2022年中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（19）

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中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（19）

1．在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B(点A在点B的左侧)两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．

特例感悟：
（1）已知：a=-2，b=4，c=6．
①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=____，|a|·AE·BF=___．
②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB//x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=_____，|a|·AE·BF=_______．
③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=___，|a|·AE·BF=___．
猜想论证：
（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|·AE·BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．      
（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动(点C不与点A，B重合)，在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．
【答案】（1）①6，6；②2，2；③7，7；（2），见解析；（3）27
【分析】(1)①求得点A、B、C的坐标，得到点E、D、F三点重合，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；
②求得点A、B、C的坐标，得到点E、D、F三点重合，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；
③解方程组求得点A、B的坐标，再求得点C、D的坐标，即可求得CD的长以及|a|·AE·BF的值；
(2)利用参数法，设A、B、C三横坐标分别为：，直线AB的解析式为，根据一元二次方程根与的关系，求得|a|·AE·BF，再利用两点之间距离公式求得CD，即可证明；
(3)设点C的横坐标为，△ACB的面积为S，根据，点A，B的横坐标分别为-4，2，得到，，，利用三角形面积公式即可得到关于x的二次函数，利用二次函数的最值即可求解．
【详解】(1)已知：，则抛物线的解析式为，
①令，则或,
∴点A、B的坐标分别为，
∵点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为
∵直线AB与x轴重合，
∴点E、D、F三点重合，
如图：

∴CD=6，
|a|·AE·BF=；
②令，则,
∴点A的坐标为
抛物线的对称轴为，
∵直线AB//x轴，
∴点B的坐标分别为
∵点C的横坐标为1，
∴点C的坐标为
∵直线AB//x轴，
∴点E、D、F三点重合，
如图：

∴CD=8-6=2，
|a|·AE·BF=；
③解方程组得：或，
∴点A、B的坐标分别为，
∵点C的横坐标为2，
∴点C的坐标为
∵直线CD平行于y轴，
∴点D的横坐标为2，
把代入得：，
∴点D的坐标为
如图：

∴CD=CF-FD=6+1=7，
|a|·AE·BF=；
(2)数量关系为：，
理由如下：
设A、B、C三横坐标分别为：，直线AB的解析式为，
联立方方程和，消去并整理得：
，
∵是方程的两根，
∴，，
则，，
∴·AE·BF=

，
又∵点C的横坐标为t，
∴点C的坐标为
∵直线CD平行于y轴，
∴点D的横坐标为t，
把代入得：，
∴点D的坐标为
∴CD=
=，
∴CD=·AE·BF；
(2)设点C的横坐标为，△ACB的面积为S，
过点C作CD平行于y轴交AB于D，
∵点A、B的横坐标分别为-4、2，
则，，
∵，点A，B的横坐标分别为-4，2，
则抛物线的解析式为，
∴点A、B的坐标分别为，
设直线AB的解析式为，则，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
∴点C的坐标为点D的坐标为
∴，
∵，
由于，
∴当时，．

【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征等知识．理解坐标与图形性质，记住三角形的面积公式，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．
2．已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上．
（Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出n的值；
（Ⅱ）求点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求此时点Q的坐标；
（Ⅲ）平移抛物线y＝ax2，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，点C（﹣2，0）是x轴上的定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+CB'最短，求此时抛物线的解析式；
②D（﹣4，0）是x轴上的定点，当抛物线向左平移到某个位置时，四边形A'B'CD的周长最短，求此时抛物线的解析式（直接写出结果即可）．
【答案】（I）y＝；（0，0）；2；（II）P（2，﹣2）；Q（，0）；（III）①y＝（x+）2；②y＝（x+）2．
【分析】（I）把（﹣4，8）代入y＝ax2可求得a的值，可得抛物线的解析式，这条抛物线的顶点是原点，把x＝2代入所求的抛物线解析式，可得n的值；
（II）求得AP与x轴的交点即为Q的坐标；
（III）①先计算CQ的长，可知平移的距离和方向，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可；
②左右平移时，使A′D+DB′′最短即可，那么作出点A′关于x轴对称点的坐标为A′′，得到直线A′′B′′的解析式，将点D的坐标代入，可得b的值，同理用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可．
【详解】解：（I）将点A（﹣4，8）的坐标代入y＝ax2，
解得a＝，
∴抛物线的解析式是y＝，顶点坐标是（0，0），
将点B（2，n）的坐标代入y＝x2，得n＝＝2；
（II）由（I）知：点B的坐标为（2，2），
则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，﹣2），

如图1，连接AP与x轴的交点为Q，此时AQ+BQ最小，
设直线AP的解析式为y＝kx+b，，
解得：
∴直线AP的解析式是y＝﹣x+，
令y＝0，得x＝，
即所求点Q的坐标是（，0）；
（III）①∵点C（﹣2，0），点Q的坐标是（ ，0）
∴CQ＝﹣（﹣2）＝，
故将抛物线y＝x2向左平移个单位时，A′C+CB′最短，
此时抛物线的函数解析式为y＝（x+）2；
②左右平移抛物线y＝x2，
∵线段A′B′和CD的长是定值，
∴要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短；

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′在增大，
∴不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短；
第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，如图2，
则点A′和点B′的坐标分别为A′（﹣4﹣b，8）和B′（2﹣b，2）．
∵CD＝2，
∴将点B′向左平移2个单位得B′′（﹣b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，
∵点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（﹣4﹣b，﹣8），
由A''和B''两点的坐标得：直线A′′B′′的解析式为y＝x+b+2．
要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，
将点D（﹣4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得b＝．
∴将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，
此时抛物线的函数解析式为y＝（x+）2．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与二次函数的交点问题以及轴对称的最短路径问题等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
3．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）
【分析】（1）根据抛物线经过点，与轴相交于，两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；
（2）先确定二次函数对称轴，BC长度，根据题意和翻折的性质，得到B C′长度，利用三角函数求出∠C′BC，再根据角平分线求出∠DBC，解直角三角形可以求得点和点的坐标，本题得以解决．
【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，
∴，得，
即抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；
（2）∵与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点，
∴BC=3﹣（﹣1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x==1，
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，
则点H的坐标为（1，0），
∴BH=2，
∵将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，点C′恰好落在抛物线的对称轴上，
∴BC=BC′=4，∠C′HB=90°，∠C′BD=∠DBC，
∴OC′==2，cos∠C′BH===，
∴C′的坐标为（1，2），∠C′BH=60°，
∴∠DBC=30°，
∵BH=2，∠DBH=30°，
∴OD=BH•tan30°=2×=，
∴点D的坐标为（1，），
由上可得，点C′的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）．

【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．如图，抛物线经过两点，与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点为轴上一点，点关于直线的对称点为．
①当点刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点的坐标；
②点在抛物线上，连接，是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①；②存在，（3，0）或（0，-3）或（ 4，5）或（，−）或（2，-3）．
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）①可知△OBC为等腰直角三角形，求出点D′的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得CD=2，求出D点坐标；②可分别以P、D、D′为直角顶点画图，求出点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线经过两点
∴
解得
所以，抛物线的解析式
（2）①当x=0时，y=x2-2x-3=-3，
∴C（0，-3），
∵B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，∠OCB=45°，
如图1，设D（0，t），
∵点关于直线的对称点为, 连接
∴由对称性可知：
∴轴
∴点的纵坐标为-3
当点在第四象限抛物线上时, 将代入，解得=2 , 或 =0 (舍去)
∴
∴
∴
②分别以P、D、D′为直角顶点画图：
如图2，若以P为直角顶点，此时P与点B重合，则P（3，0），

如图3，以P为直角顶点，此时点P与C重合，则P（0，-3），

如图4以D为直角顶点，此时PC∥x轴，则P（2，-3），

如图5，以D为直角顶点，此时PD′∥y轴，则P（4，5），

如图6，以D′为直角顶点，此时PD∥x轴，则P（，−），

综上可得点P的坐标为（3，0）或（0，-3）或（ 4，5）或（，−）或（2，-3）．
【点评】此题考查二次函数的综合题，利用待定系数法求二次函数，一次函数的解析式，三角形的面积求法，等腰直角三角形的性质，综合性较强，有一定难度．解题关键在于求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
5．已知：如图，抛物线与轴交于点．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)已知点是该抛物线的顶点，求的面积；
(3)若点是线段上的一动点，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）OP的最小值是．
【分析】（1）将点A与点B坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，由此求出的值，从而进一步得出解析式即可；
（2）利用配方法求出抛物线的顶点坐标，然后根据三角形的面积公式进一步计算即可；
（2）根据垂线段最短可知当OP⊥BC时，OP最小，据此进一步利用三角形的面积公式求出OP即可.
【详解】（1）∵抛物线与轴交于点A(，0)与点B(3，0)，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的顶点的坐标为(1，2)．
∴；
（3）当是边上的高时，的值最小，
∵B点坐标为(3，0)，C点坐标为(1，2)，
∴
∵，
∴，
即OP的最小值是．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求解析式以及二次函数图象的性质，熟练掌握相关方法是解题关键.
6．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为，连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点（不与，两点重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为
（1）当为何值时，四边形为平行四边形；
（2）设的面积为，求的最大值．

【答案】（1）当时，四边形为平行四边形；（2）的最大值为．
【分析】（1）对于抛物线解析式，令x＝0求出y的值确定出C的坐标，令y＝0求出x的值，确定出A与B坐标，根据B与C坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，进而表示出E与P坐标，根据抛物线解析式确定出D与F坐标，表示出PF，利用平行四边形的判定方法确定出m的值即可；
（2）先求出OB的长，△BCF面积，列出S关于m的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出S的最大值即可．
【详解】（1）对于抛物线，
顶点
令，得到；
令，得到，即，
解得：或，
则，，，抛物线对称轴为直线；
设直线的函数解析式为，
把，分别代入得：，
解得：，，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
轴，
，，
线段，
连接，由，得到当时，四边形为平行四边形，
由，得到或（不合题意，舍去），
当时，四边形为平行四边形；
（2），
，
，
则当时，取得最大值为．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
7．如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点．与y轴相交于点C
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．

【答案】（1）；（2）的坐标为时，最大值为
【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；
（2）根据待定系数法，先求出直线的函数解析式，设的坐标为，的坐标为，可得PM关于t的二次函数解析式，进而即可求解．
【详解】（1）由题意得：，解得：，
∴这个二次函数的解析式为：；
（2）当时，，
∴为，
∴直线的函数解析式为：，
∵P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，
∴设的坐标为，则的坐标为，
∴，
∵且，
∴当时，取得最大值，且为，
此时的坐标为．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，掌握待定系数法，函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值求法，是解题的关键．
8．已知，如图1，抛物线过三点，顶点为点，连接，点为抛物线对称轴上一点，连接，直线过点两点．
（1）求抛物线及直线的函数解析式；
（2）求的最小值；
（3）求证：∽；
（4）如图2，若点是在抛物线上且位于第一象限内的一动点，请直接写出面积的最大值及此时点的坐标．

【答案】（1），；（2）；（3）详见解析；（4）（4），此时．
【分析】（1）根据A，B坐标用两点式设出抛物线解析式，再把C点坐标代入，求出解析式，然后再根据B，C坐标求出直线的函数解析式即可；
（2）关于抛物线的对称轴对称，则当的值最小时，直线与抛物线的对称轴的交点即为点，此时，根据B，C坐标求出BC长即可；
（3）作轴于点，设抛物线的对称轴与轴交于点，求出CD和AC长，得到，即可证明；
（4）设M点为，则N点为，表示出△MBC的面积，求出最大值即可.
【详解】（1）∵抛物线过，
∴可设抛物线的函数解析式为，
把代入得，，
，
∴抛物线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为；
（2）关于抛物线的对称轴对称，
∴当的值最小时，直线与抛物线的对称轴的交点即为点，
∴此时，
，
∴的最小值是；
（3）如图3，作轴于点，设抛物线的对称轴与轴交于点，

∵抛物线的对称轴为直线，
∴把代入得，
∴，
，，
又，
，
，
∽；
（4）过点M作MN⊥x轴，交CB于点N，
∵M在抛物线上，N在CB上，
∴设M点为，则N点为，
则



则当时，有最大值，
此时．

【点评】本题是对二次函数知识的综合考查，熟练掌握二次函数知识和相似三角形的判定是解决本题的关键.
9．如图，抛物线过，两点，点，关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点．


（1）求抛物线的表达式；
（2）点是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点的坐标；
（3）若点在直线上运动，点在轴上运动，当以点，，为顶点的三角形为等腰直角三角形时称这样的点为“美丽点”，共有多少个“美丽点”？请直接写出当点为“美丽点”时，的面积．
【答案】（1）；（2）P（5，﹣5）；（3）或或17或5
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线表达式即可；
（2）过P点作PD⊥BH交BH于点D，如图1，设点P（m，-m2+4m），BH=AH=3，HD=，PD=m﹣1，根据三角形面积公式，利用得到，然后解方程即可得到P点坐标；
（3）先利用抛物线的对称性确定C（3，3），分以下几种情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形，作适当的辅助线，利用全等三角形和勾股定理求得MC或NC的长，再根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）将点A（4,0）、B（1,3）代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）过点P作PD⊥BH于D，如图1，
设点P（m，）(m﹥4)
则：BH=AH=3，HD=，PD=m﹣1，
∵
=，
整理得：，
解得：（舍去），
∴点P的坐标为（5，﹣5）

(3)∵抛物线的对称性为直线x=2，而点C. B关于抛物线的对称轴对称，
∴点C坐标为（3,3），
以点C. M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分以下情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，
∴∠CMB+∠NMH=90°，
∵∠CBM=∠MHN=90°，
∴∠CBM+∠BCM=90°，
∴∠NMH=∠BCM，
∴△CBM≌△MHN（AAS）
∴BC=MH=2，BM=HN=3−2=1，
∴MC=，
∴；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，过点M作DE⊥y轴，作NE⊥DE于E，CD⊥DE于D，易得Rt△NEM≌Rt△MDC，
MD=NE=BC=2，EM=CD=BM=3+2=5，
∴MC=
∴；

③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，过点N作DE⊥x轴，作ME⊥DE于E，CD⊥DE于D，
易得Rt△NEM≌Rt△CDN，
∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD+BC=EM+BC=3+2=5，
∴NC=
∴；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，过点N作DE⊥x轴，作ME⊥DE于E，CD⊥DE于D，
易得Rt△NEM≌Rt△CDN，
∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD−BC=EM−BC=1，
∴NC=，
∴，
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上所述：△CMN的面积为或或17或5．

【点评】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、勾股定理等知识，题目较难，主要难在第（3）问，解答的关键认真分析，寻找关联信息，适当作辅助线，构造全等三角形，利用分类讨论、数形结合等方法进行推理、论证和计算．
10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c，经过矩形OABC的A(3，0)，C(0，2)，连结OB．D为横轴上一个动点，连结CD，以CD为直径作⊙M，与线段OB有一个异于点O的公共点E，连结DE．过D作DF⊥DE，交⊙M于F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)tan∠FDC的值；
(3)①当点D在移动过程中恰使F点落在抛物线上，求此时点D的坐标；
②连结BF，求点D在线段OA上移动时，BF扫过的面积．

【答案】(1) y=﹣x2+x+2；(2)；(3)①(﹣，0)；②3
【分析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
(2) 连接CE、CF、FO，证明∠FDC=∠ECD=∠EOD=∠BOA，即可求解；
(3) ①如图2，连接FO，则∠FOG=∠FCD，证明∠FOG=∠FCD=∠CDE=∠COE，通过tan∠FOG=tan∠COB=，来确定直线OF的表达式，进而求解；
②如图3，当点D、O重合时，连接CF、BF，由①知tan∠FOG=，设FG=3a，则OG=2a=HC，HF=2﹣GF=2﹣3a，由①同理可得：△CHF∽△FGO，则，求得a的值，根据BF扫过的面积为△BOF的面积，即可求解．
【详解】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线的表达式得： ，
解得：，
故抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
(2)如图1，连接CE、CF、FO，

∵CD是直径，
∴∠CED=90°，即CE⊥DE，
又∵DF⊥DE，
∴∠FDC=∠ECD=∠EOD=∠BOA，
∴tan∠FDC=tan∠BOA=；
(3)①如图2，

连接FO，则∠FOG=∠FCD，
∵CD是直径，
∴∠CFD=90°，
同理∠FDE=90°，
∴FC∥DE，
∴∠FCD=∠CDE=∠COE，
∴∠FOG=∠FCD=∠CDE=∠COE，
∴tan∠FOG=tan∠COE=tan∠COB=，
故直线OF的表达式为：y=﹣x②，
联立①②并解得：，故点F(﹣1，)；
过点F作y轴的平行线GH，交x轴于点G，交过点C与x轴的平行线于点H，
∴FG=，CH=1，HF=2﹣=，
∵∠HFC+∠GFD=90°，∠HFC+∠HCF=90°，
∴∠HCF=∠GFD，
又∠CHF=∠FGD=90°，
∴△CHF∽△FGD，
∴，即，解得：GD=，
∴OD=1﹣=，
故点D的坐标为：(﹣，0)；
②如图3，当点D、O重合时，连接CF、BF，

则BF扫过的面积为△BOF的面积，∠CFO=90°，
过点F作y轴的平行线HG，交x轴于点G，交过点C与x轴的平行线于点H，
由①同理可得：△CHF∽△FGO，则，
由①知tan∠FOG=，设FG=3a，则OG=2a=HC，HF=2﹣GF=2﹣3a，
∴，解得：a=；
在Rt△FOG中，FO=，
同理在Rt△AOB中，OB=，
∵EF是圆的直径，故OF⊥OE，
BF扫过的面积=S△BOF=×BO×FO=，
故BF扫过的面积为3．
【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，圆的综合问题，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，属于压轴题，解此题的关键在于熟练掌握并灵活运用其知识点，根据题意作适当辅助线帮助解题.
11．如图二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中点A(-1，0)，点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点,
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图形，直接写出直线CM在抛物线上方时x的取值范围．

【答案】（1）；（2）15；（3）或．
【分析】（1）将点A、C、D坐标代入，即可求出函数解析式；
（2）根据（1）的函数解析式求出顶点M的坐标，过点M作ME⊥x轴与点E，连接BM，再利用求出结果；
（3）根据函数图象解答即可.
【详解】（1）将点A、C、D坐标代入，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）∵=，
∴顶点M（2,9），
∵对称轴为x=2，A（-1，0），
∴B（5,0），
过点M作ME⊥x轴与点E，连接BM，
∴OE=2，ME=9，BE=OB-OE=5-2=3，
∴
=
=
=15；

（3）根据图象，抛物线与直线CM相交于点C（0,5）、M（2,9），
∴直线CM在抛物线上方时x的取值范围是或.
【点评】此题考查待定系数法求抛物线解析式，把二次函数化为顶点式，函数图象与坐标轴的交点坐标，几何图形与函数图象的结合，求几何图形的面积，利用函数图象判断自变量的取值范围.
12．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

【答案】（1）a=1，k=﹣1；（2）（2，2）；（3）
【解析】试题分析：（1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．
试题解析：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴，解得，
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，
∵AQ=BQ，
∴1+m2=4+（3﹣m）2，
∴m=2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x=2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．


考点：1、二元一次方程组的解法，2、等腰三角形的性质，3、勾股定理，4、二次函数的性质，5、正方形的判定与性质
13．抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线交抛物线于另一点，过点作轴于点，过点作交于点．求证：轴；
（3）如图2，，为抛物线上两点，直线，交轴于点，，，求面积的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）的最小值为1．
【分析】（1）把点，代入解析式构建方程组求解即可；
（2）由题易得，设，则，，然后根据在平面直接坐标系里两条直线平行时，进行求解即可；
（3）设直线的解析式为：，直线的解析式为，直线的解析式为，由题意得，，进而可得，然后把三角形的面积表示出来利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵过，
∴解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）当时，．∴
设，则，，∴，．
∴，，∴，∵，
∴设，则，．
∴．
设直线，
∴，，∴．
由得
∵，∴轴．
（3）设直线的解析式为：，
由得，．
∴，∴．
设直线的解析式为，同理可得：，∴．
设直线的解析式为，
由得．
∴，．
∵，∴，
，，，
∴直线．
不论为何值，当时，，∴直线过点．
∵，，∴轴，，




∴的最小值为1．
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，关键是根据题意得到二次函数的表达式，然后利用一次函数的知识点进行求解问题即可．
14．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）．
（1）求这个抛物线的解析式．
（2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标．
（3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D．连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF．

【答案】（1）y=；（2）（，）；（3）证明见解析
【分析】（1）设抛物线的解析式为，然后将点A的坐标代入即可求出结论；
（2）先求出点B的坐标，过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G，利用AAS证出△AHB≌△BGQ，即可求出点Q的坐标，利用待定系数法求出直线AQ的解析式，然后联立方程组即可求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（m，），利用对称性即可求出点N的坐标，利用待定系数法求出直线AN的解析式，联立方程组即可求出点D的坐标，从而求出直线MD的解析式，从而求出点E、F的坐标，即可证出结论．
【详解】解：（1）由抛物线的顶点坐标C（-2，-1），可设抛物线的解析式为
将点A（-4，0）代入，得

解得：
∴这个抛物线的解析式为=；
（2）将x=-1代入中，解得y=
∴点B的坐标为（-1，）
过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G

∴∠AHB=∠BGQ=∠ABQ=90°
∴∠ABH＋∠GCQ=90°，∠BQG＋∠GCQ=90°
∴∠ABH=∠BQG
∵∠PAB=45°，
∴△ABQ为等腰直角三角形
∴AB=BQ
∴△AHB≌△BGQ
∴QG=BH=，BG=AH=-1－（-4）=3
∴GH=BG－BH=
∴点Q的坐标为（-1＋，）=（，）
设直线AQ的解析式为y=kx＋b
将点A和点Q的坐标分别代入，得

解得：
∴直线AQ的解析式为
联立
解得：或（符合点A的坐标）
∴点P的坐标为（，）；
（3）设点M的坐标为（m，）
∴点N的坐标为（m，）
设直线AN的解析式为y=cx＋d
将点A和点N的坐标分别代入，得

解得：
∴直线AN的解析式为
联立
解得：或（符合点A的坐标）
∴点D的坐标为（，）
设直线MD的解析式为y=ex＋f
将M、D的坐标分别代入，得

解得：
∴直线MD的解析式为y=x＋
将x=0代入y=x＋中，解得y=；将y=0代入y=x＋中，解得x=
∴点E的坐标为（0，），点F的坐标为（，0）
∴OE=OF=
【点评】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、联立方程组求点的坐标是解题关键．
15．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣4，0)和点B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是x=﹣1与x轴交于点D．
（1）求拋物线的函数表达式；
（2）若点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线的对称轴x=﹣1于点E，作PF⊥x轴于点F，得到矩形PEDF，求矩形PEDF周长的最大值；
（3）点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点，是否存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+8；（2）当m=﹣时，矩形PEDF的周长有最大值是；（3）存在，点Q (﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式求b的值，然后将A点坐标代入解析式求c的值，从而求解；
（2）设P点坐标为(m，n)，由题意n═﹣m2﹣2m+8，从而表示出矩形周长的函数关系式，然后利用二次函数的性质求最值；
（3）设Q(﹣1，y)，结合图形用勾股定理分别表示出QB2 =9+y2，QC2=1+(y﹣8)2，BC2=68，然后分∠QCB=90°，∠QBC=90°，∠BQC=90°三种情况列方程求解，从而确定点Q坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴是x=﹣1，
∴﹣=﹣1，b=﹣2，
∴y=﹣x2﹣2x+c，
把A(﹣4，0)代入得：﹣16+8+c=0，∴c=8，
∴拋物线的函数表达式为：y=﹣x2﹣2x+8；
（2）∵点P(m，n)为抛物线上一点，且﹣4＜m＜﹣1，如图1，
，
∴n═﹣m2﹣2m+8．
∵四边形PEDF是矩形，
∴矩形PEDF的周长=2PE+2PF
=2(﹣1﹣m)+2(﹣m2﹣2m+8)
=﹣2m2﹣6m+14
=﹣2(m+)2+．
∵﹣2＜0，∴当m=﹣时，矩形PEDF的周长有最大值是；
（3）存在点Q，使以点Q，B，C为顶点的三角形是直角三角形．
∵点Q为抛物线对称轴x=﹣1上一点，∴设Q(﹣1，y)，
由对称得：B(2，0)．
∵C(0，8)，
∴QB2=(2+1)2+y2=9+y2，QC2=(﹣1)2+(y﹣8)2=1+(y﹣8)2，BC2=22+82=4+64=68，
分三种情况：
①当∠QCB=90°时，QB是斜边，∴QB2=QC2+BC2，∴9+y2=1+(y﹣8)2+68
解得：y=，
∴Q(﹣1，)；
②当∠QBC=90°时，QC是斜边．
∵QC2=BC2+QB2，∴1+(y﹣8)2=68+9+y2，
解得：y=﹣，
∴Q(﹣1，﹣)；
③当∠BQC=90°时，BC是斜边．
∵BC2=BQ2+QC2，∴68=1+(y﹣8)2+9+y2，
解得：y=4±，∴Q(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)；
综上，点Q的坐标是(﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，4+)或(﹣1，4﹣)．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．