专题训练1：有理数-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求

2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练1：有理数（含答案）

一、知识要点：

1、有理数的基本概念

(1)正数和负数

定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。

0既不是正数，也不是负数。

(2)有理数

正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。

2、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

3、相反数

代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。

a =-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a =0。

4、绝对值

定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：如果a >0，那么|a|=a；

    如果a =0，那么|a|=0；

    如果a <0，那么|a|=-a。

a =|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。

5、倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数。

所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a =±1。

6、数的比较大小

法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

7、乘方

定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。

如：an读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。

性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。

8、科学记数法

定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。

用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。

用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。

9、近似数

一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。

10、有理数的加法

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

加法运算律：①交换律 a+b=b+a； ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c)。

11、有理数的减法

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a -b= a +(-b)。

12、有理数的乘法

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。

乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。

13、有理数的除法

除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0 的数，都得0。

14、有理数的混合运算

混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

二、课标要求：

1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含义(这里a表示有理数)。

3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)。

4、会用科学记数法表示数(包括负指数幂的科学记数法)

5、理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。

6、能运用有理数的运算解决简单的问题。

7、了解近似数，在解决实际问题中，会按问题的要求对结果取近似值。

三、常见考点：

1、有理数的实际意义。

2、求一个数的相反数、绝对值、倒数；在数轴上找出相应的数；数的比较大小。

3、用科学记数法表示一个数(含负指数幂的科学记数法)。

4、有理数基本概念(相反数、绝对值、倒数)的辨析及综合运用。

5、有理数的运算。

四、专题训练：

1．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（　　）

A．180元 B．202.5元 

C．180元或202.5元 D．180元或200元

2．若（a2+2a+1）2+|1﹣b|＝0，则ab的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．2

3．2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（　　）

A．38个 B．36个 C．34个 D．30个

4．如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，则|q﹣r|＝（　　）

A．7 B．9 C．11 D．13

5．计算+++++……+的值为（　　）

A． B． C． D．

6．实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（　　）米．

A．210 B．130 C．390 D．﹣210

7．如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m时，水位的变化情况是　   　．

8．点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是　   　．

9．若•|m|＝，则m＝　   　．

10．若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x+y的值为　   　．

11．已知a与b互为相反数，b与c互为倒数．当a＝时，c的值为　   　．

12．在﹣，0，﹣1，1这四个数中，最小的数是　   　．

13．计算1+4+9+16+25+…的前29项的和是　   　．

14．已知：|m﹣n|＝n﹣m，|m|＝4，|n|＝3，则m﹣n＝　   　

15．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝　   　．

16．《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣“纯数”．

定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，

例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数．

17．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所，已知青少年宫在学校东300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处，若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．

（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；

（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．

18．计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式＝6+6＝﹣12+18＝6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．

19．已知|a﹣5|和（b+4）2互为相反数，求的值．

20．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果．

（1）计算：1+2﹣6﹣9；

（2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号；

（3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

21．计算：

（1）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；

（2）66×．

22．（1）计算：16÷（﹣2）3﹣（﹣）3×（﹣4）+2.5；

（2）计算：（﹣1）2017+|﹣22+4|﹣（﹣+）×（﹣24）

参考答案

1．解：∵200×0.9＝180，200×0.8＝160，160＜162＜180，

∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．

162÷0.9＝180元；162÷0.8＝202.5元．

故王明所购书的原价一定为180元或202.5元．

故选：C．

2．解：由题意得，a2+2a+1＝0，1﹣b＝0，

解得，a＝﹣1，b＝1，

则ab＝﹣1，

故选：B．

3．解：（+4+0+5﹣3+2）+5×6＝38个，

∴这5天他共背诵汉语成语38个，

故选：A．

4．解：根据数轴可得，p＜q＜r＜s，

∵|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，

∴p﹣r＝﹣10，p﹣s＝﹣12，q﹣s＝﹣9，

∴p＝r﹣10，p＝s﹣12，

∴r﹣10＝s﹣12，

∴s＝r+2，

∴q﹣s＝q﹣r﹣2＝﹣9，

∴q﹣r＝﹣7，

∴|q﹣r|＝7．

故选：A．

5．解：原式＝++++…+

＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．

故选：B．

6．解：由表中数据可知：A﹣C＝90①，C﹣D＝80②，D﹣E＝60③，E﹣F＝﹣50④，F﹣G＝70⑤，G﹣B＝﹣40⑥，

①+②+③+…+⑥，

得：（A﹣C）+（C﹣D）+（D﹣E）+（E﹣F）+（F﹣G）+（G﹣B）＝A﹣B＝90+80+60﹣50+70﹣40＝210．

∴观测点A相对观测点B的高度是210米．

故选：A．

7．解：∵水位升高2m时水位变化记作+2m，

∴水位下降3m时水位变化记作﹣3m．

故答案是：﹣3m．

8．解：∵点A在数轴上表示的数是2，

∴点A表示的数的相反数是﹣2．

故答案为：﹣2．

9．解：由题意得，

m﹣1≠0，

则m≠1，

（m﹣3）•|m|＝m﹣3，

∴（m﹣3）•（|m|﹣1）＝0，

∴m＝3或m＝±1，

∵m≠1，

∴m＝3或m＝﹣1，

故答案为：3或﹣1．

10．解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，

∴x﹣3＝0，y+2＝0，

∴x＝3，y＝﹣2，

∴x+y的值为：3﹣2＝1，

故答案为：1．

11．解：由a与b互为相反数，当a＝时，得

b＝．

由b与c互为倒数，得

c＝2．

故答案为：2．

12．解：|﹣1|＞|﹣|，

﹣1＜﹣．

﹣1＜﹣＜0＜1，

故答案为：﹣1．

13．解：12+22+32+42+52+…+292+…+n2

＝0×1+1+1×2+2+2×3+3+3×4+4+4×5+5+…（n﹣1）n+n

＝（1+2+3+4+5+…+n）+[0×1+1×2+2×3+3×4+…+（n﹣1）n]

＝+{（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[（n﹣1）•n•（n+1）﹣（n﹣2）•（n﹣1）•n]}

＝+[（n﹣1）•n•（n+1）]

＝，

∴当n＝29时，原式＝＝8555．

故答案为 8555．

14．解：∵|m|＝4，|n|＝3，

∴m＝±4、n＝±3，

∵|m﹣n|＝n﹣m，

∴m﹣n≤0，即m≤n，

∴m＝﹣4、n＝±3，

当m＝﹣4、n＝3时，m﹣n＝﹣7；

当m＝﹣4、n＝﹣3时，m﹣n＝﹣1；

故答案为：﹣7或﹣1．

15．解；根据题意可得原式＝（3.9﹣3）+[（﹣1.8）﹣（﹣2）]﹣（1﹣1）＝0.9+0.2＝1.1；

故答案为：1.1

16．解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，

理由：当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2022，

∵个位是9+0+1＝10，需要进位，

∴2019不是“纯数”；

当n＝2020时，n+1＝2022，n+2＝2022，

∵个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，

∴2020是“纯数”；

（2）由题意可得，

连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，

当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，

当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，

当这个数是三位自然数时，只能是100，

由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，

即不大于100的“纯数”的有13个．

17．解：（1）如图所示：点A表示商场，点C表示青少年宫，点D表示医院，原点表示学校；

（2）依题意得青少年宫与商场之间的距离为300﹣（﹣200）＝500（m）．

答：青少年宫与商场之间的距离为500m．

18．解：方方的计算过程不正确，

正确的计算过程是：

原式＝6÷（﹣+）＝6÷（﹣）＝6×（﹣6）＝﹣36．

19．解：根据非负数的性质，a＝5，b＝﹣4．

原式＝[+÷]÷（a+b）2＝÷（a+b）2＝．

把a＝5，b＝﹣4代入上式，得原式＝．

20．解：（1）1+2﹣6﹣9＝3﹣6﹣9＝﹣3﹣9＝﹣12；

（2）∵1÷2×6□9＝﹣6，

∴1××6□9＝﹣6，

∴3□9＝﹣6，

∴□内的符号是“﹣”；

（3）这个最小数是﹣20，

理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，

∴1□2□6的结果是负数即可，

∴1□2□6的最小值是1﹣2×6＝﹣11，

∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9＝﹣20，

∴这个最小数是﹣20．

21．解：（1）原式＝﹣9÷9﹣6+4＝﹣1﹣2＝﹣3；

（2）原式＝66×（﹣）﹣66××＝﹣33﹣14＝﹣47．

22．解：（1）原式＝16÷（﹣8）﹣×4+2.5＝﹣2﹣0.5+2.5＝﹣2+2＝0；

（2）原式＝﹣1+0+12﹣6+3＝8．