坐标．

【答案】（1）6，1；（2）①y＝4x；②证明见解析；③点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣）或（5，﹣）或（14，-6）
【分析】（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣8，则OC＝8＝4OB，则OB＝2，故点B（2，0），将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a+4a﹣8，解得a＝1，进而求解；
（2）①由OM＝12+m2＝（）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，即可求解；
②联立①②求得点N（﹣2，﹣8），即可求解；
③当∠BFP为直角时，利用△BFP与△AOC相似，得到tan∠FBP＝或2，进而求解；当∠PBF为直角时，同理可解．
【详解】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣8，则OC＝8＝4OB，则OB＝2，
故点B（2，0），
将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a+4a﹣8，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣8①，
令y＝x2+2x﹣8＝0，解得x＝﹣4或2，故点A（﹣4，0），
则AB＝2﹣（﹣4）＝6，
故答案为：6，1；
（2）①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为（﹣1，m），
则OM＝12+m2＝（）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，
故点M的坐标为（﹣1，﹣4），
由点O、M的坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，
故答案为y＝4x；
②联立①②并解得，
故点N（﹣2，﹣8），
∵点C、N的纵坐标相同，
故NC∥x轴，
即NC∥AB；
③当∠BFP为直角时，
由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，
把x=-1，代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，
点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，
当x＝﹣2时，y＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，
过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，

由直线BF的表达式知，tan∠BNK＝2，则tan∠FKN＝，
故设直线PF的表达式为y＝﹣x+t，
将点F的坐标代入上式并解得t＝﹣，
则直线PF的表达式为y＝﹣x﹣，故设点P的坐标为（m，﹣m﹣），
在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝，则tan∠OCA＝2，
∵△BFP与△AOC相似，
故∠FBP＝∠ACO或∠OAC，
则tan∠FBP＝tan∠ACO或tan∠OAC，即tan∠FBP＝或2，
由点B、F的坐标得：BF＝，
则PF＝BFtan∠FBP＝或6，
由点P、F的坐标得：PF2＝（m+1）2+（﹣m﹣+6）2＝（）2或（6）2，
解得m＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去），
故点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣）；
当∠PBF为直角时，
过点B作BP⊥BF，同理可求直线PF的表达式为y＝﹣x+1，故设点P的坐标为（m，﹣m﹣1），
同理可得，PB＝BFtan∠FBP＝或6，
由点P、B的坐标得：PB2＝（m-2）2+（﹣m+1）2＝（）2或（6）2，
解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），
点P的坐标为（5，﹣）或（14，-6）；
综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣）或（5，﹣）或（14，-6）；．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，综合性强，难度较大，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（1，0），与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过点A、C．抛物线的顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标；
（3）设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）（，0）；（3）存在，点G的坐标为（0，）．
【分析】（1）利用一次函数的性质求得点A、C的坐标，然后把点A、B、C的坐标分别代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式；
（2）设点E的坐标为（e，0），则AE=4-e，根据勾股定理列方程可得点E的坐标；
（3）利用轴对称-最短路径方法得点G，先计算B'D的解析式，令x=0可得点G的坐标．
【详解】解：（1）如图1，对于直线y=x﹣2，令y=0，得x=4，

令x=0，得y=﹣2，
∴点A（4，0），点C（0，﹣2），
将A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）如图2，由点E在x轴上，可设点E的坐标为（e，0），则AE=4﹣e，

在Rt△COE中，
根据勾股定理得：CE2=OC2+OE2=22+e2，
∵AE=CE，
∴(4﹣e)2=22+e2，
解得：e=，
则点E的坐标为（，0）；
（3 ） 存在．
如图3，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（﹣1，0），连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点．

∵，
∴顶点D（，），
设直线B′D的解析式为y=kx+d（k≠0），
则，解得：，
∴直线B′D的解析式为，
当x=0时，，
∴点G的坐标为（0，）．
【点评】本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用，轴对称、待定系数法等知识，解题的关键是，学会利用参数构建方程解决问题，学会用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．已知抛物线y＝ax2＋bx （a，b为常数，且a≠0）的对称轴为，且过点(1，)．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为t，直线AB：y＝－x＋3与轴相交于点A，与y轴相交于点B
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限内或x轴上，求面积的最小值
（3）对于抛物线y＝ax2＋bx，是否存在实数m、n （m＜n），当时，y的取值范围是，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．
【答案】（1）yx2+x；（2）当x＝2时，S的最小值为；（3）故m＝﹣4，n＝0．
【分析】（1）将函数的对称轴和点（1，）代入函数表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S＝S△PHA+S△PHBPH×OA，即可求解；
（3）根据函数的增减性确定当x＝m时，ym2+m＝3m；当x＝n时，yn2+n＝3n，即可求解．
【详解】解：（1）函数的对称轴为x＝1，即b＝﹣2a，
故抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax，
将（1，）代入上式并解得：a，
故抛物线的表达式为：yx2+x；
（2）过点P作PH∥y轴交BA于点H，

设点P（x，x2+x），则点H（x，﹣x+3），
△PAB面积S＝S△PHA+S△PHBPH×OA（﹣x+3x2﹣x）×3x2﹣3x，
∵0，故S有最小值，当x＝2时，S的最小值为；
（3）存在，理由：
yx2+x（x﹣1）2，
∴如果存在m、n，则必须3n，即n，
当x≤1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，ym2+m＝3m，解得：m＝﹣4或0（舍去0）；
当x＝n时，yn2+n＝3n，解得：n＝﹣4或0（舍去﹣4）；
故m＝﹣4，n＝0．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算等，其中（3），综合性强，难度较大．