专题01 三角形问题-2022年中考数学必考的十五种类型大题夺分技巧再训练

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专题01 三角形问题
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，
求证：CE＝DB．

【答案】见解析。
【解析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得结论．
证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
2．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．

【答案】见解析。
【分析】（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
∵AB=CD∠B=∠CBF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
3．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

【答案】见解析。
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO，
∴△BOC是等腰三角形．
4．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE．
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

【答案】见解析。
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，
∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，
∴AE=AC2+CE2=25+144=13．
5．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．

【答案】见解析。
【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BED与△CFD中，
∠BED=∠CFD∠B=∠CBD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
6．问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求AB+CDBC的值．

【答案】见解析。
【分析】（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论；
（2）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2DF，即可求解．
【解答】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC，
又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，
∴△BAP≌△CPD（AAS），
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP+PC＝AB+CD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，

由（1）可知，EF＝AE+DF，
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，
∴BE＝AE，CF＝DF，AB=2AE，CD=2DF，
∴BC＝BE+EF+CF＝2（AE+DF），
∴AB+CDBC=2(AE+DF)2(AE+DF)=22．
7．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D、点E在边BC上，BD＝CE，连接AD、AE．
（1）如图1，求证：AD＝AE；
（2）如图2，当∠DAE＝∠C＝45°时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．

【答案】见解析。
【分析】（1）根据SAS可证△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）根据等腰三角形的判定即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∵∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠B=∠CBD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
（2）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵BF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝45°，
∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，
∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，
∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF．
8．若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．
（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．
求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．

【答案】见解析。
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，可证BC∥AE，AC∥BE，可得四边形BEAC是平行四边形；
（2）①由“SAS”可证△AEB≌△ADC，可得BE＝CD；
②延长FG至点H，使GH＝FG，由“SAS”可证△EGH≌△CGF，可得∠BFC＝∠H，CF＝EH，可得EH＝BE，由等腰三角形的性质可得结论．
【解析】（1）四边形BEAC是平行四边形，
理由如下：
∵△AED为等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中点，
∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，
∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，
∴BC∥AE，AC∥BE，
∴四边形BEAC是平行四边形；
（2）①∵△ABC和△AED均为等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD；
②延长FG至点H，使GH＝FG，

∵G是EC的中点，
∴EG＝DG，
又∵∠EGH＝∠FGC，
∴△EGH≌△CGF（SAS），
∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，
∵CF＝CD，CD＝BE，
∴EH＝BE，
∴∠H＝∠EBG，
∴∠EBG＝∠BFC．
9．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？　 　．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．

【答案】见解析。
【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．
（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF，推出EF＝FD，再证明FD＝FC即可解决问题．
（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】（1）如图（2）中，

∵∠EDC＝90°，EF＝CF，
∴DF＝CF，
∴∠FCD＝∠FDC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵BA＝BD，
∴∠A＝∠ADB，
∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，
∴∠ADB+∠FDC＝90°，
∴∠FDB＝90°，
∴BD⊥DF．
故答案为是．
（2）结论成立：
理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠BDC，
∴∠A＝∠EDF，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，
∴∠A＝∠E，
∴∠E＝∠EDF，
∴EF＝FD，
∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC，
∴EF＝FC，
∴点F是EC的中点．
（3）如图3中，取EC的中点G，连接GD．则GD⊥BD．

∴DG=12EC=92，
∵BD＝AB＝6，
在Rt△BDG中，BG=DG2+BD2=(92)2+62=152，
∴CB=152-92=3，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=62+32=35，
∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，
∴△ABC∽△EDC，
∴ACEC=BCCD，
∴359=3CD，
∴CD=955，
∴AD＝AC+CD＝35+955=2455．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
（1）求证：DC平分∠ADE；
（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．

【答案】见解析。
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可．
（2）结论：AB⊥BE．证明C，E，B，D四点共圆即可解决问题．
（3）设BC交DE于O．连接AO．想办法证明△ACO是等腰直角三角形，OA＝OB即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE．
（2）解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，
∴D，C，E，B四点共圆，
∴∠DCE+∠DBE＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∴BE⊥AB．
（3）如图，设BC交DE于O．连接AO．
∵BD＝BE，∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝∠BDE＝45°，
∵C，E，B，D四点共圆，
∴∠DCO＝∠DEB＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠OCD，
∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，
∴△ACD∽△OCD（ASA），
∴AC＝OC，
∴∠AOC＝∠CAO＝45°，
∵∠ADO＝135°，
∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，
∴∠ABC＝22.5°，
∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，
∴OA＝OB，设AC＝OC＝m，则AO＝OB=2m，
∴tan∠ABC=ACCB=mm+2m=2-1．

11．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．

【答案】见解析。
【分析】（1）①证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论；
②根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
【解答】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
同理∠EDF＝60°，
∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠DMB＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，
∴BMBC=BDAB=12，
即M是BC的中点，
∵EP＝CE，即E是PC的中点，
∴ED∥BP，
∴∠CBP＝∠DMB＝90°，
∴△CBP是直角三角形，
∴BE=12PC＝EP；
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，
∴BC∥EF，
由①知：∠CBP＝90°，
∴BP⊥EF，
∵EB＝EP，
∴EF是线段BP的垂直平分线，
∴PF＝BF，
∴∠PFE＝∠BFE＝30°；
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，

∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，
∴△QEP≌△DEC（SAS），
则PQ＝DC＝DB，
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线，
∴QF＝DF，
∵CD＝AD，
∴∠CDA＝∠A＝60°，
∴∠CDB＝120°，
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，
∴△FQP≌△FDB（SAS），
∴∠QFP＝∠BFD，
∵EF是DQ的垂直平分线，
∴∠QFE＝∠EFD＝30°，
∴∠QFP+∠EFP＝30°，
∴∠BFD+∠EFP＝30°．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的中线，点E为线段CD上一点（不与点C、D重合），连接BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．
（1）求证：△CFG∽△EBG；
（2）求∠EFB的度数；
（3）求的值．

【解答】（1）见解析；（2）∠EFB＝45°；（3）
【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥BE，
∴∠FCG＝∠BEG＝90°，
又∵∠CGF＝∠EGB，
∴△CFG∽△EBG；
（2）由（1）得△CFG∽△EBG，
∴，
∴，
又∵∠CGE＝∠FGB，
∴△CGE∽△FGB，
∴∠EFB＝∠ECG＝∠ACB＝45°；
（3）过点F作FH⊥CD交DC的延长线于点H，

由（2）知，△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BE，
∵∠FEH+∠DEB＝90°，∠EBD+∠DEB＝90°，
∴∠FEH＝∠EBD，
在△FEH和△EBD中，
，
∴△FEH≌△EBD（AAS），
∴FH＝ED，
∵∠FCH＝∠ACD＝45°，∠CHF＝90°，
∴∠CFH＝∠CFH＝45°，
∴CH＝FH，
在Rt△CFH中，，
∴CF＝DE，
∴．
13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，OC、OB的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＜OB．
（1）求点A的坐标；
（2）点D在线段AB上，由点A向B运动（点D不与A，B重合）过点D的直线l与y轴平行，直线l交边AC或边BC于点P，设点D的横坐标为t，线段DP的长为d，求d关于t的函数解析式；
（3）如图，在x轴上是否存在点E使得△ACE为等腰三角形？若存在，请直接写出E点的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】（1）A（﹣1，0）；（2）；（3）E点的坐标为（﹣﹣1，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（，0）
【解析】（1）解方程x2﹣6x+8＝0，
得x1＝2，x2＝4，
∵OC、OB的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，OC＜OB，
∴OC＝2，OB＝4，
∵∠ACB＝∠AOC＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝∠ACO+∠CAO，
∴∠CAO＝∠BCO，又∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴，即，
解得，OA＝1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
（2）由（1）可知，C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），
设直线AC解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线AC解析式为y＝2x+2，
同理可求得直线BC解析式为y＝x+2，
当点D在线段OA上时，即﹣1＜t≤0时，则点P在直线AC上，
∴P点坐标为（t，2t+2），
∴d＝2t+2；
当点D在线段OB上时，即0＜t＜4时，则点P在直线BC上，
∴P点坐标为（t，t+2），
∴d＝t+2；
综上可知d关于t的函数关系式为；
（3）由勾股定理得，，
当AC＝AE＝，点E在点A的左侧时，E点的坐标为（﹣1，0），
当AC＝AE＝，点E在点A的右侧时，E点的坐标为（﹣1，0），
当CA＝CE时，∵CO⊥AE，
∴OE＝OA＝1，
∴E点的坐标为（1，0），
当EA＝EC时，如图，OE＝EA﹣OA＝EC﹣1，
在Rt△COE中，EC2＝OE2+OC2，即EC2＝（EC﹣1）2+22，
解得，EC＝，
∴OE＝﹣1＝，
∴E点的坐标为（，0），
综上所述，△ACE为等腰三角形时，E点的坐标为（﹣﹣1，0）或（﹣1，0）或（1，0）或（，0）．

14．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，连结BD、CD，BD交直线AC于点E．
（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．
（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，
①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当时，请直接写出线段AE的长．

【解答】（1）AE＝；（2）①y＝（0＜x＜2）；②AE的长为1或
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．
∵AD＝AC，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，
∴∠EBC＝45°．
过点E作EG⊥BC，垂足为点G．

设AE＝x，则EC＝2﹣x．
在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，
∴EG＝EC•sin∠ACB＝（2﹣x），CG＝EC•cos∠ACB＝1﹣x，
∴BG＝2﹣CG＝1+ x，
在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，
∴，
解得x＝．
∴线段AE的长是．
（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴∠CAF＝∠DAC＝60°﹣α，
又∵∠AEF＝60°+α，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFE＝∠ACB，
又∵∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
由（1）得在Rt△CGE中，BG＝，
∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，
∴y＝（0＜x＜2）．
②当∠CAD＜120°时，

y＝，则有，
整理得3x2+x﹣2＝0，
解得x＝或﹣1（舍去），
∴AE＝．
当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝，

当y＝时，，
整理得3x2﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣（舍去）或1，
∴AE＝1．
综合以上可得AE的长为1或．