专题2.4 特殊的平行四边形学习质量检测卷-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试专题复习（人教版） (2)

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专题2.4特殊的平行四边形学习质量检测卷
班级：_________ 姓名：______________ 座号：__________ 分数：___________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间60分钟，试题共28题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级、座号填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（　　）
A．对角线互相平分且垂直的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的平行四边形
【分析】利用菱形的判定方法对各个选项一一进行判断即可．
【解析】A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，不符合题意；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形．不符合题意；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，对角线相等的平行四边形不是菱形，不符合题意；
故选：A．
2．如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（　　）

A．仅甲正确 B．仅乙正确
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【分析】首先证明△AOE≌△COF（ASA），可得AE＝CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB＝AF，所以四边形ABEF是菱形．
【解析】甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠BCAAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；

乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，
∴AF＝BE
∵AF∥BE，且AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．

3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【解析】∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当∠ABO＝∠CBO时，
由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，
∴∠ABO＝∠ADO，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
故选：B．
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC
【分析】本题考查的是矩形的判定，平行四边形的性质有关知识，利用矩形的判定，平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．
【解析】A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；
D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD
【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．
【解析】需要添加的条件是AC＝BD；理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
6．如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①只要证明OC＝OE，OC＝OF即可．
②首先证明∠ECF＝90°，若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，
③利用勾股定理可得EF＝13，推出OC＝6.5，故③错误．
④根据矩形的判定方法即可证明．
【解析】∵MN∥CB，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF
∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴OC＝OE＝OF，故①正确，
∵∠BCD＝180°，
∴∠ECF＝90°，
若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，
∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，
∴EF=122+52=13，
∴OC=12EF＝6.5，故③错误，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
故选：C．
7．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）

A．OM=12AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND
【分析】由平行四边形的性质可知：OA＝OC，OB＝OD，再证明OM＝ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM=12AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：A．
8．下列结论中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半
【分析】由菱形和矩形的判定得出A、B正确，由等腰梯形的判定得出C不正确，由对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，得出D正确，即可得出结论．
【解析】A．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴A正确；
B．∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴B正确；
C．∵一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，
∴C不正确；
D．∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，
∴D正确；
故选：C．
9．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是（　　）

A．21 B．18 C．13 D．15
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．
【解析】∵CD⊥AB，F为BC的中点，
∴DF=12BC=12×8＝4，
∵BE⊥AC，F为BC的中点，
∴EF=12BC=12×8＝4，
∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝5+4+4＝13．
故选：C．
10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（　　）

A．80° B．70° C．65° D．60°
【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF＝∠DCF，四条边都相等可得BC＝DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角求出∠ABF＝∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF＝∠CBF．
【解析】如图，连接BF，
在菱形ABCD中，∠BAC=12∠BAD=12×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF，BC＝DC，
∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣80°＝100°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝100°﹣40°＝60°，
∵在△BCF和△DCF中，BC=DC∠BCF=∠DCFCF=CF，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝60°，
故选：D．

11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（　　）

A．23-2 B．25-2 C．3-1 D．5-1
【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出CN．
【解析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，
则BG＝GC，AB∥MG∥CD，
∴AM＝MN，
∵MH⊥CD，∠D＝90°，
∴MH∥AD，
∴NH＝HD，
∵△MBC是等边三角形，
∴MC＝BC＝2，
由题意得，∠MCD＝30°，
∴MH=12MC＝1，CH=3，
DH＝CD﹣CH＝2-3，HN＝DH＝2-3
CN＝CH﹣HN=3-（2-3）＝23-2
故选：A．

12．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　）

A．14cm2 B．n-14cm2 C．n4cm2 D．（14）ncm2
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n﹣1阴影部分的和．
【解析】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的14，即是14，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为14×（n﹣1）=n-14cm2．
故选：B．
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
13．如图，在正方形ABCD的内侧，作等边△DCE，则∠BAE的度数是　15　°．

【分析】由正方形和等边三角形的性质得出∠ADE＝30°，AD＝DE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠DAE的度数，即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵△DCE是等边三角形，
∴DE＝DC，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣60°＝30°，AD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA=12（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BAE＝90°﹣∠DAE＝15°；
故答案为：15．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于　21　．

【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝2，利用勾股定理解答即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，
∴AE＝CE＝5，
∵AD＝3，
∴DE＝2，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=CE2-ED2=52-22=21，
故答案为：21
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，连接OE，则OE长为　7　．

【分析】由菱形的性质可得∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，由直角三角形的性质可求OB＝1，AO＝OC=3，由勾股定理可求OE的长．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝90°．OB＝OD，AO＝CO，
∵AB＝2，
∴OB＝1，AO＝OC=3，
∴DB＝2，
∵CE∥DB，
∴四边形DBEC是平行四边形．
∴CE＝DB＝2，∠ACE＝90°，
∴OE=OC2+CE2=4+3=7，
故答案为：7．
16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件判定▱ABCD是菱形，所添条件为　AB＝AD　（写出一个即可）

【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．
【解析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AB＝AD（AD＝CD，BC＝CD，AB＝BC）
也可添加∠1＝∠2，根据平行四边形的性质，可求AD＝CD．
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则可添加条件为：AC⊥BD．
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）
17．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为　30　．

【分析】连接AM．在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．
【解析】如图，连接AM．
∵直线MN垂直平分AC，
∴MA＝MC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵DM＝2，MA＝3，
∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，
∴AC=AD2+CD2=5+52=30；
故答案为：30．

18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为　125　．

【解答】
连接PO，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OD，
由勾股定理得：AC=AB2+BC2=32+42=5，
∴OA＝OD=12AC=52，
∵S△AOD=12OA×PE+12OD×PF＝125．
∴12×52×（PE+PF）=14×4×3，
∴PE+PF=125
故答案是：125．

19．如图，直线L1、L2、L3分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C，且相互平行，若L1、L2的距离为1，L2、L3的距离为2，则正方形的边长为　　．

【分析】过D作EF⊥L2于D，交L1于E，交L3于F，再利用全等三角形的判定和勾股定理求解．
【解析】如图，过D作EF⊥L2于D，交L1于E，交L3于F，
∵L1∥L2∥L3，
∴EF⊥L1，EF⊥L3，
∴由同角的余角相等得，∠CDF＝∠DAE，
又∵AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴ED＝CF＝1，AE＝DF＝2，
∴AD=AE2+ED2=22+12=5
故答案为：5．

20．我们做个折纸游戏：第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展开；第二步：如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展开；第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把它折到图（3）中所示的AD处；第四步：如图（4），展平纸片，按照所得的D点折出DE，则矩形BCDE的宽CD与长BC的比是　　．


【分析】设正方形的边长为2a，由折叠的性质，可得AC＝正方形的边长×12=a，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB与正方形的边长之间的关系，再求出CD=5a﹣a，即可求解．
【解答】证明：在正方形BCNM中，取NC＝2a＝BC，
∵A为NC的中点，
∴AC=12NC＝a．
在Rt△ABC中，AB=5a．
又∵AD＝AB，
∴CD＝AD﹣AC＝（5-1）a．
∴矩形BCDE的宽CD与长BC的比=5-12
故答案为：5-12
三．解答题（共8小题，共40分）
21．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．
求证：（1）△ABF≌△DAE；
（2）DE＝BF+EF．

【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BOA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴∠BPA＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠AED，
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE（ASA）；
（2）∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF，
∵AF＝AE+EF＝BF+EF，
∴DE＝BF+EF
22．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的角平分线与AB相交于点F，与CB的延长线相交于点E连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形．
（2）若四边形ABCD是菱形，DC＝10，则菱形AEBD的面积是　503　．（直接填空，不必证明）

【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BED＝∠BDE，可得BE＝BD，即可证四边形AEBD是平行四边形，且DB＝DA，可得结论；
（2）由菱形的性质可得AD＝AB＝10＝DB，AB⊥DE，由等边三角形的性质和直角三角形性质可得AF＝5，DF＝53，即可求菱形AEBD的面积．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠DEB，
∵DE平分∠ADB
∴∠ADE＝∠BDE
∴∠BED＝∠BDE
∴BE＝BD，且BD＝DA
∴AD＝BE，且AD∥BE
∴四边形ADBE是平行四边形
且AD＝BD
∴四边形AEBD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD＝CD＝10，且AD＝BD
∴△ABD是等边三角形
∴∠BAD＝60°
∵四边形AEBD是菱形
∴AF＝BF，AB⊥DE，EF＝DF，
∴∠ADF＝30°
∴AF＝5，DF＝53
∴DE＝103
∴菱形AEBD的面积=12×10×103=503
故答案为：503
23．如图，▱ABCD中，点E在BC延长线上，EC＝BC，连接DE，AC，AC⊥AD于点A．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BD，交AC于点F．若AC＝2AD，猜想∠E与∠BDE的数量关系，并证明你的猜想．

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，EC＝BC，易证得四边形ACED是平行四边形，又由AC⊥AD，即可证得四边形ACED是矩形；
（2）根据矩形的性质得∠E＝∠DAC＝90°，可证得DA＝AF，由等腰三角形的性质可得∠ADF＝45°，则∠BDE＝45°，可得出∠BDE=12∠E．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵EC＝BC，
∴AD＝EC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∴四边形ACED是矩形；
（2）∠BDE=12∠E，证明如下：
∵▱ABCD中，AC＝2AF，AC＝2AD，
∴AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠E＝∠DAC＝90°，
∴∠ADB＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠BDE＝45°，
即∠BDE=12∠E．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积．

【分析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA＝90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；
（2）根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．
【解析】（1）四边形AEBO是矩形．
证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形．
（2）∵菱形ABCD，
∴OA＝8，
∵OE＝10，
∴AE＝6，
∴OB＝6，
∴△ABC的面积=12AC⋅OB=12×16×6=48，
∴菱形ABCD的面积＝2△ABC的面积＝96．
25．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．

【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；
（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解析】（1）在菱形ABCD中，OC=12AC，AC⊥BD．
又∵DE=12AC，
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，AO＝4．
∴在矩形OCED中，CE＝OD=AD2-AO2=43．
又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AE=AC2+CE2=82+(43)2=47．

26．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
【解析】（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；

（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即82+t2=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；

（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
27．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝22，求正方形ADCE周长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠CAD=12∠BAC，根据等式的性质，可得∠CAD+∠CAE=12（∠BAC+∠CAM）＝90°，根据垂线的定义，可得∠ADC＝∠CEA，根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得AD的长，根据正方形周长公式，可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD=12∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE=12∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE=12（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD=12∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
AD2+CD2=AB，AD＝CD，
即2AD＝22，
AD＝2，
正方形ADCE周长4AD＝4×2＝8．
28．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
（1）四边形EFGH的形状是　平行四边形　，证明你的结论．
（2）当四边形ABCD的对角线满足　AC⊥BD　条件时，四边形EFGH是矩形．
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？　矩形　．

【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG═12BD，推出，EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；
（3）根据三角形的中位线定理和矩形的性质得出EF＝FG＝GH＝EH即可得出结论．
【解析】（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图1，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=12BD，
同理FG∥BD，FG=12BD，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图2，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
故答案为：AC⊥BD；
（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：
如图3，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH=12BD，FG=12BD，EF=12AC，GH=12AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．