2022年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷(word版含答案)

这是一份2022年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷(word版含答案)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）2021的倒数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．12021 D．−12021
2．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．2a+4b＝8ab D．（a2）3＝a6
4．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠FAE等于（　　）

A．105° B．75° C．40° D．20°
6．（3分）九年级（1）班15名男同学进行引体向上测试，每人只测一次，测试结果统计如下：
引体向上数/个
0
1
2
3
4
5
6
7
8
人数
1
1
2
1
3
3
2
1
1
这15名男同学引体向上数的中位数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　）
A．14 B．10 C．3 D．2
8．（3分）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（　　）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 　 　．

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD的交点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF．△ABE的面积为15，则k的值为（　　）

A．10 B．20 C．7.5 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．（3分）函数y＝2x+1x+2的自变量x的取值范围是　 　．
12．（3分）分解因式：x3﹣9x＝　 　．
13．（3分）截至1月31日下午，我市慈善总会在这次新型冠状病毒肺炎疫情中，募集到疫情防控专项捐款累计8721000元．数据8721000用科学记数法可以表示为　 　．
14．（3分）如果代数式x2+3x+1的值是5，那么代数式3﹣2x2﹣6x的值等于　 　．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2，图中阴影部分的面积为　 　．

16．（3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　 　．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝　 　．

18．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　 　．

三、解答题（本大题共11小题，共96分．）
19．（10分）计算：
（1）（π﹣5）0+2cos45°﹣|﹣3|+（12）﹣1；
（2）（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+1）．
20．（10分）（1）解不等式组3x+1≥2(x−1)x−22＜1．
（2）解方程：52x−1=3x+2．
21．（10分）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求证：BE＝DE．

22．（8分）市教育局想知道某校学生对麋鹿自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的学生共有　 　名；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中的选项“D．不了解”部分所占扇形的圆心角的大小为　 　°；
（4）若该校共有1000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于麋鹿自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？

23．（8分）2021年我省开始实施“3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．
（1）小丽选到物理的概率为　 　；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门选到化学、生物的概率．
24．（10分）如图，AC是⊙O的直径，DB是⊙O的弦，DE⊥AB，垂足为E，且∠EAD＝∠CAD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O半径为5，BE＝8，求AD的长．

25．（5分）如图，有一块三边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为5cm的等腰三角形．
（1）在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）当剪下的等腰三角形面积最大时，求该等腰三角形的面积．

26．（5分）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端分别落在格点上，请按要求画图：
（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．
（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．

27．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元；
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
28．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AC＝6，BC＝8，点M、N分别在线段AC、BC上，将△ABC沿直线MN翻折，点C的对应点是点C′．
（1）当M、N分别是边AC、BC的中点时，求出CC′的长度；
（2）若CN＝2，点C′到线段AB的最短距离是　 　；
（3）如图2，当点C′在落在边AB上时，
①点C′运动的路程长度是　 　；
②当AM=3611时，求出CN的长度．

29．（10分）.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；


2022年江苏省无锡市锡山区锡北片中考数学一模试卷
答案与详解
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）2021的倒数是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C．12021 D．−12021
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．
【解答】解：2021的倒数是12021．
故选：C．
2．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形；
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．2a+4b＝8ab D．（a2）3＝a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项不合题意；
B、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
C、2a与4b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故选：C．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠FAE等于（　　）

A．105° B．75° C．40° D．20°
【分析】由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求∠DAC＝∠C＝55°，∠DAB＝∠B＝35°，由折叠的性质可求∠CAD＝∠DAF＝55°，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝35°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝CD＝BD，∠C＝55°，
∴∠DAC＝∠C＝55°，∠DAB＝∠B＝35°，
∵将△ACD沿AD对折，
∴∠CAD＝∠DAF＝55°，
∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAB＝20°，
故选：D．
6．（3分）九年级（1）班15名男同学进行引体向上测试，每人只测一次，测试结果统计如下：
引体向上数/个
0
1
2
3
4
5
6
7
8
人数
1
1
2
1
3
3
2
1
1
这15名男同学引体向上数的中位数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据中位数的定义，将15个数据从小到大排列后，中位数是第8个数．
【解答】解：根据表格可知，15个数据按从小到大的顺序排列后，第8个数是4，所以中位数为4；
故选：C．
7．（3分）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　）
A．14 B．10 C．3 D．2
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：设第三边为x，
则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，
所以符合条件的整数为10，
故选：B．
8．（3分）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（　　）
A．12cm2 B．24cm2 C．12πcm2 D．24πcm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为 　5　．

【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．证明△TBP≌△CBQ（SAS），推出CQ＝PT，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝TH=12AT＝5．
【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，过点T作TH⊥AC于H．

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵AT＝TB，
∴BC＝BT，
∵BP＝BQ，∠CBT＝∠PBQ，
∴∠TBP＝∠CBQ，
∴△TBP≌△CBQ（SAS），
∴CQ＝PT，
根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PT的值最小，最小值＝TH=12AT＝5，
∴CQ的最小值为5．
故答案为：5．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD的交点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF．△ABE的面积为15，则k的值为（　　）

A．10 B．20 C．7.5 D．5
【分析】连接OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．证明BD∥AE，推出S△ABE＝S△AOE＝15，推出S△EOF=12S△AOE＝7.5，可得S△FME=13S△EOF＝2.5，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．
∵AN∥FM，AF＝FE，
∴MN＝ME，
∴FM=12AN，
∵A，F在反比例函数的图象上，
∴S△AON＝S△FOM=k2，
∴12ON•AN=12OM•FM，
∴ON=12OM，
∴ON＝MN＝EM，
∴ME=13OE，
∴S△FME=13S△FOE，
∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAE，
∴AE∥BD，
∴S△ABE＝S△AOE，
∴S△AOE＝15，
∵AF＝EF，
∴S△EOF=12S△AOE＝7.5，
∴S△FME=13S△EOF＝2.5，
∴S△FOM＝S△FOE﹣S△FME＝7.5﹣2.5＝5=k2，
∴k＝10．
故选：A．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．（3分）函数y＝2x+1x+2的自变量x的取值范围是　x≠﹣2　．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故x+2≠0，解不等式即可求得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
12．（3分）分解因式：x3﹣9x＝　x（x+3）（x﹣3）　．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
13．（3分）截至1月31日下午，我市慈善总会在这次新型冠状病毒肺炎疫情中，募集到疫情防控专项捐款累计8721000元．数据8721000用科学记数法可以表示为　8.721×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：8 721 000＝8.721×106．
故答案为：8.721×106．
14．（3分）如果代数式x2+3x+1的值是5，那么代数式3﹣2x2﹣6x的值等于　﹣5　．
【分析】根据题意求出x2+3x＝4，变形后代入求出即可．
【解答】解：根据题意得：x2+3x+1＝5，
x2+3x＝4，
3﹣2x2﹣6x＝3﹣2（x2+3x）＝3﹣2×4＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2，图中阴影部分的面积为　83π﹣23　．

【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED＝30°，然后求出DE，再根据阴影部分的面积＝S扇形AEF﹣S△ADE列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝2DA，AB＝AE（扇形的半径），
∴AE＝2DA＝2×2＝4，
∴∠AED＝30°，
∴∠DAE＝90°﹣30°＝60°，
DE=AE2−DA2=42−22=23，
∴阴影部分的面积＝S扇形AEF﹣S△ADE，
=60⋅π⋅42360−12×2×23，
=83π﹣23．
故答案为：83π﹣23．
16．（3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是　1010　．

【分析】过O作OE⊥AB于E，过A作AC⊥OB于C，根据勾股定理求出OA、OB，根据三角形面积求出AC，利用三角函数定义求出∠AOB的正弦值即可．
【解答】解：如图：过O作OE⊥AB于E，过A作AC⊥OB于C．
由勾股定理得：OA=12+12=2，OB=22+12=5，
∵S△ABO=12AB•OE=12OB•AC，
∴AC=AB⋅OEOB=1×15=55，
∴∠AOB的正弦值是ACOA=552=1010，
故答案为：1010．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝　2+3　．

【分析】连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．利用勾股定理构建方程解决问题即可．
【解答】解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．

∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴AB=OA2+OB2=42+22=25，
∵∠AMC＝2∠AOC＝120°，
∴AC=3AM=15，
在Rt△COH中，OH＝OC•cos60°=12a，CH=3OH=32a，
∴AH＝4−12a，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，
∴15＝（4−12a）2+（32a）2，
∴a＝2+3或2−3（因为OC＞OB，所以2−3舍弃），
∴OC＝2+3．
故答案为：2+3．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC、ED分别交于点M，N．已知AB＝4，BC＝6，则MN的长为　43　．

【分析】延长CE、DA交于Q，延长BF和CD，交于W，根据勾股定理求出BF，根据矩形的性质求出AD，根据全等三角形的性质得出AQ＝BC，AB＝DW，根据相似三角形的判定得出△QMF∽△CMB，△BNE∽△WND，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BN和BM的长，即可得出答案．
【解答】解：延长CE、DA交于Q，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝3，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF=AB2+AF2=42+32=5，
∵AD∥BC，
∴∠Q＝∠ECB，
∵E为AB的中点，AB＝4，
∴AE＝BE＝2，
在△QAE和△CBE中
∠QEA=∠BEC∠Q=∠ECBAE=BE
∴△QAE≌△CBE（AAS），
∴AQ＝BC＝6，
即QF＝6+3＝9，
∵AD∥BC，
∴△QMF∽△CMB，
∴FMBM=QFBC=96，
∵BF＝5，
∴BM＝2，FM＝3，
延长BF和CD，交于W，如图2，
同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，
∵AB∥CD，
∴△BNE∽△WND，
∴BNNW=BEDW，
∴BN5−BN+5=24，
解得：BN=103，
∴MN＝BN﹣BM=103−2=43，
故答案为：43．
三、解答题（本大题共11小题，共96分．）
19．（10分）计算：
（1）（π﹣5）0+2cos45°﹣|﹣3|+（12）﹣1；
（2）（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+1）．
【分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）根据完全平方公式以及多项式乘多项式的方法计算即可．
【解答】解：（1）（π﹣5）0+2cos45°﹣|﹣3|+（12）﹣1
＝1+2×22−3+2
＝1+1﹣3+2
＝1．

（2）（x﹣2）2﹣（x﹣3）（x+1）
＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣2x﹣3）
＝x2﹣4x+4﹣x2+2x+3
＝﹣2x+7．
20．（10分）（1）解不等式组3x+1≥2(x−1)x−22＜1．
（2）解方程：52x−1=3x+2．
【分析】（1）根据解不等式组的一般步骤进行解答即可；
（2）方程两边同时乘以（2x﹣1）（x+2），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解答】解：（1）3x+1≥2(x−1)①x−22＜1②，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜4；
（2）方程两边同时乘以（2x﹣1）（x+2）得：
5（x+2）＝3（2x﹣1），
解得：x＝13，
检验：当x＝13时，（2x﹣1）（x+2）≠0，
∴原方程的解为x＝13．
21．（10分）如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）求证：BE＝DE．

【分析】（1）由题中条件易知：△ABC≌△ADC，可得AC平分∠BAD；
（2）利用（1）的结论，可得△BAE≌△DAE，得出BE＝DE．
【解答】解：（1）在△ABC与△ADC中，AB=ADAC=ACBC=DC
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝∠DAC
即AC平分∠BAD；
（2）由（1）∠BAE＝∠DAE

在△BAE与△DAE中，得BA=DA∠BAE=∠DAEAE=AE
∴△BAE≌△DAE（SAS）
∴BE＝DE
22．（8分）市教育局想知道某校学生对麋鹿自然保护区的了解程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A．十分了解；B．了解较多：C．了解较少：D．不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的学生共有　100　名；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中的选项“D．不了解”部分所占扇形的圆心角的大小为　36　°；
（4）若该校共有1000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于麋鹿自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？

【分析】（1）通过条形图和扇形图“了解较少”的情况，求抽查学生数；
（2）先计算了解较多的学生数，再补全条形统计图；
（3）用360°乘以选项C对应的百分比即可得出答案；
（4）先计算“十分了解”和“了解较多”的学生占抽查学生数的百分比，再估计该校对于麋鹿自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生数．
【解答】解：（1）从条形图知“了解较少”的有30名，从扇形图知“了解较少”占30%，
所以抽查的学生数为：30÷30%＝100（名）；
故答案为：100；
（2）因为100﹣20﹣30﹣10＝40（名）；

（3）扇形图中的选项“D．不了解”部分所占扇形的圆心角的大小为360°×10100=36，
故答案为：36；
4）“十分了解”和“了解较多”的学生占抽查学生数的百分比为：20+40100×100%＝60%，
所以1000×60%＝600（名），
答：估计该校对于麋鹿自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共有600名．
23．（8分）2021年我省开始实施“3+1+2”高考新方案，其中语文、数学、外语三门为统考科目（必考），物理和历史两个科目中任选1门，另外在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门，共计6门科目，总分750分，假设小丽在选择科目时不考虑主观性．
（1）小丽选到物理的概率为　12　；
（2）请用“画树状图”或“列表”的方法分析小丽在思想政治、地理、化学、生物四门科目中任选2门选到化学、生物的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、生物两科的结果数，再利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）∵在物理和历史两个科目中任选1门，
∴小丽选到物理的概率为12；
故答案为：12；

（2）设思想政治为 A，地理为 B，化学为 C，生物为 D，画树状图如下：

共有 12 种等可能情况，选中化学、生物的有2 种，
则P（选中化学、生物）=212=16．
24．（10分）如图，AC是⊙O的直径，DB是⊙O的弦，DE⊥AB，垂足为E，且∠EAD＝∠CAD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O半径为5，BE＝8，求AD的长．

【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠EAD＝∠BCD，证得∠BCD＝∠DBC，则可得出结论；
（2）连接OD，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质证得DE⊥OD．则可得出结论；
（3）连接DO并延长交BC于点F，证明四边形DEMF是矩形，由矩形的性质得出DE＝BF，DF＝BE＝8，∠DFC＝90°，由勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵∠EAD＝∠CAD，
∴∠BCD＝∠CAD，
又∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BCD＝∠DBC，
∴BD＝CD；
（2）证明：连接OD，则OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA．
∵∠EAD＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠ODA．
∵∠EAD+∠EDA＝90°，∠EAD+∠ODA＝90°，
即DE⊥OD．
∴DE是圆O的切线；
（3）解：连接DO并延长交BC于点F，

∵∠ODF＝∠DEB＝∠ABC＝90°，
∴四边形DEMF是矩形，
∴DE＝BF，DF＝BE＝8，∠DFC＝90°，
∴OF＝DF﹣DO＝8﹣5＝3，
∴AB＝2OF＝6，BF＝CF=CO2−OF2=52−32=4，
∴DE＝4，AE＝BE﹣AB＝8﹣6＝2，
∴AD=DE2+AE2=42+22=25．
25．（5分）如图，有一块三边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为5cm的等腰三角形．
（1）在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）当剪下的等腰三角形面积最大时，求该等腰三角形的面积．

【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于P，交AB于Q，则在PQ任意取一点（Q点除外）与A点、B点可组成满足条件的等腰三角形；
（2）当顶点为P点时，等腰三角形的面积最大，设PC＝x，则PB＝PA＝4﹣x，利用勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠C＝90°，在Rt△ACP中利用勾股定理得到x2+32＝（4﹣x）2，解方程得到PC=78，然后根据三角形面积公式，利用S△PAB＝S△ABC﹣S△ACP进行计算．
【解答】解：（1）如图，△PAB为所作；

（2）△PAB为满足条件的面积最大的等腰三角形，
设PC＝x，则PB＝4﹣x，
∵PA＝PB＝4﹣x，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°，
在Rt△ACP中，x2+32＝（4﹣x）2，解得x=78，
∴S△PAB＝S△ABC﹣S△ACP=12×3×4−12×3×78=7516．
即该等腰三角形的面积为7516．
26．（5分）如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端分别落在格点上，请按要求画图：
（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．
（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．

【分析】（1）根据要求作出图形即可（答案不唯一）．
（2）根据要求作出图形即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图1中，四边形APBQ即为所求作（答案不唯一）．


（2）如图，△DEF即为所求作（答案不唯一）．

27．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元；
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【分析】（1）根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出y与x之间的关系式；根据销售问题的利润＝售价﹣进价就可以表示出w与x之间的关系；
（2）根据题意得方程求得x1＝50，x2＝80，于是得到结论；
（3）根据销售单价不低于45元且商场要完成不少于480件的销售任务求得45≤x≤52，根据二次函数的性质得到当45≤x≤52时，y随x增大而增大，于是得到结论．
【解答】解：（1）y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000，
w＝（﹣10x+1000）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；

（2）根据题意，得：﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，
解得：x1＝50，x2＝80，
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；

（3）根据题意得x≥45−10x+1000≥480，
解得：45≤x≤52，
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65，
∴当45≤x≤52时，y随x增大而增大．
∴当x＝52时，W最大值＝10560（元），
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10560元．
28．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AC＝6，BC＝8，点M、N分别在线段AC、BC上，将△ABC沿直线MN翻折，点C的对应点是点C′．
（1）当M、N分别是边AC、BC的中点时，求出CC′的长度；
（2）若CN＝2，点C′到线段AB的最短距离是　85　；
（3）如图2，当点C′在落在边AB上时，
①点C′运动的路程长度是　4　；
②当AM=3611时，求出CN的长度．

【分析】（1）如图1中，设MN交CC′于O．证明CC′⊥AB，且点C′落在AB上，利用面积法求解即可．
（2）如图2中，过点N作NH⊥AB于H．想办法求出NH，当点C′落在线段NH上时，点C′到线段AB的距离最短，由此可得结论．
（3）①如图3﹣1中，当点N与B重合时，BC′的值最大，最大值＝BC＝8．如图3﹣2中，当点M与A重合时，BC′的值最小，最小值＝AB﹣AC′＝AB﹣AC＝4，观察图形可知，当点C′在落在边AB上时，点C′运动的路程长度＝4．
②如图3﹣3中，过点M作ME⊥AB于E，过点N作NF⊥AB于F．设CN＝x，则BN＝8﹣x，NF=35（8﹣x），BF=45（8﹣x），利用相似三角形的性质，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，设MN交CC′于O．

∵AM＝CM，CN＝BN，
∴MN∥AB，
∵MC＝MC′，NC＝NC′，
∴MN垂直平分线段CC′，
∴CC′⊥AB，且点C′落在AB上，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=62+82=10，
∵12•AB•CC′=12•AC•BC，
∴CC′=6×810=245．

（2）如图2中，过点N作NH⊥AB于H．

∵NC＝NC′＝2，BC＝8，
∴BN＝BC﹣CN＝8﹣2＝6，
∵sin∠B=NHBN=ACAB，
∴HN6=610，
∴NH=185，
∴当点C′落在线段NH上时，点C′到线段AB的距离最短，最短距离185−2=85．
故答案为：85．

（3）①如图3﹣1中，当点N与B重合时，BC′的值最大，最大值＝BC＝8．

如图3﹣2中，当点M与A重合时，BC′的值最小，最小值＝AB﹣AC′＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，

观察图形可知，当点C′在落在边AB上时，点C′运动的路程长度＝8﹣4＝4，
故答案为：4．

②如图3﹣3中，过点M作ME⊥AB于E，过点N作NF⊥AB于F．设CN＝x，则BN＝8﹣x，NF=35（8﹣x），BF=45（8﹣x），

∵∠A＝∠A，∠AEM＝∠ACB＝90°，
∴△MEA∽△BCA，
∴AMAB=AEAC=EMBC，
361110=AE6=EM8，
∴ME=14455，AE=10855，
∵MC＝MC′＝6−3611=3011，
∴EC′=MC'2−ME2=(3011)2−(14455)2=4255，
∴C′F＝10−10855−4255−45（8﹣x）=8011−45（8﹣x）,
由△MEC′∽△C′FN，可得EMC'F=EC'FN，
∴144558011−45(8−x)=425535(8−x)，
解得x=6011，
经检验，x=6011是分式方程的解，
∴CN=6011．
29．（10分）.如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；

【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）分△CPM∽△CBA、△CPM∽△ABC两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可；
（3）分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴3k+b=0b=−3，解得：k=1b=−3，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB=2OB，
∴CP=2m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC=10，BC＝32，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴PCBC=PMAB，即2m32=−m2+3m4，
解得：m=53，
∴P（53，−43）；
②当△CPM∽△ABC，
∴PCAB=PMBC，即2m4=−m2+3m32，
解得：m=32，
∴P（32，−32）；
综上所述，点P的坐标为（53，−43）或（32，−32）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP=2m，

∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴2m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（2−3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3−2，
∴当m＝3−2时，m﹣3=−2，
∴P（3−2，−2）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得2m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+2，
∴P（3+2，−2），
综上所述，点P的坐标为（3−2，−2）或（3+2，−2）．