专题15 圆-2022年中考数学真题分类集训营（全国通用）

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专题15 圆
考点一 圆的概念与有关性质
1．（2021·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．291
{答案}C
{解析}如图，连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，∴OD＝10，OM＝6.
∵AB⊥CD，∴AM=OA2-OM2=102-62=8，∴AB＝2AM＝16．
2..（2021·绍兴）如图．点A，B，C，D，E均在⊙O上．∠BAC=15°，∠CED=30°，则∠BOD的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°


{答案}D
{解析}本题考查了圆周角、圆心角以及它们所对的弧的度数之间的关系．在同圆中，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对的弧的度数，因为∠BAC=15°，∠CED=30°，所以弧BC是30°，弧CD是60°，则弧BD是90°，故它所对的圆心角∠BOD的度数是90°．因此本题选D．
3．（2021·安徽）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（　）
A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形
B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120°
C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB
D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC
{答案}B
{解析}逐项分析如下：
选项
逐项分析
图示
真假命题
A
如图，若OB平分AC，则OB是AC的垂直平分线，无法推理四边形OABC是平行四边形.

假
B
如图，若四边形OABC是平行四边形，则AB＝OC＝OA＝OB，∴△OAB和△OBC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝120°.

真
C
如图，若∠ABC＝120°，无法推理出AC平分OB.

假
D
如图，若AC平分OB，无法推理出OB平分AC.

假
4．（2021·陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小（　　）
A．55° B．65° C．60° D．75°

{答案}B{解析} E是弦BC的中点，由垂径定理的逆定理可知OE⊥BC，连接OB、OC，由∠A＝50°可知∠BOC＝2∠A＝100°，由等腰三角形的“三线合一”可知∠BOD＝50°，在等腰△BOD中，∠D＝(180°－50°)÷2＝65°．

5.（2021湖州）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，故选：B．
6.（2021·常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点(C不与A、B重合)，CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6

{答案}A
{解析}{解析}本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半，因为∠BHC＝90°，M为BC的中点，所以MH＝BC，而BC的最大值是直径，所以MH的最大值等于3．
7.（2021·凉山州）下列命题是真命题的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
{答案}D{解析}因为顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，不在同一条直线上的三个点确定一个圆，圆的切线垂直于过切点的半径，所以A、B、C选项皆为假命题，故选D．
8．（2021·宜宾）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D，且CD＝4，BD＝3，则⊙O的周长是（　　）

A．π B．π C．π D．π
{答案}A
{解析}根据“直径所对的圆周角为直角”，得∠ACB＝90°，由CD⊥AB，根据勾股定理得BC＝＝5，根据相似三角形的判定（两角对应相等的两个三角形相似）得Rt△ABC∽Rt△CBD，再根据相似三角形的三边对应成比例，得＝，即AB＝，∴⊙O的周长是π．
9.（2021湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是　3　．
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH=12CD＝4，
在Rt△OCH中，OH=52-42=3，所以CD与AB之间的距离是3．故答案为3．
10（2021·黑龙江龙东）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝　 　°．

{答案}50．
{解析}本题考查了圆周角的性质，解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，∵∠BCA＝50°，∴∠ADB＝∠BCA＝50°，故答案为：50．
11. （2021·盐城）如图，在中，点在上，则

14．130°，解析：本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半和圆内接四边形对角互补等知识，因此在⊙O上取一点D，连接CD，BD，则∴∠BDC＝ ∠BOC＝50°
∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠BAC+∠BDC＝180°
∵∠BDC＝50°
∴∠BAC＝130°此本题答案为130° ．
12．(2021·青海)已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为______cm．
{答案}7或1
{解析}过圆心O作OM⊥AB于M，交CD于点N，连结OB，OD．∵AB∥CD，∴MN⊥CD．由垂径定理可知MB＝4，ND＝3．∴OM＝＝3，ON＝＝4．(1)当圆心O在AB，CD之间时，如图#(1)，MN＝OM＋ON＝7；(2)当圆心O在AB，CD同侧时，如图#(2)，MN＝ON－OM＝1．

O
图#(1)
D
C
A
B
M
N
O
图#(2)
O
D
C
A
B
M
N

⊥AB于点C，∴AC＝，∴．
13.(2019·上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．

{解析}（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根据菱形的判定推出即可．
{答案}证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，
∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，
∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；
（2）如图2，连接OB，
∵AB2＝AO•AD，∴，
又∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形
考点二 与切线有关的证明和计算
14.（2021·哈尔滨）如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC＝35°，则∠ABO的度数为（ ）

A．25° B．20° C．30° D．35°
{答案}B{解析}本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理，∵AB与⊙O相切于点A，∴OA⊥BA，∴∠OAB＝90°，∵∠AOC＝2∠CDA，∠ADC＝35°，∴∠AOC＝70°，∴∠ABO＝90°－70°＝20°，因此本题选B．
15．（2021·江苏徐州）AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P.若∠BPC=70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A.75° B.70° C.65° D.60°

{答案} B{解析}利用切线的性质和等腰三角形的性质来进行计算，∵∠OPA=∠BPC=70˚，OA⊥OC，
∴∠A=90˚-70˚=20˚，∵OA=OB，∴∠ABO=∠A=20˚，∵CB切⊙O于点B，∴∠OBC=90˚，∴∠ABC=90˚-20˚=70˚.故选B.
16．（2021•湘西州）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（　　）

A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
{答案}
{解析}本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形性质、垂直平分线性质等知识.∵PA、PB为圆O的切线，∴PA＝PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项正确． 由圆的对称性可知：AB⊥PD，但不一定平分，故B选项不一定正确．连接OB、OA，∵PA、PB为圆O的切线，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C选项正确．∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为△BPA的边AB上的中线，故D选项正确．因此本题选 B．
17（2021·天水）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°

{答案}B
{解析}根据切线的性质和圆周角定理可求，连接OA、OB，则∠ACB ＝∠AOB，又由PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，得到∠PAO＝∠PBO＝90°，所以∠AOB＝180°－∠P＝180°－70°＝110°，从而得到∠ACB ＝×110°＝55°，因此本题选B．

18．（2021·枣庄）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝________．

{答案}27°{解析}利用圆的性质与三角形的内角和求解．∵PA切⊙O于点A，∴∠BAP＝90°，∴∠AOC＝90°－∠P＝90°－36°＝54°．∴∠B＝∠AOC＝×54°＝27°．
19．（2021·泰州）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为_______．

{答案}3cm或5cm
{解析}本题需要分两种情况讨论，点O在直线a的左侧和点O在直线a的右侧．
20.（2021·聊城）如图，在△ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）试证明DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．
O
D
A
B
C
E

{解析}（1）本题属于“见切点，连半径，证垂直”类型，根据已知条件“DE⊥BC”只需证明OD∥BC即可，由此发现点D应为AC的中点，利用圆周角定理的推论与等腰三角形三线合一的性质可获得，从而思路得以沟通；
（2）本题实质上是解等腰三角形，除了利用Rt△CDE∽Rt△ABD求解外，在Rt△BCD中利用面积法求高DE的长更显简捷．
{答案}解：（1）证明：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AD，
又∵AB＝BC，△ABC是等腰三角形，∴BD又是AC边上的中线，∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，又DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
O
D
A
B
C
E

（2）由（1）知，BD是AC边上的中线，AC＝6，得AD＝CD＝3．
∵⊙O的半径为5，∴AB＝10．在Rt△ABD中，BD＝＝＝．
∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．在Rt△CDE和Rt△ABD中，∵∠DEC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠A，
∴Rt△CDE∽Rt△ABD，∴，即，解得DE＝3．
21.（2021·铜仁）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，＝，求CD的长．
{解析}（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质列比例求解．
{答案}（1）证明：如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线.
（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA＝＝tan∠BCE＝＝，
设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，
∴＝＝，∵AD＝8，∴CD＝4．
22.（2021·常德）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF=EC．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若BD=4，BC=8，圆的半径OB=5，求切线EC的长．
{解析} (1)连接OC，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF=90°，即可证EC是⊙O的切线；
(2)由勾股定理可求AC=6，由锐角三角函数可求BF=5，可求CF=3，通过证明△OAC∽△ECF，可得，可求解．
{答案}解：(1)连接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB=90°，
∵EF=EC，∴∠ECF=∠EFC=∠DFB，∴∠OCB+∠ECF=90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OB=5，∴AB=10，∴AC=AB2-BC2=100-64=6，
∵cos∠ABC=BDBF=BCAB，∴810=4BF，∴BF=5，∴CF=BC-BF=3，
∵∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BFD=90°，∴∠BFD=∠A，∴∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，
∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=∠BFD=∠ECF=∠EFC，∴△OAC∽△ECF，∴ECOA=CFAC，∴EC=OA⋅CFAC=5×36=52．
考点三 正多边形与圆
23（2021·淮安）六边形的内角和是 （ ）
A.360° B.540° C.720° D.1080°
{答案} C
{解析}本题考查了多边形的内角和定理，利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．
根据多边形的内角和可得：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．
24（2021·黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．98 D．10
{答案}D{解析}本题考查了正多边形的性质以及多边形的外角和等知识．多边形的外角和都等于360°，由于每个外角都为36°，所以360°÷36°＝10，故该多边形为十边形，因此本题选D．
（2021·德州）10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.

{答案}A
{解析}如图，设正六边形的中心为0，连接OA，OB. 由题意得△AOB是等边三角形，边长为4，∴，∴6个弓形的面积和是，
∴阴影部分的面积是.

25．（2021·江苏徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为 .

{答案}10{解析}根据圆周角定理以及正多边形中心角的性质进行计算. 连接OA、OB，则∠AOB=2∠ADB=36˚，∴多边形边数为：.

26．（2021·陕西）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是________．

{答案}144°{解析}五边形的内角和为540°，正多边形的每个内角都相等，每条边也相等，在△BCD中，求出∠C＝108°，∠CDB＝∠CBD＝36°，所以∠BDM＝180°－36°＝144°．
27.（2021·重庆A卷）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分面积为__________．（结果保留π）

{答案}4－π{解析}因为正方形ABCD的边长为2，所以AO=AC=，阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去半径为的半圆的面积.
∵ S正方形ABCD=22=4，S扇形EAF= ，∴S阴影部分=4－2×=4－π．

考点四 与圆有关的计算
28.（2021·苏州）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
{答案}B

{解析}本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD为正方形,OC=,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S阴影=S扇形OAB-S正方形CEOD=-12=-1，因此本题选B．
29.．（2021·聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（　　）
A
O
M
C
B
D

A．π B．2π C．3π D．4π
{答案}B{解析}借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM＝DM，∵OC∥DB，∴∠C＝∠D，又∵∠OMC＝∠BMD，∴△OMC≌△BMD(ASA)，∴OM＝BM＝OB＝OC，∴cos∠COM＝＝，∴∠COM＝60°．∴S阴影＝S扇形BOC＝＝2π．
30．（2021·聊城）如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（　　）

A．m B．m C．m D．m
{答案}C{解析}先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r，则有2πr＝，解得r＝，则圆锥的高为＝(m)．
31．（2021·咸宁）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
{答案}D
{解析}本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，
∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB==，因此本题选D．
32.（2021·江苏徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 .

{答案}{解析}根据圆锥的侧面公式来进行计算，由于底面圆的周长=，母线长=，∴圆锥的侧面积=.
33．（2021·江苏徐州）在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45˚，则△ABC面积的最大值为 .
{答案}{解析}本题属于定弦定角问题，需要通过辅助圆解决问题.以AB为边斜边向上作等腰直角三角形OAB，∵AB=6，∴OA=，以O为圆，OA为半径画圆，由于∠C=45˚=∠AOB，所以点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴OD=AB=3，当点C在DO的延长线上时，△ABC的面积最大，等于：.

34．（2021•丽水）如图，AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求AB的长．

【解答】解：（1）∵AB的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA•sin60°＝2×32=3，∴AB＝2AC＝23；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴AB的长是：120π×2180=4π3．
35．（2021·内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O 的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

{答案}（1）证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切．
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD中，BD=BC=
∵OD2+BD2=OB2，∴，解得R=4，∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，
∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；
（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º，
∴∠BOC=120º，又BC=，OE=8，∴=
,


{解析}本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30º角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．
（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；
（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用代入数值即可求解．