专题2.3 平行四边形的性质与判定学习质量检测卷-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试专题复习（人教版）

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专题2.3平行四边形的性质与判定学习质量检测卷
班级：_________ 姓名：______________ 座号：__________ 分数：___________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间60分钟，试题共28题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级、座号填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E，且BE＝4，CE＝3，则AB的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．2.5
【分析】根据平行四边形的性质可证明△BEC是直角三角形，利用勾股定理可求出BC的长，利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠ABE＝∠AEB，∠DEC＝∠DCE，进而利用平行四边形对边相等进而得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC、∠BCD的角平分线的交点E落在AD边上，
∴∠BEC=12×180°＝90°，
∵BE＝4，CE＝3，
∴BC=42+32=5，
∵∠ABE＝∠EBC，∠AEB＝∠EBC，∠DCE＝∠ECB，∠DEC＝∠ECB，
∴∠ABE＝∠AEB，∠DEC＝∠DCE，
∴AB＝AE，DE＝DC，即AE＝ED=12AD=12BC＝2.5，
由题意可得：AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝AE＝2.5．
故选：D．
2．下列结论正确的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对边平行且相等
D．平行四边形的对角互补，邻角相等
【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．
【解析】A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A错误；
B、平行四边形的对角线不相等，故B错误；
C、平行四边形的对边平行且相等，故C正确；
D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D错误．
故选：C．
3．如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（　　）

A．12 B．15 C．18 D．21
【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE=12BC，所以易求△DOE的周长．
【解析】∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）＝36，则BC+CD＝18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，
∴OD＝OB=12BD＝6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE=12CD，
∴OE=12BC，
∴△DOE的周长＝OD+OE+DE=12BD+12（BC+CD）＝6+9＝15，
故选：B．
4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　）

A．2＜OA＜10 B．1＜OA＜5 C．4＜OA＜6 D．2＜OA＜8
【分析】由AB＝4，BC＝6，利用三角形的三边关系，即可求得2＜AC＜10，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得OA的取值范围．
【解析】∵AB＝4，BC＝6，
∴2＜AC＜10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=12AC，
∴1＜OA＜5，
故选：B．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（　　）

A．22 B．16 C．18 D．20
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC，AB＝8，OA＝6，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，
∴OA=12AC＝6，BD＝2OB，
∵AB⊥AC，AB＝8，
∴OB=82+62=10，
∴BD＝2OB＝20．
故选：D．
6．如图▱ABCD的对角线交于点O，∠ACD＝70°，BE⊥AC，则∠ABE的度数为（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】由平行四边的性质可知AB∥CD，则结合已知条件可求出∠AEB的度数，进而可求出∠ABE的度数．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠AEB＝70°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论，其中正确的有（　　）个
①DE＝DF；
②AG＝GF：
③AF＝DF：
④BG＝GC；
⑤BF＝EF，

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF＝DF，BF＝EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，即AB∥CE，
∴∠ABF＝∠E，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE，
在△ABF和△DEF中，
∵∠ABF=∠E∠AFB=∠DFEAB=DE，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴AF＝DF，BF＝EF；
可得③⑤正确，
故选：B．
8．平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得到四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）
A．BE＝DF B．AF∥CE C．AE＝CF D．∠BAE＝∠DCF
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解析】如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若AE＝CF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；
故选：C．

9．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）

A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DCF C．AF∥CE D．AE＝CF
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE＝OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解析】在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A，故本选项不符合题意；
C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D、若AE＝CF，则无法判断OE＝OF，故本选项符合题意；
故选：D．

10．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）

A．2 B．5 C．7 D．9
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．
【解析】连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF=12DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB=AD2+BD2=52+122=13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．

11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO=12BD，AO＝CO，AB∥CD
∵BD＝2AD
∴BO＝DO＝AD＝BC，且点E是AC中点
∴BE⊥AC，
∴①正确
∵E、F、分别是OC、OD中点
∴EF∥DC，CD＝2EF
∵G是AB中点，BE⊥AC
∴AB＝2BG＝2GE，且CD＝AB，CD∥AB
∴BG＝EF＝GE，EF∥CD∥AB
∴四边形BGFE是平行四边形，
∴②④正确，
∵四边形BGFE是平行四边形，
∴BG＝EF，GF＝BE，且GE＝GE
∴△BGE≌△FEG（SSS）
∴③正确
故选：D．
12．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（　　）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

A．2 B．3 C．3或5 D．4或5
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC
∠ADB＝∠FBM
∴BF＝DF＝12cm
∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，
∵点E是BC的中点
∴EC=12BC＝9cm，
∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形
∴PF＝EQ
∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9
∴t＝3或5
故选：C．
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
13．已知四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件：①AD＝BC，②AB＝DC，③∠A＝∠C，④∠A+∠D＝180°其中能使四边形ABCD成为平行四边形的有　①③④　（填写序号）
【分析】利用反推法，假如四边形ABCD是平行四边形且AD∥BC，看推出什么结论，那么结论就是要添加的条件，对照选项找出即可．
【解析】因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．故能使四边形成为平行四边形的条件的序号有：①③④，
故答案为：①③④．
14．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1200m，则隧道AB的长度为　2400　米．

【分析】由D为AC的中点、E为BC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，根据DE的长度结合三角形中位线定理即可得出AB的长度．
【解析】∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∵DE为△ABC的中位线，
又∵DE＝1200m，
∴AB＝2DE＝2400m．
故答案是：2400．
15．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是　120°　．

【分析】根据三角形中位线定理得到PF=12BC，PE=12AD，根据题意得到PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴PF=12BC，PE=12AD，又AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝30°，
∴∠EPF＝120°，
故答案为：120°．
16．如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是　14　．

【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．
【解析】∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG=12BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH=12BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH=12AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为：14
17．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm；，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，则DE+DF的长度为　4cm　．

【分析】利用平行四边形的性质得出AD∥BC，进而得出∠AEB＝∠CBF，再利用角平分线的性质得出∠ABF＝∠CBF，进而得出∠AEB＝∠ABF，即可得出AB＝AE，同理可得：BC＝CF，即可得出答案．
【解析】∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AEB＝∠ABF，
∴AB＝AE，
同理可得：BC＝CF，
∵AB＝3cm，BC＝5cm，
∴AE＝3cm．CF＝5cm，
∴DE＝5﹣3＝2cm，DF＝5﹣3＝2cm，
∴DE+DF＝2+2＝4cm，
故答案为：4cm．
18．如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O，点A的坐标为（﹣3，2），点B的坐标为（﹣1，﹣2），则点C的坐标为　（3，﹣2）　．

【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（3，﹣2）．
【解析】∵平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O，
∴A点与C点关于原点对称，
∴C点坐标为（3，﹣2）．
故答案为：（3，﹣2）．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在线段BC上一动点，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，则DE的最小值是　6　．

【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【解析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=12AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故答案为：6．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为　2秒或3.5秒　．

【分析】由AD∥BC，则PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9﹣3t＝5﹣t，解方程即可，
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t﹣9＝5﹣t，解方程即可．
【解析】∵E是BC的中点，
∴BE＝CE=12BC＝9，
∵AD∥BC，
∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，
则得：9﹣3t＝5﹣t，
解得：t＝2，
②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，
则得：3t﹣9＝5﹣t，
解得：t＝3.5；
∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：2秒或3.5秒．

三．解答题（共8小题，共46分）
21．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．
（1）求证：AC＝ED；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠B＝∠DAE，由SAS可证△ABC≌△EAD，可得AC＝ED；
（2）通过证明△ABE为等边三角形，可得∠BAE＝60°，由全等三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠B＝∠DAE，
∵在△ABC和△AED中，
AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，
∴△ABC≌△EAD（SAS）
∴AC＝ED；
（2）∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC＝85°．
22．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD＝BE；
（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE＝∠E．得出AB＝BE，即可得出结论；
（2）同（1）证出DA＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB．
∴∠DAE＝∠E．
∴∠BAE＝∠E．
∴AB＝BE．
∴CD＝BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF＝∠DFA．
∴∠DAF＝∠DFA．
∴DA＝DF．
∵F为DC的中点，AB＝4，
∴DF＝CF＝DA＝2．
∵DG⊥AE，DG＝1，
∴AG＝GF．
∴AG=3．
∴AF＝2AG＝23．
在△ADF和△ECF中，∠DAF=∠E∠ADF=∠ECFDF=CF，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF＝EF，
∴AE＝2AF＝43．
23．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，连接AF、CE．
求证：AF＝CE．

【分析】先依据ASA判定△ADE≌△CBF，即可得出AE＝CF，AE∥CF，进而判定四边形AECF是平行四边形，即可得到AF＝CE．
【解答】证明：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，
∴∠DAE＝∠BCF＝90°，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
又∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝CE．
24．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD＝BF．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）以AD为边作等边三角形△ADE，点D在线段BC上的何处时，四边形CDEF是平行四边形．

【分析】（1）直接利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BCF＝∠DAC，AD＝CF，求出DE＝CF，求出∠BDE＝∠BCF，推出DE∥CF，根据平行四边形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACD＝60°，AC＝BC，
在△ACD和△CBF中
AC=BC∠ACD=∠BCD=BF，
∴△ACD≌△CBF（SAS）；

（2）解：D在线段BC上任意位置（但D，C不重合），四边形CDEF是平行四边形，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠BCF＝∠DAC，AD＝CF，
∵AD＝DE，
∴DE＝CF，
∵∠ACD＝∠ADE＝60°，∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝∠ACD+∠DAC，
∴60°+∠DAC＝60°+∠BDE，
∴∠DAC＝∠BDE，
∵∠BCF＝∠DAC，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴DE∥CF，
∵DE＝CF，
∴四边形CDEF的形状是平行四边形．
25．如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形
（2）已知DE＝8，FN＝6，求BN的长．

【分析】（1）欲证明四边形AMCN是平行四边形，只要证明CM∥AN，AM∥CN即可；
（2）首先证明△MDE≌△NBF，推出ME＝NF＝1，在Rt△DME中，根据勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AM∥CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CM∥AN
∴四边形CMAN是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE与△CBF中，∠ADE＝∠CBF，∠AED＝∠CFB，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
∴DE＝BF＝8，
∵FN＝6，
∴BN=82+62=10．
26．已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB＝∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E＝∠F，∠EAM＝∠FCN，从而利用ASA可作出证明；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BM＝DN，BM∥DN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，
∴∠EAM＝∠FCN，
又∵AD∥BC，
∴∠E＝∠F．
∵在△AEM与△CFN中，
∠EAM=∠FCNAE=CF∠E=∠F，
∴△AEM≌△CFN（ASA）；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD
又由（1）得AM＝CN，
∴BM＝DN，BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，E为BD中点，延长CD到点F，使DF＝CD．
（1）求证：AE＝CE；
（2）求证：四边形ABDF为平行四边形；
（3）若CD＝1，AF＝2，∠BEC＝2∠F，求四边形ABDF的面积．

【分析】（1）由AAS证明△ADE≌△CBE，即可得出AE＝CE；
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AB＝CD，证出AB＝DF，即可得出四边形ABDF为平行四边形；
（3）由平行四边形的性质得出∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，证出∠DBA＝∠BAC，得出AE＝BE＝DE，证出∠BAD＝90°，由勾股定理求出AD=BD2-AB2=3，即可得出四边形ABDF的面积．
【解答】（1）证明：∵AD∥CB，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵E为BD中点，
∴DE＝BE，
在△ADE和△CBE中，∠DAC=∠BCA∠AED=∠CEBDE=BE，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝CE；
（2）证明：由（1）得：AE＝CE，BE＝DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵DF＝CD，
∴AB∥DF，AB＝DF，
∴四边形ABDF为平行四边形；
（3）解：∵四边形ABDF为平行四边形，
∴∠F＝∠DBA，BD＝AF＝2，AB＝DF，
∵∠BEC＝2∠F，∠BEC＝∠DBA+∠BAC，
∴∠DBA＝∠BAC，
∴AE＝BE＝DE，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝CD＝1，
∴AD=BD2-AB2=3，
∵DF＝AB＝1，
∴四边形ABDF的面积＝DF×AD=3．
28．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b=a-21+21-a+16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．

【分析】（1）根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；
（2）由题意得：QP＝2t，QO＝t，PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，根据平行四边形的判定可得21﹣2t＝16﹣t，再解方程即可；
（3）①当PQ＝CQ时，122+t2＝（16﹣t）2，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ＝PC时，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，进而得到方程t＝16﹣2t，再解方程即可．
【解析】（1）∵b=a-21+21-a+16，
∴a＝21，b＝16，
故B（21，12）C（16，0）；
（2）由题意得：AP＝2t，QO＝t，
则：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，
∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21﹣2t＝16﹣t，
解得：t＝5，
∴P（10，12）Q（5，0）；
（3）当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB，
由题意得：122+t2＝（16﹣t）2，
解得：t=72，
故P（7，12），Q（72，0），
当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，
由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，
则t＝16﹣2t，
解得：t=163，2t=323，
故P（323，12），Q（163，0）．