专题训练3：整式-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求

2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练3：整式（含答案）

一、知识要点：

(1)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式与多项式统称整式。

(3)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

(4)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

2、整式的运算

(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

(2)整式的乘除运算

①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。

任何不等于0的数的0次幂都等于1。

⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。

(3)添括号法则

同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：

如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

二、课标要求：

1、了解整数指数幂的意义和基本性质。

2、理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)。

3、能推导乘法公式：(a+b)( a- b) = a2- b2；(a±b)2 = a 2±2ab + b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

三、常见考点：

1、考查学生对基本概念的认识及运用，如列代数式、求系数和次数、同类项等。

2、基本公式(同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方)的应用。

3、运用整式乘除法公式、整式加减运算法则、整式乘法运算特殊公式进行计算。

4、相关知识的综合应用，如找规律，定义新运算等。

四、专题训练：

1．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4

2．下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6 B．（x+y）2＝x2+y2 

C．（a5÷a2）2＝a6 D．（﹣3xy）2＝9xy2

3．某商场四月份售出某品牌衬衣b件，每件c元，营业额a元．五月份采取促销活动，售出该品牌衬衣3b件，每件打八折，则五月份该品牌衬衣的营业额比四月份增加（　　）

A．1.4a元 B．2.4a元 C．3.4a元 D．4.4a元

4．已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n＝　   　．

6．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：

第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；

第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；

第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．

请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为　   　．

7．若mn＝m+3，则2mn+3m﹣5mn+10＝　   　．

8．若23n+1•22n﹣1＝，则n＝　   　．

9．计算（﹣2）2017×（﹣）2018＝　   　．

10．已知am＝3，an＝2，则a2m﹣n的值为　   　．

11．若（am+1bn+2）•（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则m+n的值为　   　．

12．已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝　   　．

13．先化简再求值：3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中．

14．已知：a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝8，求﹣ab的值．

15．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

…

根据以上规律，解答下列问题：

（1）（a+b）4展开式共有　   　项，系数分别为　   　；

（2）（a+b）n展开式共有　   　项，系数和为　   　．

16．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，

对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

17．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积＝（上底+下底）×高）．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

参考答案

1．解：∵2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，

∴2x3﹣ax2﹣5x+5＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b+3，

∴﹣a＝a﹣2b，ab+1＝5，b+3＝5，

解得b＝2，a＝2，

∴a+b＝2+2＝4．

故选：D．

2．解：A、a2•a3＝a5，故选项错误；

B、（x+y）2＝x2+y2+2xy，故选项错误；

C、（a5÷a2）2＝a6，故选项正确；

D、（﹣3xy）2＝9x2y2，故选项错误；

故选：C．

3．解：5月份营业额为3b×c＝，

4月份营业额为bc＝a，

∴a﹣a＝1.4a．

故选：A．

4．解：法一：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，

＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a），

又由a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，

得（a﹣b）＝x+20﹣x﹣19＝1，

同理得：（b﹣c）＝﹣2，（c﹣a）＝1，

所以原式＝a﹣2b+c＝x+20﹣2（x+19）+x+21＝3．

故选B．

5．解：∵与﹣3ab3﹣n的和为单项式，

∴2m﹣5＝1，n+1＝3﹣n，

解得：m＝3，n＝1．

故m+n＝4．

故答案为：4．

6．解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，

则B同学有（x+2+3）张牌，

A同学有（x﹣2）张牌，

那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．

故答案为：7．

7．解：原式＝﹣3mn+3m+10，

把mn＝m+3代入得：原式＝﹣3m﹣9+3m+10＝1，

故答案为：1

8．解：23n+1•22n﹣1＝，

25n＝2﹣5，

则5n＝﹣5，

故n＝﹣1，

故答案为：﹣1．

9．解：原式＝（﹣）2017×（﹣）2017×（﹣）

＝[（﹣）×（﹣）]2017×（﹣）

＝12017×（﹣）

＝1×（﹣）

＝﹣，

故答案为：﹣．

10．解：∵am＝3，

∴a2m＝32＝9，

∴a2m﹣n＝＝＝4.5．

故答案为：4.5．

11．解：已知等式整理得：am+2nb3n+2＝a5b3，

可得，

解得：m＝，n＝，

则m+n＝，

故答案为：

12．解：当ab＝a+b+1时，

原式＝ab﹣a﹣b+1

＝a+b+1﹣a﹣b+1

＝2，

故答案为：2．

13．解：原式＝3x2﹣6xy﹣[3x2﹣2y+2xy+2y]

＝3x2﹣6xy﹣（3x2+2xy）

＝3x2﹣6xy﹣3x2﹣2xy

＝﹣8xy

当时

原式＝﹣8×（﹣）×（﹣3）＝﹣12．

14．解：∵a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝8，

∴a2﹣a﹣a2+b＝8，

∴b﹣a＝8，

∴﹣ab＝＝＝32．

15．解：（1）根据题意知，（a+b）4的展开后，共有5项，

各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

（2）当a＝b＝1时，（a+b）n＝2n．

故答案为：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2n．

16．解：由题意可得，

方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，

方案三：a2+＝＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．

17．解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，

∴S1＝a2﹣b2．

S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；

（2）根据题意得：

（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．