专题01 手拉手模型大全-2022年决胜中考数学考前抢分冲刺（全国通用）

专题01 手拉手模型大全

等边三角形

模型一、△ACE与△DBC是等边三角形。当B、C、E三点不共线时

1.△ACE≅△BCD

2.BD=CE

3.∠APB=60°

思路引领:

由:∠ACB=∠ECD=60°⇒∠BCD=∠ACE

又∵AB=AC, CD=CE

∴△ACE≅△BCD

∴BD=AE, ∠CAE=∠CBD

(法一)∴点A,B,C,P四点共圆.

∴∠APB=∠ACB= 60°

(法二) ∠APB+∠CAE=∠ACB +∠BCD=∠AGB

∴∠APB=∠ACB= 60°

模型二、△ACE与△DBC是等边三角形。当B、C、E三点共线时，则有以下10个结论

(可借助右边备用图)

1.△ACE≅△BCD

2.BD=CE

3.∠APB=60°

 以上证法同一.

4.△HCA≅△BGC

由△ACE≅△BCD可得∠CAE=∠CBD,

又∵AB=AC, ∠ACH=∠BCG=60°,

∴△HCA≅△BGC

5.△GCH是等边三角形.

△HCA≅△BGC ⇒CG=CH

又由于∠BCG=60°,

所以△GCH是等边三角形.

6.△GDC≅△HCE

△HCA≅△BGC ⇒CG=CH

又由于DC=ED,∠ACH=∠BCG=60°

可得△GDC≅△HCE

7.GH∥BE

由△GCH是等边三角形.

可得∠CHG=∠HCE=60°

GH∥BE

8.PC平分∠EPB

思路:

过点C作CM,CN分别垂直于BD,AE,垂足为

M,N

∵△ACE≅△BCD

∴CM=CN

∴PC平分∠EPB

9.BP=AP+PC,EP=PD+PC

如图,截取BQ=AP

易证△APC≅△BQC

得∠BCQ=∠ACP,CP=CQ

可证: ∠QCP=60°

得△CPQ为等边三角形.

则CP=QP.

∴BP=BQ+QP=AP+AC

同法可证: EP=PD+PC

10.△GCB∽△APG，△DPH∽△HCE

由上述结论中的:

∠CBG=∠PAG, ∠APG=∠GCB,可证△GCB∽△APG

同理可证△DPH∽△HCE

等腰篇

模型三、若△ACE与△DBC是等腰三角形。

且∠ACB=∠ECD=α, 

1. △ACD≅BCE

2.CF平分∠DFE

3. ∠AFB=α

证明思路同上

模型四、如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，

正方形CEFG绕点C旋转，试证明：

1. △DCG≅△EBC，BE＝DG；

2.BE⊥DG；

3.DE2+BG2＝2a2+2b2

4. △DHM∽△BCM, △HEN∽△CGN

1. ∵正方形ABCD和正方形CEFG

∴BC＝CD＝a，CE＝CG＝b，∠BCD＝∠ECG＝90°

∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，

即∠BCE＝∠DCG

∴△BCE≌△DCG（SAS）

∴BE＝DG，

2. 设BE与CD交于H，

∵∠CBE+∠BTC＝90°，∠BTC＝∠DTE

∴∠CDG+∠DTE＝90°，

∴∠DHT＝90°

∴BE⊥DG

3. 连接BD，EG，在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2，在Rt△BGH中，BG2＝BH2+GH2

在Rt△BDH中，BH2+DH2＝BD2，在Rt△EHG中，EH2+GH2＝EG2，

∴DE2+BG2＝DH2+EH2+BH2+GH2＝BD2+EG2，

在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝2a2，在Rt△CEG中，EG2＝CE2+CG2＝2b2，

∴DE2+BG2＝2a2+2b2，

4. ∵∠CBM=∠MDH, ∠CMB=∠DMH. ∴△DHM∽△BCM,同理可证：△HEN∽△CGN

五、垂美四边形

△ABC中，∠BAC=90°,△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，可以得到：

1.△DBF≅△ABC≅△FEC

2.四边形FEAD是平行四边形

3.∠FDA=30°

∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAE＝150°，

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，

∴∠DBF＝∠ABC，

在△ABC与△DBF中，，

∴△ABC≌△DBF（SAS），

∴AC＝DF＝AE＝4，

同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），

∴AB＝EF＝AD＝3，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴∠DFE＝∠DAE＝150°，

∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°

冲刺演练

一．选择题

1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，BE

和DG相交于点H，连接HC，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2；④HC平分∠BHG，其中正确结论是（　　）

A．只有①②③ B．只有①②④ 

C．只有②③④ D．①②③④

2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中．①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）

①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．

A．只有①② B．只有①②③ 

C．只有③④ D．①②③④

二．解答题

4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

（2）求证：BE＝CD，BE⊥CD．

5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为线段AB、AC上的点，且AD＝AE．

（1）将△ADE绕点A旋转一定的角度至如图2所示位置，求证：△ABD≌△ACE．

（2）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BE上时，求证：BE⊥CE．

（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝4，AD＝AE＝2，则线段CE的长为　                　．

6．【操作发现】

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；

（2）在（1）所画图形中，∠AB′B＝　    　．

【问题解决】

如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．

…

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

【灵活运用】

如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．