2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第15讲.期末复习之——几何综合（含答案）

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    中点模型①中线（点）：倍长（类）中线②两中点：中位线③等腰三角形底边中点：三线合一④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半构造两等腰⑤中垂线：中垂线上的点连两端点有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线．  【例1】         如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，若∠EMD = 3∠MEA．求证：BC=2AB．【解析】证法一：如右图（a），延长EM交CD的长线于点，连结CM∵AB∥CD，∴∠ME'D =∠MEA ．又AM = DM ，∠AME =∠DME' ∴△AFM ≌△．∴EM =∵AB∥CD，CE⊥AB，∴EC⊥CD．∴CM是Rt△斜边的中线，∴=MC．∴，∴∠EMC = 2= 2∠AEM ．∵∠EMD =3∠MEA，∴∠CMD =∠DCM，∴MD = CD ．∵AD = 2DM，AB = CD ，AD = BC，∴BC = 2AB ． 证法二：如右图(b)，过点M作交BC于，过点作交AB的延长线于点，连接．∴点是的中点，，，，∵点是Rt△EBC斜边BC的中点，∴，∴．∴．∵∠EMD = 3∠MEA，∴，∴∴，．∴．∴,∴．∴BC = 2AB． 【例2】         如图所示，分别以△ABC的边AB、AC为边，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，点M为BC中点，⑴ 求证：AM⊥EG ；⑵ 求证：EG = 2AM．【解析】⑴ 如图所示，延长AM到N，使MN = AM,延长MA交EG于点P，连接BN、NC．∵BM = CM，∴四边形ABNC是平行四边形．∴BN = AC = AG．∵∠EAG +∠BAC = ，  ∠ABN +∠BAC = ，∴∠EAG =∠ABN．∵AE = AB，∴△EAG≌△ABN．∴∠AEG =∠BAN．又∵∠EAB = ，∴∠EAP +∠BAN = ．∴∠AEP +∠EAP = ．∴MA⊥EG．⑵ 证明：∵△EAG≌△ABN，∴EG = AN = 2AM．  【例3】 已知：如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，FG⊥DE于点H．⑴ 求证：FG = DE．⑵ 求证：FD + BG ≥．                       (2013房山二模)          【解析】延长GC到点P，使得GP = DF，连接EP，DP．⑴ ∵DF∥GP，GP = DF∴四边形DFGP为平行四边形∴FG = DP，FG∥DP又∵FG⊥DE，∴DP⊥DE∴∠ADE =∠CDP在△ADE和△CDP中∴△ADE≌△CDP∴DE = DP = FG ⑵ 由⑴知道△DEP为等腰直角三角形∴在△EGP中，EG + DF = EG + GP≥PE = FG当EG∥FD时，取到等号 【例4】         如下图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若△PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？      【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差．如右图，连接CP、AP．可得：所以而，，所以(平方分米)．【例5】         已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.⑴ 如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为           ．⑵ 如图②，点D不在AB上，⑴中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．                                                 （八中期末）   【解析】⑴ BD =⑵ 结论成立，证明：连接DM，过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，可证得△MDE≌△MFC,∴DM = FM，DE = FC，∴AD = ED = FC，作AN⊥EC于点N，由已知∠ADE =90°，∠ABC =90°，可证得∠1 =∠2，∠3 =∠4，∵CF∥ED，∴∠1 =∠FCM，∴∠BCF =∠4 +∠FCM = ∠3 +∠1 =∠3 +∠2 =∠BAD.∴△BCF≌△BAD,∴BF = BD，∠5 =∠6，∴∠DBF =∠5 +∠ABF =∠6 +∠ABF =∠ABC = 90°，∴△DBF是等腰三角形，∵点M是DF的中点，则△BMD是等腰三角形，∴BD = 【例6】         已知正方形，在边上取一点，作交的外角平分线于，求证：．      【解析】 法一：如图，连接，过作，交于．∵，，∴．又∵为等腰直角三角形，∴．又，，∴，∴，故． 法二：如图，过作，交的延长线于，连接，则，∴，∴．而，∴．又，，∴，有，∴． 法三：在AB上截取BN=BE，证明即可； 
 训练1.             如图所示 ，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD = BC，AC与BD交于点O，∠AOB=，P、Q、R分别是OA、OB、OC的中点，求证：△PQR是正三角形． 【解析】证明：如右图，连接BP、CR．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD = BC，OA = OB，OC = OD．∵∠AOB = 60°，∴△AOB、△COD都是正三角形．∵P是OA的中点，R是OD的中点，∴BP⊥OA，CR⊥OD．∵PR是△ODA的中位线，∴PR = ．∴PR = PQ = QR．∴△PQR是正三角形．  训练2.             如图⑴，四边形中，若，则必然等于．请运用结论证明下述问题：如图⑵，在平行四边形中取一点，使得，求证：．           【分析】此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若和，位置为时可得出和相等（本质为四点共圆）．图⑵中，与关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使与成形，我们可有如下四种方法． 【解析】分别过点、作，，交于点，连接．∵， ∴，，，∵，     ∴，∴四边形为平行四边形     ∴∵       ∴≌∴在四边形中，∴     ∴     （∠5不动移∠6）          （∠5，∠6不移动）          （∠5，∠6不移动） 训练3.             已知：在△ABC中，BC = a，AC = b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：⑴ 如图(a)，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a = b = 3，且∠ACB =60°，则CD = ________；⑵ 如图(b)，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a = b = 6，且∠ACB =90°，则CD = ________；⑶ 如图(c)，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数． 【解析】⑴ ；⑵ ；⑶ 如图（d），以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E，连接AE、CE、DE．∴CD = ED，∠CDE = 60°．∴△CDE为等边三角形．∴CE = CD．当点E、A、C不在一条直线上时，有CD = CE < AE + AC = a + b；如图(e),当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD = CE = a + b；此时∠CED =∠BCD =∠ECD =60°，∴∠ACB =120°．因此当∠ACB =120°时，CD有最大值是a + b．