2022年中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（6）

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中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（6）

1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0）、B（4，0）、C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上的一动点．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，四边形PBOC面积最大？求出此时点P坐标和四边形PBOC的最大面积．
【答案】（1）；（2）存在满足条件的P点，其坐标为；（3）16．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出四边形PBOC的面积，利用二次函数的性质可求得四边形PBOC面积的最大值及P点的坐标
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2-3x-4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图2，

∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，-4），
∴D（0，-2），
∴P点纵坐标为-2，
代入抛物线解析式可得x2-3x-4=-2，解得x=（小于0，舍去）或x=，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，-2）．
（3）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2-3t-4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图1，

∵B（4，0），C（0，-4），
∴直线BC解析式为y=x-4，
∴F（t，t-4），
∴PF=（t-4）-（t2-3t-4）=-t2+4t，
∴ =
=PF•OE+PF•BE+×OC•BO=PF(OE+BE)+ ×4×4
=PF•OB+8=（-t2+4t）×4+8=-2（t-2）2+16，
∴当t=2时，最大值为16，此时t2-3t-4=-6，
∴当P点坐标为（2，-6）时，四边形PBOC的最大面积为16．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出四边形PBOC的面积是解题的关键．
2．已知抛物线
（1）抛物线与轴的交于A、B两点，则A、B的坐标为 和 ；抛物线与轴的交于C点，则C的坐标为
（2）直接写出不等式的解集
（3）抛物线上是否存在一点P，使得的面积为27，若存在，求出所有可能的P点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）(2，0)；(8，0)；(0，16)；（2）；（3）存在，或或
【分析】（1）分别将y=0和x=0代入二次函数解析式中即可分别求出结论；
（2）根据题意，画出二次函数的图象，根据图象即可得出结论；
（3）设点P到x轴的距离为d，求出AB的长，根据三角形的面积公式即可求出d的值，从而求出点P的纵坐标，然后分别代入到二次函数解析式中即可分别求出结论．
【详解】解：（1）将y=0代入，得

解得：x1=2，x2=8
则A、B的坐标为(2，0) 和(8，0)，
将x=0代入，得
y=16
∴C(0，16)
故答案为：(2，0)；(8，0)；(0，16)；
（2）根据题意，大致画出图象如下，

由图象可知：不等式的解集为
故答案为：；
（3）设点P到x轴的距离为d
∵A、B的坐标为(2，0) 和(8，0)，
∴AB=8-2=6
∴
∴
∴点P的纵坐标为9或-9
将代入
得
解得
将代入
得
解得
∴存在满足条件的P点，坐标为或或
【点评】此题考查的是二次函数综合题，掌握坐标轴上点的坐标特征、二次函数与不等式的关系和解一元二次方程是解决此题的关键．
3．如图，抛物线与轴交于，两点．与过B点的直线 y2=-x+b交于点C．

（1）求直线对应的函数解析式和点的坐标；
（2）点为抛物线上异于点的一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）；；（2）的坐标为或或．
【分析】（1）求BC的解析式，由k知道，只要求直线上一点坐标点B代入求解即可．
（2）由S△PAB=S△ABC可得底与高的积相等，两三角形都有AB，说明底相等，为此点P的纵坐标绝对值相等，由（1）知点C可求，则P的y值可确定，把y值代入二次函数，解方程即可．
【详解】解：（1）由，
得或，∴．
将的坐标代入，
得．
∴直线对应的函数解析式为．
由，
得或．
当时，，
∴点的坐标为．
（2）令，
解得或，
得；
令，
解得或，
得，．
综上，点的坐标为或或．
【点评】本题考查在二次函数中求一次函数解析式，和面积相等的三角形的顶点坐标问题，解题的关键是两函数的交点坐标，利用C点坐标构造方程来解．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于AB两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且∠OBC＝30°．OB＝3OA．

（1）求抛物线y＝ax2+bx+3的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点P的坐标．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为（，），△PDF的周长最大值为
【分析】（1）先由抛物线的表达式可得OC=3，由锐角三角函数的定义求得OB，从而得到OA，用待定系数法即可求解；
（2）延长PF交x轴于点E，由B、C的坐标可得直线BC的表达式，设点P（m，），则点F（m，m+3），PF=，解直角三角形用PF表示PD、DF，进而根据二次函数图象及性质即可求解．
【详解】解：（1）由抛物线的表达式知，OC=3，
则OB==3=3OA，解得OA=，
故点A、B、C的坐标分别为（-，0）、（3，0）、（0，3），
则抛物线的表达式为y=a（x+）（x-3），
将点C的坐标代入上式并解得a=-，
故抛物线的表达式为y=-（x+）（x-3）
∴；
（2）延长PF交x轴于点E，

则∠DPF=90°-∠DFP=90°-∠EFB=∠ABC=30°，
在Rt△PDF中，PD==，DF==，
△PDF的周长=PD+PF+DF=（+1+）PF =PF，
由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=x+3，
设点P（m，），则点F（m，m+3），
∴PF=
=m-3
=，
则△PDF的周长=PF
=（）
= ，
∵−＜0，故△PDF的周长存在最大值，当m=时，△PDF的周长最大值为，
当m=时，==，
此时，点P的坐标为（，），△PDF的周长最大值为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象及其性质，解直角三角形及其应用，掌握二次函数的顶点式、配方法求二次函数的最值，列出PF的长与m的函数关系式是解题的关键．
5．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，4)，且与直线y＝－x＋1相交于A，B两点，A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(－3，0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
(3)在(2)的条件下，点N在何位置时，四边形BCMN是平行四边形？并求出满足条件的N点的坐标．

【答案】(1)y＝－x2－x＋1　(2) ；(3) N(－1，4)或（－2，4.5）
【分析】（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；
（3）四边形BCMN是平行四边形，则BC=MN，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．
【详解】解：（1）由直线y=-x+1可知A（0，1），B（-3，），又点（-1，4）经过二次函数，
根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是：；
（2）设N（x，），
则M（x，-x+1），P（x，0）．
∴MN=PN-PM
=
=
=，
则当x=-时，MN的最大值为
（3）连接MC、BN、BM与NC互相平分，
即四边形BCMN是平行四边形，
则MN=BC，
即，
整理得：x2+3x+2=0，
解得：x=-1或x=-2．
所以，y=4或4.5，
故当N（-1，4）（-2，4.5）时，BM和NC互相平分．

【点评】本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题．
6．如图，顶点M在轴上的抛物线于直线y=x+2相交于A、B两点，且点A在轴上，点B的横坐标为4，连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点P是直线BM下方抛物线上一点，若△ABP的面积是△ABM的面积的，求点P的坐标；
（3）若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（，），当满足什么条件时，动点Q（x，x+2）在平移后的抛物线上．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求A，B ，设顶点M在y轴上的抛物线过A、B两点代入计算即可，
（2）过点作PQ∥y轴交于，设，求出，由的面积是的面积的，，构造方程求出即可，
（3）平移后的抛物线为，动点在平移后的抛物线上
得方程有实数根求出即可．
【详解】解：（1）与x轴交点A坐标，由y=0，x+2=0，x=-2，，
点B的横坐标为4，x=4时，y=4+2=6，，
设顶点M在y轴上的抛物线，
∴，，
解得，即，
（2）过点作PQ∥y轴交于，
设，与轴交于，
则，
∵的面积是的面积的，
S△ABP=PQ•AF+PQ•BD=PQ（AF+BD）=PQ•AB•cos∠ABO，
S△AMB=CM•AO+CM•BE=CM（AO+BD）=CM•AB•cos∠ABO，
∴，
∴，
解得（舍去），，即

（3）平移后的抛物线为，
由得，
∵动点在平移后的抛物线上，
∴方程有实数根，
∴，
即．
【点评】本题考查顶点M在y轴上的抛物线，的面积是的面积的，P点坐标，动点在平移后的抛物线上问题，关键是会利用一次函数确定A、B两点的坐标，会用待定系数法求抛物线解析式，利用面积，找到PQ与CM的关系，构造方程来解，利用平移写出抛物线平移后的解析式，利用动点Q在抛物线上，构造一元二次方程有解，△≥0，得以解决问题．
7．将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝﹣x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．

【答案】（1）C1：y＝（x﹣2）2﹣6，C2：y＝x2﹣6；（2）A（4，﹣2）或（5，3）；（3）见解析
【分析】（1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，再证明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性质得a的方程求得a便可得A的坐标；
（3）由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M、N点的坐标，进而求得MN的解析式，再根据解析式的特征得出MN经过一个定点．
【详解】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，
∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，
∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，
设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，
∵∠BAO＝∠ACO＝90°，
∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，
∴∠BAD＝∠AOC，
∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，
∴△ABD≌△OAC（AAS），
∴BD＝AC，
∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，
解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，
∴A（4，﹣2）或（5，3）；

（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，
，
，
把x代入y＝x2﹣6中得，x2+x﹣6＝0，
，

设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则
，解得，，
∴直线MN的解析式为：，
当x＝0时，y＝2，
∴直线MN：经过定点（0，2），
即直线MN经过一个定点．
【点评】本题考查二次函数综合，其中涉及图象平移、二次函数的解析式、一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
8．如图，抛物线经过点两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当时，若点是轴正半轴上上的一个动点，点是抛物线上动点，试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）分BD、DM、DN是平行四边形的对角线三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）抛物线经过点
，解得：
抛物线的函数表达式为
（2）存在，
∵m=3，
∴点D（3，），
由题意：
以以为平行四边形的对角线时，设点分别是、的中点，

∵BD与MN互相平分，
∴，
，解得：
，解得：，
∴N点坐标为：（3，）（舍去）或（-1，）
∴
解得：；
以为平行四边形的对角线时，同理求得：（不合题意，舍去）；

以为平行四边形的对角线时，设点分别是、的中点，

∴，
，解得：
，解得：，
∴N点坐标为：（，）或（，）
∴或
解得：或（不合题意，舍去）
综上，点的坐标为
【点评】本题考查抛物线的综合问题，掌握抛物线的性质、待定系数法、平行四边形的性质是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于，，交y轴于点C．
（1）求该抛物线解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接，过C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否存在平面内一点F，使得A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）面积的最大值为4，P的坐标为；（3）存在，，
【分析】（1）根据题意，直接运用待定系数法求解即可；
（2）连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，根据可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可；
（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可．
【详解】（1）将，代入，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，
∵，
∴，即求面积的最大值即可，
由（1）可知抛物线与y轴交点C坐标为，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，
将代入，得到此时P的坐标为，
∴面积的最大值为4，此时P的坐标为；

（3）存在，理由如下：
由（2）可知，当面积的最大值为4时，P的坐标为，
∵，
∴，则，
∵原抛物线解析式为：，
∴设向右平移后的解析式为：，
将代入求得：（舍负值），
∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，
∴设，，则结合A、P的坐标可得：
，，，
进行如下分类讨论：
①当AP⊥PE时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
②当AP⊥AE时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；

③当AE⊥PE时，根据勾股定理得：，
即：，
整理得：，
∵，
∴上述方程在实数范围内无解，即不存在AE⊥PE的情况，
综上所述，所有可能的点F的坐标为，．
【点评】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性质进行分类讨论是解题关键．
10．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．连接．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，M为线段的中点，过点M作，交y轴与点N，P是抛物线上位于直线下方的一个动点，连接，交于点Q，连接，，当的面积最大时，求出此时点P的坐标及的面积最大值；
（3）当点P满足（2）问的条件时，在直线上是否存在一点E，在平面内是否存在一点F，使得以点P，E，C，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）点的坐标为，△的面积最大值为；（3）点的坐标为或或或
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）求出，再求出的最大值，根据当△面积取最大值时，取得最大值求解即可；
（3）根据菱形的性质，分，和三种情况求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的解析式为：
对于，令则
∴
∴
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）连接

∵，点为的中点，
∴
∵
∴为的中点，
∴
∴
∴
∴当△面积取最大值时，取得最大值，
过点作轴交于，
设直线的解析式为
，解得
∴
设点的坐标为，则点的坐标为
∴
∴当时，取得最大值为7.5
此时，=-5
∴的最大值为，
∴的最大值为：
当时，=-5
∴点坐标为
即当△的面积最大时，此时点的坐标为，△的面积最大值为
（3）∵
∴
设直线的解析式为，
把代入得，
∴直线的解析式为，
设点坐标为，
当时，
解得，，
即点坐标为
此时以为顶点的四边形为菱形，则的坐标为，即为，
当时，
解得，
∴点坐标为或，
当点坐标为时，以为顶点的四边形为菱形，则的坐标为，
当点坐标为时，以为顶点的四边形为菱形，则的坐标为，
当时，
解得，，
∴点坐标为
以为顶点的四边形为菱形，则的坐标为
∴直线上存在点，平面内存在点使得以为顶点的四边形为菱形，
点的坐标为或或或
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及菱形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式；（3）分，和三种情况列出关于x的方程．
11．已知抛物线y＝（m+1）x2+（m﹣2）x﹣3．

（1）无论m取何值，抛物线必过第三象限一个定点，则该定点的坐标为　 　；（不影响后两问解答）
（2）当m＝0时，不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点P（2，a），求直线l1的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线y＝kx+b交抛物线于M，N两点（M在N的右侧），PQ∥y轴交MN于点Q，若MQ＝NQ，求k的值．
【答案】（1）（﹣，﹣）；（2）y＝2x﹣7；（3）k＝2．
【分析】（1）将函数解析式变形为y＝m（x2+x）+x2﹣2x﹣3，进而可得出当x2+x＝0，即x＝0或x＝﹣时，y值与m无关，代入x＝0，x＝﹣可求出定点的坐标，取其第三象限的点的坐标即可得出结论；
（2）利用点的坐标特征可得出点P的坐标，设直线l1的解析式为y＝mx+n（m≠0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出n＝﹣2m﹣3，即直线l1的解析式为y＝mx﹣2m﹣3，将y＝mx﹣2m﹣3代入y＝x2﹣2x﹣3整理后可得出关于x的一元二次方程，由直线l1与抛物线有且只有一个交点可得出△＝0，解之可得出m的值，再将其代入y＝mx﹣2m﹣3中即可得出结论；
（3）过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥直线l于点E，过点N作NF⊥直线l于点F，则△MEQ≌△NFQ（AAS），利用全等三角形的性质可得出QE＝QF，进而可得出xM+xN＝2xP＝4，将y＝kx+b代入代入y＝x2﹣2x﹣3整理后可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得出xM+xN＝k+2，进而可得出k+2＝4，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）∵y＝（m+1）x2+（m﹣2）x﹣3＝m（x2+x）+x2﹣2x﹣3，
∴当x2+x＝0，即x＝0或x＝﹣时，y值与m无关．
当x＝0时，y＝﹣3；当x＝﹣时，y＝﹣，
∴该定点的坐标为（﹣，﹣）；
（2）当m＝0时，y＝x2﹣2x﹣3．
∵点P（2，a）为抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的点，
∴a＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴点P的坐标为（2，﹣3）．
设直线l1的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵点P（2，﹣3）为直线l1上的点，
∴2m+n＝﹣3，
∴n＝﹣2m﹣3，
∴直线l1的解析式为y＝mx﹣2m﹣3．
将y＝mx﹣2m﹣3代入y＝x2﹣2x﹣3，得：x2﹣2x﹣3＝mx﹣2m﹣3，
整理，得：x2﹣（2+m）x+2m＝0．
∵直线l1与抛物线有且只有一个交点，
∴△＝[﹣（2+m）]2﹣4×1×2m＝0，
解得：m1＝m2＝2，
∴直线l1的解析式为y＝2x﹣7．
（3）在图2中，过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥直线l于点E，过点N作NF⊥直线l于点F，

在△MEQ和△NFQ中，
,
∴△MEQ≌△NFQ（AAS），
∴QE＝QF，
∴xE﹣xQ＝xQ﹣xF，即xM﹣xP＝xP﹣xN，
∴xM+xN＝2xP＝4．
将y＝kx+b代入y＝x2﹣2x﹣3，得：x2﹣2x﹣3＝kx+b，
整理，得：x2﹣（k+2）x﹣3﹣b＝0，
∴xM+xN＝k+2，
∴k+2＝4，
∴k＝2．
【点评】本题为二次函数综合题，综合性较强，难度较大，熟练掌握二次函数图象上点的坐标的特点，函数与方程（组）的关系，是解题关键．
12．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；
（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）3；（3）点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式；由PE＝2ED可得PD＝3ED，设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），用含m的式子表示出PD和DE，根据PD＝3ED得出关于m的方程，解得m的值，则可得PE的长，然后按照三角形的面积公式计算即可；
（3）分两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，分别求得直线P1C和直线BP2的解析式，将它们分别与抛物线的解析式联立，即可求得点P的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
若PE＝2ED，则PD＝3ED，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD上x轴于点D，
∴E（m，﹣m+3），
∴﹣m2+2m+3＝3（﹣m+3），
∴m2﹣5m+6＝0，
解得m1＝2，m2＝3（舍），
∴m＝2，此时P（2，3），E（2，1），
∴PE＝2，
∴S△PBC＝×2×3＝3．
∴△PBC的面积为3；
（3）∵△PBC是以BC为直角边的直角三角形，
∴有两种情况：①点C为直角顶点；②点B为直角顶点．
过点C作直线P1C⊥BC，交抛物线于点P1，连接P1B，交x轴于点D；
过点B作直线BP2⊥BC，交抛物线于点P2，交y轴于点E，连接P2C，如图所示：

∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°．
∵P1C⊥BC，
∴∠DCB＝90°，
∴∠DCO＝45°，
又∵∠DOC＝90°，
∴∠ODC＝45°＝∠DCO，
∴OD＝OC＝3，
∴D（﹣3，0），
∴直线P1C的解析式为y＝x+3，
联立，
解得或（舍）；
∴P1（1，4）；
∵P1C⊥BC，BP2⊥BC，
∴P1CBP2，
∴设直线BP2的解析式为y＝x+b，
将B（3，0）代入，得0＝3+b，
∴b＝﹣3，
∴直线BP2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得或（舍），
∴P2（﹣2，﹣5）．
综上，点P的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线与三角形有关的综合问题，解题的关键是能熟练运用数形结合的思想、分类讨论的思想熟练进行转化并求解．
13．已知二次函数（）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当时，函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标；
（3）在（2）的条件下，对直线下方二次函数图象上的一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）直线x=1；（2）；；（3）或
【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；
（2）构建方程求出a的值即可解决问题；
（3）先求出直线MN的解析式，然后设点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，得到PQ的长度，根据三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵二次函数（），
∴该二次函数图象的对称轴是直线：；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，，
∴当时，取得最大值，即，
∴，得：，
∴该二次函数的表达式为：，
即点的坐标为．
（3）设直线的解析式为，则，解得：，
∴设直线的解析式为：，
设点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点，如图

则点的坐标是，
∴，
∴，
解得：，，
∴点的坐标是或．
【点评】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，抛物线y＝－x2＋x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M．P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)．
（1）求点A，B的坐标；
（2）连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；
（3）分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME．问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．

【答案】（1）A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(5，0)；（2）P点的坐标为(4，)；（3）存在，点P的坐标为(，3)．
【分析】（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；
（2）过点P做PG⊥x轴于点N，过点C作CK⊥PG的延长线于点K，先求出△ABC的面积为8，再求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（x，－x2＋x－4），则点G的坐标为（x，x−4），求出PG=-x2+x-4-（x-4）=-x2+4x，再根据S△PBC=S△PGC+S△PBG．即PG•OB=8，解方程，即可求出点P的坐标；
（3）首先分析，若△MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M．如图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标．
【详解】解：（1）抛物线y=－x2＋x－4，
令y=0，即－x2＋x－4=0，
解得：x=1或5，
∴点A（1，0），点B（5，0）
（2）如图1，过点P做PG⊥x轴于点N，过点C作CK⊥PG的延长线于点K，

∵点A（1，0），点B（5，0），
∴AB=5-1=4，
∵抛物线y=－x2＋x－4于y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-4），
∴OC=4，
∴S△ABC=4×4×=8，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
把点B、点C代入得：

解得：
∴直线BC的解析式为y＝x－4，
设点P的坐标为（x，－x2＋x－4），则点G的坐标为（x，x－4），
∴PG=－x2＋x－4-（x－4）=-x2+4x，
∵S△PBC=S△PGC+S△PBG=PG•CK+PG•BN=PG（CK+BN）=PG（ON+BN）=PG•OB．
∵S△ABC=S△PBC，
∴PG•OB=8，
即（-x2+4x）×5=8，
解得：x=4或x=1，
∴当x=1时，点P的坐标为（1，0），
∵点P为抛物线在x轴上方一点，
∴P（1，0）不符合题意，
当x=4时，点P的坐标为（4，）．

（3）△MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知点E、M、B在一条直线上，
而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，
由DE⊥BE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，
不符合题意，故此种情况不存在；
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；
③若EM⊥DM，如图2所示：设PC与对称轴交于N，
由已知可得，MD=ME，∠DMA=∠EMN，AD⊥CP，
∴∠ADM=∠NEM=135°，
在△AMD和△NME中，

∴△AMD≌△NME（ASA）
∴AM=MN，
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），
∵抛物线y=－x2＋x－4的对称轴为直线x=3，
∴AM=3-1=2，
∴MN=2，
∴点N的坐标是（3，2），
设过点C（0，-4），点N（3，2）的直线的解析式为：y=kx+b，

解得，k=2，b=4，
即直线PC的解析式y=2x-4，
由
解得，
∵点P位于第一象限，
∴点P的坐标为（，3）；
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）．
【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、解方程等知识点，题目难度较大，解题的关键是明确题意，知道抛物线与x轴、y轴相交的特点，与x轴相交时纵坐标等于0，与y轴相交时横坐标0，运用数形结合的数学思想解答问题．
15．己知如图，抛物线的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段为对角线的正方形的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线称为美丽抛物线，正方形为它的内接正方形．

（1）当抛物线是美丽抛物线时，________；当抛物是美丽抛物线时，________．
（2）若抛物线是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．
（3）若抛物线是美丽抛物线，（2）中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（4）已知系列美丽抛物线（n为正整数，）的顶点为均在直线上，且它们中恰有两个美丽抛物线与（s，t为正整数，，）的内接正方形的面积之比为1：4，试求的值．
【答案】（1），；（2）；（3）成立，理由见解析；（4）或或
【分析】（1）先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；
（2）同（1）的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；
（3）分，两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；
（4）由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为，根据题意得出，从而得出，根据题中的范围得出的值，再得出的值，然后由即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=1，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=1，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，解得：；
∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=k，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=k，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，
解得：（不合题意，舍去）；，
∴；
故答案为：，；
（2），
∵抛物线中，令，则，
∴对称轴是，顶点坐标，
∴对称轴与轴交于点C的坐标是，
∴AC=k，
∵正方形中，AC，BD是对角线，
∴AC=BD=k，
又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，
∴，或，，
∴将代入抛物线中，得
，
解得：，（不合题意，舍去）；
∴；
（3）a，k数量关系仍成立．
当时，
∵抛物线是美丽抛物线，正方形，
又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，
∴AC=BD=，，
∴点D的坐标为，
∵点D在抛物线，
∴，解得，
∴；
当时，同理可得．
∴若抛物线是美丽抛物线，a，k数量关系仍为；
（4）由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为，
∵系列美丽抛物线（n为正整数，）的顶点为均在直线上，
∴，
∵美丽抛物线与的内接正方形的面积之比为1：4，
∴，
∵，在直线上，
∴，
∵s，t为正整数，，，
∴或或，
∴或或，
∵，
∴或或，
∴或或．
【点评】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．