2022年中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（17）

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中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（17）

1．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）．

（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交直线AC于点D；作PE∥x轴，交直线AC于点E，以PD，PE为边的矩形PEFD，问矩形PEFD周长是否存在最大值？若存在，求出此时P点的坐标及最大值；若不存在，请说明理由；
（3）在问题（2）的条件下，P点满足∠DAP=90°，且点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2−4x＋3（2）存在，当P（，-），矩形PEFD周长最大值为9（3）F1（2−，1），F2（2＋，1）．
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出A点坐标，可知△AOC是等腰直角三角形，再求出直线AC的解析式，由题意可知矩形PEFD为正方形，故矩形PEFD周长等于4DP，设P（x, x2−4x＋3）,再表示出D点坐标及DP的长，根据二次函数的性质即可求出最大值；
（3）根据∠DAP=90°，过P点作AP⊥AC于抛物线的交点即为P点，根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的顶点为（2，−1），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x−2）2−1，
将C（0，3）代入上式，得：
3＝a（0−2）2−1，a＝1；
∴y＝（x−2）2−1，即y＝x2−4x＋3；
（2）令y=0，即x2−4x＋3=0
解得x1=1,x2=3
∴A（3,0）
∴CO=AO
∴△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=45°
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（3,0），C（0，3）代入得
解得
∴直线AC的解析式为y=-x+3
∵PE∥x轴，
∴∠DPE=∠CAO=45°
∴∠EDP=90°-∠DPE=45°
∴DP=PE
故矩形PEFD为正方形，
设P（x, x2−4x＋3）,则D（x，-x+3）
∴DP=（-x+3）-（x2−4x＋3）=-x2+3x
∴矩形PEFD周长C=4DP=-4x2+12x=-4(x2-3x)= -4(x-)2+9
故存在当x=时，即P（，-），矩形PEFD周长最大值为9；

（3）如图，过P点作AP⊥AC于抛物线的交点即为P点，此时∠DAP=90°，
∵直线AC的解析式为y=-x+3
∴可设直线AP的解析为y=x+p
把A（3,0）代入得0=3+p
解得p=-3
∴直线AP的解析为y=x-3
联立
解得x1=3,y=0或x=2，y=-1
∴P（2,-1）
∵A、P、E、F为顶点的平行四边形
∴P、F的纵坐标互为相反数，
∴可设F（x，1），代入抛物线可得x2−4x＋3＝1，
解得x1＝2−，x2＝2＋；
∴符合条件的F点有两个，
即F1（2−，1），F2（2＋，1）．

【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、正方形的判定、平行四边形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大．
2．如图，函数y=－x2＋x＋c(－2020≤x≤1)的图象记为L1，最大值为M1；函数y=－x2＋2cx＋1(1≤x≤2020)的图象记为L2，最大值为M2．L1的右端点为A，L2的左端点为B，L1，L2合起来的图形记为L．
（1）当c=1时，求M1，M2的值；
（2）若把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当点A，B重合时，求L上“美点”的个数；
（3）若M1，M2的差为，直接写出c的值．

【答案】（1）当c=1时，M1=，M2=2；（2）3030；（3）c=－或2．
【分析】(1)当c=1时，把函数的解析式化成顶点式即可求得，的值；
(2)由已知可得点A，B重合时，，，L1上有1011个“美点”，L2上有2020个“美点”．则L上“美点”的个数是1011+2020-1=3030；
(3)当时，，由于L2的对称轴为，分两种情况求解：当c≥1时，=c2+1；当c＜1时，=2c；再由已知列出等式即可求c的值．
【详解】(1)当c=1时，
函数y=-x2+x+c=-x2+x+1=-(x-)2+，
又-2020≤x≤1，
∴M1=，
y=-x2+2cx+1=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
又1≤x≤2020，
∴M2=2．
(2)当x=1时，y=-x2+x+c=c-；y=-x2+2cx+1=2c．
若点A，B重合，则c-=2c，c=-，
∴L1∶y=-x2+x- (-2020≤x≤1)；
L2∶y=-x2-x+1(1≤x≤2020)．
在L1上，x为奇数的点是“美点”，则L1上有1011个“美点”；
在L2上，x为整数的点是“美点”，则L2上有2020个“美点”．
又点A，B重合，
则L上“美点”的个数是1011+2020-1=3030；
(3)y=-x2+x+c(-2020≤x≤1)上时，当时，，
y=-x2+2cx+1(1≤x≤2020)，对称轴为，
当时，，
∴，
∴(舍去)或；
当时，，
∴，
∴(舍去)或；
综上，或．
【点评】本题考查了二次函数的图象及性质；能够根据函数所给的取值范围，通过适当的分类讨论，正确的求函数的最大值是解题的关键．
3．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝x－1的图像上．
（2）若该函数的图像与函数y＝x＋b的图像有两个交点，则b的取值范围为（ ）
A．b＞0 B．b＞－1 C．b＞－ D．b＞－2
（3）该函数图像与坐标轴交点的个数随m的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的m的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）C；（3）①当m＞1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为1；②m＝1，，时，该函数图像与坐标轴交点的个数为2；③当m＜，＜m＜，＜m＜1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为3．
【分析】（1）首先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线解析式进行判断即可；
（2）联立方程组，根据方程组有两组解，利用根的判别式进行判断即可；
（3）分别由当抛物线的顶点在直线y=x-1与x轴的交点上方时，抛物线与坐标轴有一个交点，抛物线顶点在x轴上以及抛物线经过原点时，抛物线与坐标轴有2个交点分别列式求出m的值即可确定答案．
【详解】（1）证明：∵y＝x2－2mx＋m2＋m－1
＝(x－m)2＋m－1
∴该函数的图像的顶点坐标为（m，m－1），
将x＝m代入y＝x－1得，y＝m－1，
∴不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝x－1的图像上．
（2）联立方程组
∴x2－2mx＋m2＋m－1=x＋b
整理，得：x2－（2m+1）x＋m2＋m－1-b=0
∵函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1的图像与函数y＝x＋b的图像有两个交点，
∴△=
解得，b＞－
故选：C．
（3）∵该函数的图像的顶点坐标为（m，m－1），
①当m-1＞0，即m＞1时，该函数图像与y轴有一个交点，
∴当m＞1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为1；
②当函数的图像的顶点在x轴以及经过原点时，
由于函数的图像的顶点在函数y＝x－1的图像上
∴当y=0时，x=1，即m=；
当图象经过原点时，即m2＋m－1=0，
解得，，
∴当m＝1，，时，该函数图像与坐标轴交点的个数为2；
③当m＜，＜m＜，＜m＜1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4．定义：若两条抛物线在x轴上经过两个相同点，那么我们称这两条抛物线是“同交点抛物线”，在x轴上经过的两个相同点称为“同交点”，已知抛物线y=x2 +bx+c经过(﹣2，0)、( ﹣4，0)，且一条与它是“同交点抛物线”的抛物线y=ax2 +ex+f经过点( ﹣3，3)．
（1）求b、c及a的值；      
（2）已知抛物线y =﹣x2 +2x +3与抛物线yn=x2﹣x﹣n （n为正整数）     
①抛物线y和抛物线yn是不是“同交点抛物线”？若是，请求出它们的“同交点”，并写出它们一条相同的图像性质；若不是，请说明理由．      
②当直线y =x+ m与抛物线y、yn，相交共有4个交点时，求m的取值范围．      
③若直线y =k（k