2022年中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（16）

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中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（16）

1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O，P为直线OA上方抛物线上的一个动点．
（1）求直线OA及抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线，垂足为D，并与直线OA交于点C，当△PCO为等腰三角形时，求D的坐标；
（3）设P关于对称轴的点为Q，抛物线的顶点为M，探索是否存在一点P，使得△PQM的面积为，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）直线OA的解析式为y＝x，二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x；（2）D（）；（3）存在，P（）或（）．
【分析】（1）设直线OA的解析式为y1＝kx，把点A坐标（3，3）代入得：k＝1，直线OA的解析式为y＝x；再设y2＝ax（x−4），把点A坐标（3，3）代入得：a＝−1，即可求解；
（2）P为直线OA上方抛物线上的一个动点，故0＜m＜3．此时仅有OC＝PC，CO＝OD＝m，，解得，即可求解；
（3）M到直线PQ的距离为4−（−n2＋4n）＝（n−2）2，要使△PQM的面积为，则，即，即可求解．
【详解】解：（1）设直线OA的解析式为y1＝kx，
把点A坐标（3，3）代入得：k＝1，
直线OA的解析式为y＝x；
再设y2＝ax（x﹣4），
把点A坐标（3，3）代入得：a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+4x，
∴直线OA的解析式为y＝x，二次函数的解析式是y＝﹣x2+4x．
（2）设D的横坐标为m，则P的坐标为（m，﹣m2+4m），
∵P为直线OA上方抛物线上的一个动点，
∴0＜m＜3．
此时仅有OC＝PC，CO＝=OD＝m，
∴，解得，
∴；
（3）函数的解析式为y＝﹣x2+4x，
∴对称轴为x＝2，顶点M（2，4），
设P（n，﹣n2+4n），则点P关于对称轴的对称点Q（4﹣n，﹣n2+4n），
M到直线PQ的距离为4﹣（﹣n2+4n）＝（n﹣2）2，
要使△PQM的面积为，
则，即，
解得：或，
∴P（）或（）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、绝对值的定义、面积的计算等，综合性强，难度适中．
2．如图，抛物线：（，是常数）经过、两点.

（1）求，的值；
（2）向右平移抛物线，使它经过点，得抛物线，与轴的一个交点为，且在另一个交点的左侧.
①求抛物线的表达式；
②是点关于抛物线对称轴的对称点，是线段上一点，轴，交抛物线于点，为垂足，设，线段的长为，求的值，使取得最大值．
【答案】（1），2；（2）①，②3
【分析】（1）将A、B两点坐标代入即可求出，的值．
（2）将（1）中求得的抛物线的解析式化为顶点式，根据和关于轴轴对称，即可求得解析式．
②先求出关于直线的对称点，显然，求出直线的解析式为，设，，再根据，得出，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴
解得
故答案为:，
（2）①由(1)得抛物线的解析式为
和关于轴轴对称，则：
∴即为所求．
②∵关于直线的对称点为
显然
∵，
∴直线的解析式为
∵点在线段上
∴
∵点在抛物线上
∴
令，得
∴当时，取得最大值2


故答案为：；当时，取得最大值2
【点评】本题是二次函数的综合题目，考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数一般式化为顶点式是求抛物线关于y轴对称图象的函数解析式的方法，以及二次函数最值的求法．
3．如图，二次函数的顶点的坐标为．

(1)求，的值；
(2)已知点为抛物线上异于的一点，且点横、纵坐标相等，为轴上任意一点，当取最小值时，求出点坐标和此时的面积．
【答案】(1) ； (2) 点坐标为，
【分析】(1)由题意可设，将代人即可求出解析式，得到a与b；
(2)可设点坐标为，代入求出m得到点A的坐标，，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则此时为最小值，求出直线的解析式，得到直线与x轴交点B的坐标，分别作，垂直于轴，垂足分别为，，根据求出的面积.
【详解】解：(1)由题意可设，将代人，得，解得．
∴该抛物线的解析式为．
．
(2)由题意可设点坐标为，代入中，得
，
解得， (舍去)，
故点坐标为.
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则此时为最小值.
设的解析式为
将和代入，得
，
解得，
，
当时，，
故点坐标为.
分别作，垂直于轴，垂足分别为，，

则

.
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，抛物线与几何图形面积问题，轴对称的最短路径问题，图象与坐标轴交点问题.
4．如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax﹣4a的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(0，﹣3)．
（1）求二次函数的表达式及点A、点B的坐标；
（2）若点D在二次函数图象上，且，求点D的横坐标；
（3）将直线BC向下平移，与二次函数图象交于M，N两点（M在N左侧），如图2，过M作ME∥y轴，与直线BC交于点E，过N作NF∥y轴，与直线BC交于点F，当MN+ME的值最大时，求点M的坐标．

【答案】（1）y＝，A(﹣1，0)，B(4，0)；（2）2+2或2﹣2或2；（3）M(，﹣)
【分析】（1）求出a，即可求解；
（2）求出直线BC的解析式，过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，根据三角形面积的关系求解；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，设M（m，m-3），N（n，n2-n-3），判断四边形MNFE是平行四边形，根据ME=NF，求出m+n=4，再确定ME+MN=-m2+3m+5-m=-（m-）2+ ，即可求M；
【详解】（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a与y轴交于点C（0，﹣3），
∴a＝，
∴y＝，
与x轴交点A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝x﹣3；
过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，
设H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），
∴DH＝|x2﹣3x|，
∵S△ABC＝，
∴S△DBC＝＝6，
∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6，
∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；
∴D点的横坐标为2+2，2﹣2，2；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，
设M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），
则E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），
∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，
∵EF∥MN，ME∥NF，
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴ME＝NF，
∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，
∴m+n＝4，
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，
∴∠NMG＝∠OBC，
∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝ ，
∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，
∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，ME+MN有最大值，
∴M（，﹣）

【点评】此题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质，解题关键在于熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题；
5．如图，抛物线与轴交于点和点，并经过点，抛物线的顶点为.将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直线的抛物线．

（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，是等腰三角形时，点坐标为或或或．
【分析】（1）根据待定系数法求得抛物线，然后求得点B的坐标，根据题意即可求得抛物线y2的表达式；
（2）由y1==-（x+1）2+2可知C点的坐标为（-1，2），根据勾股定理，设P点的坐标为（1，m），然后分三种情况列出关于m的方程，解方程即可求得．
【详解】（1）由于抛物线经过点和点，所以，
解得，抛物线.
当时，，解得，，所以点坐标为，
因为抛物线由抛物线平移得到，且顶点为，
所以抛物线的表达式为.
（2）在直线上存在点，使是等腰三角形.
由于，所以点坐标为，
根据勾股定理，设点坐标为，
分三种情况：
①当时，，解得，此时点坐标为；
②当时，，，此时点坐标为或；
③当时，，解得或（舍去），此时点坐标为.
综上，是等腰三角形时，点坐标为或或或.
【点评】此题考查二次函数的综合题，二次函数性质、等腰三角形判定，解题关键在于应用数形结合和分类讨论的数学思想．
6．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，与轴的交点为．
（1）求点，的坐标；
（2）已知点(4，2)，将抛物线向上平移得抛物线，点平移后的对应点为，且，求抛物线的解析式；
（3）将抛物线：沿轴翻折，得抛物线，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，平行于轴的直线与抛物线交于点(，)，(，)，与直线交于点(，)，若＜＜，结合函数的图象，求的取值范围．
【答案】（1）M（－2，－1），N（0，3）；（2）抛物线的解析式为：；（3）．
【分析】（1）将解析式化成顶点式可得M的坐标，求出x＝0时y的值可得N的坐标；
（2）设抛物线的解析式为：，则，过点P作PH⊥于点H，可得PH＝4，N′H＝m－2，根据勾股定理构建方程求出m即可；
（3）求出抛物线的解析式，可得点A、B、D的坐标及的值，求出直线BD的解析式，根据结合函数图象可得的取值范围，进而可得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴M（－2，－1），
当x＝0时，，
∴N（0，3）；
（2）设抛物线的解析式为：，则，
过点P作PH⊥于点H，
∵(4，2)，
∴PH＝4，N′H＝m－2，
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；

（3）∵抛物线的顶点坐标为（－2，－1），
∴抛物线的顶点坐标为（2，－1），
∴抛物线的解析式为：，
令y＝0，得，
解得：，，
∴A（1，0），B（3，0），
令x＝0，得，
∴D（0，3），
设直线BD的解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
则，解得：，
∴直线BD的解析式为：y＝－x＋3，
∵抛物线的对称轴为：，
∴，
令y＝－x＋3＝－1，解得：x＝4，
∵，
结合函数图象得：，
∴，
即的取值范围为：．

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式以及勾股定理的应用，准确作出图形，熟练掌握数形结合的数学思想是解题的关键．
7．综合与探究
已知：、是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点、．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为，抛物线的顶点为，试求出点、的坐标和的面积；
（3）是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请直接写出点的坐标 ；
（4）若点在直线上，点在平面上，直线上是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=−x2−4x+5；（2）15；（3）(−,0)或(−,0)；（4）存在M点，M点坐标为(7,12)或
【分析】（1）通过解方程即可求出p、q的值，那么A、B两点的坐标就可求出．然后根据A、B两点的坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标．由于△BCD的面积无法直接求出，可用其他图形的面积的“和，差关系”来求出．过D作DM⊥x轴于M，那么△BCD的面积=梯形DMOB的面积+△DCM的面积-△BOC的面积．由此可求出△BCD的面积．
（3）由于△PCH被直线BC分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．如果设PH与BC的交点为E，那么EH就是抛物线与直线BC的函数值的差，而EP就是E点的纵坐标．然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后表示出EH，EP的长．进而可分两种情况进行讨论：①当EH=EP时；②当EH=EP时．由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程即可求出E点的坐标．也就求出了P点的坐标．
（4）分两种情况讨论，当CD=DM和当时，根据M点在直线BC上设出M点坐标，根据两点间距离公式列出方程即可求解出M点坐标．
【详解】解方程x2−6x+5=0，
(x−1)(x−5)=0，
得x1=5，x2=1
∵，
∴p=1，q=5
∴点A、B的坐标分别为A(1,0)，B(0,5)．
将A(1,0)，B(0,5)的坐标分别代入y=−x2+bx+c．
得
得：
∴抛物线的解析式为y=−x2−4x+5
故答案为：y=−x2−4x+5

(2)∵y=−x2−4x+5，
令y=0，得−x2−4x+5=0，
得x1=−5，x2=1，
∴C点的坐标为(−5,0)
∵，
∴点D(−2,9)
过D作x轴的垂线交x轴于M

∴S△DMC=×9×(5−2)=
S梯形MDBO=×2×(9+5)=14，
S△BOC=×5×5=
∴S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC−S△BOC=14+−=15
故答案为：15
(3)设P点的坐标为(a,0)
∵B(0,5)，C (−5,0)
设BC直线的解析式为y=kx+b
∴
∴
∴BC所在的直线解析式为y=x+5
设PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5)，
PH与抛物线y=−x2−4x+5的交点坐标为H(a,−a2−4a+5)

∵①EH=EP，
即(−a2−4a+5)−(a+5)=(a+5)
∴a=−或a=−5(舍去)
②EH=EP，
即(−a2−4a+5)−(a+5)=(a+5)
∴a=−或a=−5(舍去)，
P点的坐标为(−,0)或(−,0)
故答案为：(−,0)或(−,0)
（4）①∵M在直线BC上，设M(m,m+5)
若使四边形CDMN为菱形，则CD=DM
∵C(-5,0)，D(-2,9)
∴
解得m=-5或m=7
m=-5时，恰好为C点，不符合题意舍去
∴m=7
∴M(7,12)
②∵直线BC上存在一点，设
若使四边形是菱形，则
∵C(-5,0)，D(-2,9)
∴
解得
∴

综上所述在直线BC上存在一点M，且以点、点、点、点为顶点的四边形为菱形，此时M点坐标为(7,12)或
故答案为：存在M点，M点坐标为(7,12)或
【点评】本题是二次函数的综合题目，涉及了待定系数法求抛物线方程，利用面积差求图形面积，两点间距离公式求线段长，菱形的判定和性质等知识点．
8．如图，抛物线L1：y＝－x2－2x＋3交x轴于A，B两点，交y轴于M点抛物线L1向右平移2个单位得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．

(1)求抛物线L2对应的函数表达式；
(2)抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是抛物线L1上的一个动点(P不与点A，B重合)，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上？请说明理由．
【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）存在，N(2，3)，N′(－2，3);（3）点Q不在抛物线L2上．
【分析】(1)由于是平移，所以抛物线的开口方向和开口大小不变，先求出L1与x轴的交点，再求出L2与x轴的交点，即可求出抛物线L2的解析式；
(2)因为是平移，根据平移的性质，连接各组对应点的线段平行且相等，故存在符合条件的点N,即可求得N点坐标；
(3)先设出L1上的点（x1，y1），进而求得关于原点的对称点（-x1，-y1），再将（-x1，-y1）代入函数L2的解析式，成立则在图像上，不成立则不在图像上．
【详解】解：(1)令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，

　 ∴x1＝－3，x2＝1，
　 ∴A(－3，0)，B(1，0) ，
　∵抛物线L1向右平移2个单位得抛物线L2，
　 ∴C(－1，0)，D(3，0)，a＝－1，
　 ∴抛物线L2为y＝－(x＋1)(x－3) ．
　 即y＝－x2＋2x＋3．
(2)存在；令x＝0，得y＝3，
∴M(0，3),
　∵抛物线L2是L1向右平移2个单位得到的，
　∴点N(2，3)在L2上，且MN＝2，MN∥AC，
又∵AC＝2，
∴MN＝AC，
∴四边形ACNM为平行四边形．
同理，L1上的点N′(－2，3)满足N′M∥AC，N′M＝AC，
　∴四边形ACMN′是平行四边形．
∴N(2，3)或N′(－2，3)即为所求．
(3)设P(x1，y1)是L1上任意一点(y1≠0)，
则点P关于原点的对称点Q(－x1，－y1)，
且，
将点Q的横坐标代入L2，
得：
∴点Q不在抛物线L2上．
【点评】本题目是二次函数的综合题型，涉及的知识点有平移、平行四边形的判定、对称等相关知识，是中考的常考点，同学们需要熟练掌握解题技巧方能快速解题．
9．如图， 已知二次函数（，，为常数）的对称轴为，与轴的交点为，的最大值为5，顶点为，过点且平行于轴的直线与抛物线交于点，.

（1）求该二次函数的解析式和点，的坐标.
（2）点是直线上的动点，若点，点，点所构成的三角形与相似，求出所有点的坐标.
【答案】（1）y＝−x2＋2x＋4；B（−1，1）；A（3，1）（2）（3，1）或（−3，7）或（，）或（−，）
【分析】（1）先确定顶点M的坐标，再设顶点式y＝a（x−1）2＋5，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；在计算函数值为1所对应的自变量的值即可得到A、B点的坐标；
（2）先计算出CD＝3，BD＝1，AM＝2，CM＝，AC＝3，则利用勾股定理的逆定理得到△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，根据相似三角形的判定，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，设此时P（x，−x＋4），利用两点间的距离公式得到x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2，求出x从而得到此时P点坐标；当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，利用同样方法求出对应的P点坐标．
【详解】（1）根据题意得抛物线的顶点M的坐标为（1，5），
设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋5，
把C（0，4）代入y＝a（x−1）2＋5得a＋5＝4，
解得a＝−1，
所以抛物线解析式为y＝−（x−1）2＋5，
即y＝−x2＋2x＋4；
当y＝1时，−x2＋2x＋4＝1，
解得x1＝−1，x2＝3，则B（−1，1），A（3，1）；
（2）∵，
∴CD＝3，BD＝1，
故AM＝=2，CM＝，AC=
设直线AC的解析式为y＝kx＋b
把A（3，1），C（0，4）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y＝−x＋4，
∵CM2＋AC2＝AM2，
∴△ACM为直角三角形，∠ACM＝90°，
∴∠BDC＝∠MCP，
如图1，当时，△MCP∽△BDC，即，解得PC＝3，
设此时P（x，−x＋4），
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（3）2，解得x＝±3，则此时P点坐标为（3，1）或（−3，7）；
如图2，当时，△MCP∽△CDB，即，解得PC＝，
设此时P（x，−x＋4），
∴x2＋（−x＋4−4）2＝（）2，解得x＝±，则此时P点坐标为（，）或（−，）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（3，1）或（−3，7）或（，）或（−，）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
10．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2相交，点P为抛物线上任意一点．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）在（1）条件下，当点P到直线x=﹣2距离不超过2时，求点P纵坐标y的范围．
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）﹣2≤m≤0或2≤m≤4
【分析】(1)抛物线经过点C，把点C代入抛物线的解析式，求出m即可；
(2)根据题意可确定点P的横坐标范围，可知点P经过抛物线最低点，求出最低点和离对称轴最远的点即可求出范围；
(3)抛物线与线段AB有公共点，根据图像，可得出或，求解即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，

m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；
（2）当点P到直线x=﹣2距离不超过2，
所以点P的横坐标范围为-4≤x≤0
对称轴x=-1，
∴当x=-1时，y有最小值-2，当x=-4时，y有最大值7，
∴-2≤y≤7
（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴ 或，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．
【点评】本题是一道关于二次函数的综合问题，考查利用待定系数法求出函数的解析式、对称轴、坐标的范围以及系数的取值，要充分掌握二次函数的基本性质，并且能熟练运用．
11．已知抛物线，顶点为．

（1）求的值；
（2）如图1，若为轴右侧抛物线上一动点，过作直线轴交轴于点交直线于点，设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）如图2，点为轴正半轴上一定点，点均为轴右侧抛物线上两动点，若，求证：直线经过一个定点．
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析
【分析】（1）利用二次函数顶点式，代入顶点即可求解；
（2）利用二次函数解析式和一次函数解析式，用m去表示P、M点的纵坐标，再利用列出等量关系式即可求解m；
（3）作A点关于二次函数对称轴的对称点M，设则，由已知和中垂线定理可得，即可得M、P、B再同一条直线上，设，代入P、M坐标求PM解析式，再联立抛物线解析式，可表示B、M坐标，同理的求直线AB解析式，根据一次函数解析式可知AB恒过．
【详解】解：设
代入上式


在抛物线上，在直线上



解得或或
为轴右侧抛物线上一动点

综上或
取点关于轴的对称点，
抛物线关于轴对称
点在抛物线上．
连
设，
则

三点共线

设

解得
联立直线与抛物线，
得：



代入抛物线
同理可求恒经过定点
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数综合、一次函数的图像性质、图形对称、等腰三角形三线合一等．本题综合性较强，对各涉及知识点掌握要求较高．特别注意两函数交点需满足各函数解析式．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

（1）求直线的解析式；
（2）若点为抛物线上一动点，当点运动到某一位置时，，求此时点的坐标．
（3）若将沿射线方向平移，平移后的三角形记为，连接，直线交抛物线于点，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线的解析式为：；（2）；（3）或或或．
【分析】（1）根据抛物线与x轴和y轴的交点分别纵坐标为0和横坐标为0求得A、B、C坐标，设直线BC的解析式为：，代入B、C坐标即可求得BC解析式；（2）两三角形均以AB为底，根据A、B坐标求得线段AB长度，根据C点纵坐标可求，再根据已知面积关系可得P点到x轴距离为4，最后讨论P在x轴上下位置都在抛物线上，满足解析式，列式求横坐标即可；（3）根据平移可知，即可得证，通过A点坐标即可求得直线AM的解析式和M点坐标，根据点到点距离公式可求AM距离，P再射线CB上，根据BC直线解析式设，分类讨论 两两相等，再次利用点到点的距离公式即可得出5个P点坐标，因为沿射线方向平移，P点横坐标大于0故舍去．
【详解】解：（1）当时，抛物线与y轴交于点C，
则，点C坐标为：（0，－3），
当时，抛物线与x轴交于A、B，
∴
解得，，
∴A坐标为：（－1，0），B坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：，则
解得 ，
∴BC的解析式为： ．
（2）由（1）可知A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3），
∴，，
∴，
∵，
∴P到x轴的距离为：，
当P点纵坐标为4时，代入抛物线解析式得：
，解得，
当P点纵坐标为－4时，代入抛物线解析式得：
，解得，
∴，此时点的坐标为：（，4）、（，4）或（1，－4）．
（3）存在点，使得为等腰三角形．
∵沿射线方向平移，
∴
∴四边形为平行四边形，
∴，
设直线AM的解析式为：，且过A（－1，0），
即，解得，
∴直线AM的解析式为：，
联立直线AM与抛物线解析式得：
解得 或，
∴M点坐标为（4，5），
即，
设，
当时，
，
解得，
当时，
，
解得，
当时，

解得（舍去），
∴沿射线方向平移，为等腰三角形时，
点横坐标为：或或或．
【点评】本题主要考查一次函数解析式、二次函数综合、图形的平移、直线上与已知两点组成等腰三角形的点、坐标系两点间的距离、分类讨论等．这类题目综合性强，难度相对较大，计算繁琐，要求学生对各个知识点都能掌握．
13．已知，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1，0)和C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小?如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．

【答案】（1）；（2）存在，当的值最小时，点的坐标为；（3）点的坐标为、、或
【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标；
（3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标．
【详解】解：（1）将、代入中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示．

当时，有，
解得：，，
点的坐标为．
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的值最小时，点的坐标为．
（3）设点的坐标为，
则，，．
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
解得：，，
点的坐标为或；
②当时，有，即，
解得：，
点的坐标为；
③当时，有，即，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或．
【点评】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程．
14．如图，在平面直⻆坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣）、B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．
（1）求二次函数解析式；
（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA＝∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；
（3）如图2，点Q是第三象限内抛物线上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．

【答案】（1）；（2）S△BPC=；（3）点Q坐标为（，）或（，）
【分析】（1）由待定系数法可求解析式；
（2）先求出点D，点C坐标，可求BP解析式，联立方程组可求点P坐标，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可得FH=QG，或BN=GQ，即可求解．
【详解】（1）设抛物线解析式为：，且过点B（-2，0），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（2）∵与轴交于B，C，交轴与点D，
∴当，，即点D（0，），
当时，，
∴，
∴点C（4，0），
∵点A（1，），点D（0，）
设直线 AD解析式为：，
把点A（1，）代入，得：，
解得：，
∴直线 AD解析式为：，
∵∠PBA=∠BAD，
∴BP∥AD，
∴设直线BP解析式为：，且过点B（-2，0），
∴，
∴，
∴直线BP解析式为：，
联立方程组可得：，
∴，，
∴点P（3，），
∴S△BPC；
（3）如图，过点Q作QG⊥BC于G，过点F作FH⊥GQ于H，设对称轴与BC交于N点，

∵四边形BEFQ是正方形，
∴BE=EF=BQ=QF，∠EBQ=∠BQF=90°，
∵∠BQG+∠FQH=90°，∠BQG+∠QBG=90°，
∴∠GBQ=∠FQH，
在△BQG和△QFH中，
，
∴△BGQ≌△QHF（AAS）
∴BG=QH，FH=QG，
设点Q（m，）
若点F在对称轴上，
∵FH=GQ，
∴，
∴（舍去），，
∴点Q坐标（，）；
若点E在对称轴上，
同理可证：△BGQ≌△ENB，
∴BN=GQ，
∴，
∴（舍去），，
∴点Q坐标（，），
综上所述：点Q坐标为（，）或（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，利用待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过三点，点A的坐标是，点C的坐标是．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求以点A、点C及点D围成的的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P的横坐标．若不存在，请说明理由．

【答案】（1），顶点（1,-4）（2）3（3）2+，2+．
【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式，再求出顶点坐标；
（2）根据割补法即可求解三角形的面积；
（3）根据题意作图，求出CP的倾斜角，再求出其解析式，联立二次函数即可求解．
【详解】（1）把A,C坐标代入得
解得
∴抛物线的解析式为=
∴顶点D（1,-4）；
（2）∵A（3,0），C（0,-3），D（1,-4）
∴的面积为3×4-×2×4-×1×1-×3×3=12-4--=3

（3）①当P点在直线AC下方时，
∵OA=OC，∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，又∵∠PCA=15°
∴∠OCP=45°+15°=60°
故直线PC的倾斜角为90°-60°=30°，
设直线PC的解析式为y=x+b
把C（0，-3）代入得-3=b
∴直线PC的解析式为y=x-3
联立，解得x1=2+，x2=0（舍去）
②当P’点在直线AC上方时，
∵∠OCA=45°，∠P’CA=15°
∴∠OCP’=45°-15°=30°
故直线P’C的倾斜角为90°-30°=60°，
设直线P’C的解析式为y=x+n
把C（0，-3）代入得-3=n
∴直线PC的解析式为y=x-3
联立，解得x1=2+，x2=0（舍去）
综上，点P的横坐标为2+，2+．

【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、割补法及二次函数的性质、一次函数的解析式求解方法．