专题训练17：命题、定理与证明-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求

2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练17：命题、定理与证明（含答案）
一、知识要点：
1、命题与定理
定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立， 这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明:一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
二、课标要求：
1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
三、常见考点：
1、命题及命题真伪的判断。2、命题的条件和结论的区分。3、写出命题的逆命题。
四、专题训练：
1．下列说法正确的是（　　）
A．一组数据6，5，8，8，9的众数是8
B．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则甲组学生的身高较整齐
C．命题“若|a|＝1，则a＝1”是真命题
D．三角形的外角大于任何一个内角
2．下列命题正确的是（　　）
A．三角形的一个外角大于任何一个内角
B．三角形的三条高都在三角形内部
C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等
D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等
3．下列四个命题：①5是25的算术平方根；②（﹣4）2的平方根是﹣4；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④同旁内角互补．其中真命题的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．下列说法中，不正确的个数是（　　）
①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，且＝﹣1；②若|a|＞|b|，则有（a+b）（a﹣b）是正数；③三个五次多项式的和也是五次多项式；④a+b+c＜0，abc＞0，则﹣+﹣的结果有三个；⑤方程ax+b＝0（a，b为常数）是关于x的一元一次方程．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到矩形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
6．下列命题：
①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号；
④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；
⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．写出“对顶角相等”的逆命题　 　．
8．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为　 　．（按一、二、三、四的名次排序）
9．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第二象限图象上一动点，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，在点P的运动过程中，线段MN长度的最小值是　 　．

10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C'D'，点C的运动路径为．当点B'落在CD上时，图中阴影部分的面积为　 　．

11．如图，等边△ABC中，AB＝3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为　 　．

12．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为　 　．

13．如图，▱ABCD中，E为AD上一点，F为BC上一点，EF与对角线BD交于点O，以下三个条件：①BO＝DO；②EO＝FO；
③AE＝CF，以其中两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，其中真命题的个数为　 　．

14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，则点D在运动过程中ME的最小值为　 　．

15．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．
①弦AB的长度为　 　；
②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为　 　．

16．如图，一个长为4，宽为3的长方形木板斜靠在水平桌面上的一个小方块上，其短边与水平桌面成30°夹角，将长方形木板按逆时针方向做两次无滑动的翻滚，使其短边恰好落在水平桌面上，则长方形木板顶点A在滚动过程中所经过的路径长为　 　．


17．桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“+1”、“﹣1”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从﹣7变化为+7．
（1）当n＝1时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或﹣2，则最少　 　次操作后所有纸牌全部正面向上；
（2）当n＝2时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是　 　，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由；
（3）若要使多次操作后所有纸牌全部正面向上，写出n的所有可能的值．


18．阅读下面内容，并解答问题．
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证：　 　．
（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择　 　题．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为　 　．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为　 　．


19．点E、F分别是菱形ABCD边BC、CD上的点．
（1）如图，若CE＝CF，求证AE＝AF；
（2）判断命题“若AE＝AF，则CE＝CF”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．

20．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．

理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；　 　；
②任意的三角形都存在等角点；　 　；
（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．
解决问题
如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．

参考答案
1．解：A、一组数据6，5，8，8，9的众数是8，是真命题；
B、甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8，则乙组学生的身高较整齐，原命题是假命题；
C、命题“若|a|＝1，则a＝1”是假命题，原命题是假命题；
D、三角形的外角大于任何一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；
故选：A．
2．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；
B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；
C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；
D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；
故选：C．
3．解：①5是25的算术平方根，本小题说法是真命题；
②∵（﹣4）2的平方根是±4，
∴本小题说法是假命题；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是真命题；
④∵两直线平行，同旁内角互补，
∴本小题说法是假命题；
故选：C．
4．解：①若a+b＝0，则有a，b互为相反数，当a＝b＝0时，无意义，本小题说法不正确；②∵|a|＞|b|，
∴a2＞b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＞0，是正数，本小题说法正确；
③（2a5+a﹣3）+（﹣a5+2a﹣3）+（﹣a5+a2﹣30）＝a2+3a﹣36，
则三个五次多项式的和不一定是五次多项式，本小题说法不正确；
④当a+b+c＜0，abc＞0时，a、b、c两个正数、一个负数或一个正数、两个负数，
则﹣+﹣的结果有两个，本小题说法不正确；
⑤方程ax+b＝0（a，b为常数），当a＝0时，不是关于x的一元一次方程，本小题说法不正确；
故选：D．
5．解：连接AC'，

在矩形ABCD中，∵∠B＝90°，AB＝，BC＝1，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∵旋转角为30°，
∴A、B′、C共线．
∴AC＝＝＝2，
∵S阴＝S扇形ACC′﹣S△AB′C′，
∴S阴＝﹣＝﹣，
故选：B．
6．解：①负数有立方根，原命题是假命题；
②一个实数的算术平方根一定是非负数，原命题是假命题；
③一个正数或负数的立方根与这个数同号，原命题是真命题；
④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0，原命题是真命题；
⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1、﹣1或0，原命题是假命题；
故选：B．
7．解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．
8．解：因为他们每人只猜对一半，
可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．
故答案为：甲、丙、乙、丁．
9．解：连接OP．

∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（﹣2，0），B（02），
∴OA＝2，OB＝2，
∴tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝30°，
∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∴∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∴MN＝OP，
∴当OP⊥AB时，MN＝OP的值最小，最小值＝OA•sin30°＝，
故答案为．
10．解：如图，连接AC，AC′．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠DAB＝90°，
∵AB＝2，BC＝，
∴AC＝＝＝，
∵cos∠DAB′＝，
∴∠DAB′＝30°，DB′＝AB′＝1，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝60°，CB′＝CD﹣DB′＝2﹣1＝1，
∴S阴＝S扇形CAC′﹣S△AC′B′﹣S△ACB′＝﹣×2×﹣×1×＝﹣．
故答案为﹣．
11．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∴在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠AFE＝∠BAD+∠FBA＝∠CBE+∠FBA＝∠ABC＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴点F的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，
如图，

此时∠AOB＝120°，OA＝＝，
所以弧AB的长为：＝．
则点F的运动路径的长度为．
故答案为：．
12．解：如图所示：取A1B1的中点E，连接OE，C1E，当O，E，C1在一条直线上时，点C到原点的距离最大，在
Rt△A1OB1中，∵A1B1＝AB＝8，点OE为斜边中线，
∴OE＝B1E＝A1B1＝4，
又∵B1C1＝BC＝4，
∴C1E＝＝4，
∴点C到原点的最大距离为：OE+C1E＝4+4．
故答案为：4+4．

13．解：已知②EO＝OF；①BO＝DO，结论：③AE＝CF．
理由：在△DOE和△BOF中
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴AE＝FC，
同理可得：已知②EO＝FO，③AE＝CF，结论：①BO＝DO，是真命题；
已知：①BO＝DO，③AE＝CF，结论：②EO＝FO，是真命题，
故答案为：3．
14．解：如图，

连接BE，过点M作MG⊥BE的延长线于点G，
过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，
∵等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴∠K＝45°，
∴△AKB是等腰直角三角形．
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠KAD+∠DAB＝∠BAE+∠DAB＝90°，
∴∠KAD＝∠BAE，
在△ADK和△AEB中，

∴△ADK≌△AEB（SAS），
∴∠ABE＝∠K＝45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵AC＝BC＝4，
∴AB＝4，
∵M为AB中点，
∴BM＝2，
∴MG＝BG＝2，∠G＝90°，
∴BM＞MG，
∴当ME＝MG时，ME的值最小，
∴ME＝BE＝2．
故答案为2．
15．解：①如图，连接OA．

∵OA＝OC＝2，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，
∴AE＝OA•sin60°＝，
∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝，
∴AB＝2AE＝2，
故答案为2．
②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，
∵OA＝OC，AH＝HC，
∴OH⊥AC，
∴∠AHO＝90°，
∵∠COH＝30°，
∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，
∵CF⊥AP，
∴∠AFC＝90°，
∴HF＝AC＝，
∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，
∴OF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
16．解：第一次转动是以点M为圆心，AM为半径，圆心角是60度
所以弧AA1的长＝＝π，
第二次转动是以点N为圆心，A′N为半径圆心角为90度，
所以弧A′A″的长＝＝π，
所以总长为π．
故答案为π．

17．解：（1）总变化量：7﹣（﹣7）＝14，
次数（至少）：14÷2＝7，
故答案为：7；
（2）①两张由反到正，变化：2×[1﹣（﹣1）]＝4，
②两张由正到反，变化：2×（﹣1﹣1）＝﹣4，
③一正一反变一反一正，变化﹣1﹣1+1﹣（﹣1）＝0，
不能全正，
总变化量仍为14，无法由4，﹣4，0组成，
故不能所有纸牌全正；
故答案为：14；
（3）由题可知：0＜n≤7．
①当n＝1时，由（1）可知能够做到，
②当n＝2时，由（2）可知无法做到，
③当n＝3时，总和变化量为6，﹣6，2，﹣2，
14＝6+6+2，
故n＝3可以，
④当n＝4时，总和变化量为8，﹣8，4，﹣4，0，
14无法由8，﹣8，4，﹣4，0组成，
故＝4不可以，
⑤当n＝5时，总和变化量为10，﹣10，6，﹣6，2，﹣2，
14＝10+2+2，
故n＝5可以，
⑥当n＝6时，总和变化量为12，﹣12，8，﹣8，4，﹣4，0，
无法组合，
故n＝6不可以，
⑦当n＝7时，一次全翻完，可以，
故n＝1，3，5，7时，可以．
18．解：（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴，，
∴．
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案为EG⊥GF．
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．
19．解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACE＝∠ACF，
在△ACE与△ACF中
，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴AE＝AF，
（2）当AE＝AF＝AF'时，CE≠CF'，如备用图，

所以命题“若AE＝AF，则CE＝CF”是假命题．
20．解：理解应用
（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；
②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；
故答案为：真命题，假命题；
（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，
∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；
解决问题
如图②，连接PB，PC
∵P为△ABC的角平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵P为△ABC的等角点，
∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，
∴∠A＝，
∴该三角形三个内角的度数分别为，，