专题训练19：图形的变换-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求

2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练19：图形的变换（含答案）
一、知识要点：
1、平移
(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；
点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；
点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；
点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称
(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x， y）；
3、旋转
(1)旋转
定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等。
(2)中心对称
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
(3)中心对称图形
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
(4)关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
二、课标要求：
1、图形的平移
(1)通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
(2)认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。
(3)运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。
(4)在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
(5)在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
2、图形的轴对称
(1)通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
(2)能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。
(3)了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
(5)理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
(6)在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。
3、图形的旋转
(1)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
(2)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。
(4)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
三、常见考点：
1、对图形平移、轴对称图形、图形旋转、中心对称图形的识别。平面图形的折叠。
2、平移、轴对称、旋转、中心对称等图形变换的性质。
3、坐标的平移、轴对称、中心对称变换。
四、专题训练：
1．在平面直角坐标系中，线段AB的端点分别为A（2，0），B（0，4），将线段AB平移到A1B1，且点A1的坐标为（8，4），则点B1的坐标为（　　）
A．（7，6） B．（6，7） C．（6，8） D．（8，6）
2．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处，得到折痕BM，且BM与EF相交于点N，若直线BA'交直线CD于点O，BC＝5，EN＝，则OD的长为（　　）

A． B．1 C． D．
3．如图，在△ABC中，△ABC的面积为，AB＝2，BD平分∠ABC，E、F分别为BC、BD上的动点，则CF+EF的最小值是（　　）

A． B． C．2 D．
4．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（5，3），C（5，0），点D在线段OA上，将△ABD沿着直线BD折叠，点A的对应点为E，当点E在线段OC上时，则AD的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．
5．如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则重叠部分（即△BDE）的面积为（　　）

A．6 B．7.5 C．10 D．20
6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

7．若点A（a，b）和点B（m，n）关于原点对称，且a+b＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．mn＝﹣1 B．m﹣n＝﹣1 C．m+n＝﹣1 D．＝﹣1
8．如图，△ABC中，∠CAB＝72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠BAB'的度数为（　　）

A．34° B．36° C．72° D．46°
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕直角边AC的中点O旋转，得到△DEF，连接AD，若DE恰好经过点C，且DE交AB于点G，则tan∠DAG的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝（　　）

A．8 B．6 C．5 D．5
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝　 　．

12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C'，连接B'C，则tan∠ACB'＝　 　．

13．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E做EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝3，则线段CD的长是　 　．

14．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，将AC绕点A逆时针旋转120°得AD，若AB＝2，则BD的最大值为　 　．

15．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE＝2.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　 　．

16．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD、CE为△ABC的两条中线，且BD⊥CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM的最小值为　 　．

17．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（6，8），点D是OA的中点，点E在线段AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标是　 　．

18．如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为　 　．

19．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝　 　．
20．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，将三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF．已EF＝8，BE＝6，CG＝3．则图中阴影部分的面积是　 　．

21．如图1，将三角形纸片ABC，沿AE折叠，使点B落在BC上的F点处；展开后，再沿BD折叠，使点A恰好仍落在BC上的F点处（如图2），连接DF．

（1）求∠ABC的度数；
（2）若△CDF为直角三角形，且∠CFD＝90°，求∠C的度数；
（3）若△CDF为等腰三角形，求∠C的度数．
22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．
（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，使点A坐标为（4，3），点C坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）在（1）的条件下．
①画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；
②点D是y轴上的一个动点，连接BD、DC，则△BCD周长的最小值为　 　．


23．如图1，等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，点P为线段AD上任一点，连接PC，将线段PC绕点C逆时针旋转60°得到线段CQ，连接PQ．
（1）如图2，当点Q恰好在AD的延长线上时，PD的长为　 　；
（2）如图3，连接BQ，求证：△ACP≌△BCQ；
（3）连接DQ，
①若△BDQ为等腰三角形时，求∠BDQ的度数；
②求线段DQ的最小值．


24．在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．”
（1）请你也独立完成这道题；
（2）待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部（如图2），请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．



25．如图1，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且CD＝CE，此时显然AD＝BE，AD⊥BE成立．若保持△ABC不动，将△DCE绕点C逆时针旋转，旋转角为α．
（Ⅰ）如图2，当0°＜α＜90°时，问：AD＝BE，AD⊥BE是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（Ⅱ）如图3，当α＝45°时，延长BE交AD于点F，若CE＝，BC＝3，则线段EF＝　 　（直接写出结果即可）．




26．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
例如，在△ABC中，AB＞AC（如图1），怎样证明∠C＞∠B呢？
把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB＞AC，所以点C落在AB上的点C'处（如图2）．于是，由∠AC'D＝∠C，∠AC'D＞∠B，可得∠C＞∠B．
利用上述方法（或者思路）解决下列问题：
（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B＝45°，∠C＝60°，则∠C'DB＝　 　°．
（2）如图3，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．若CD＝2，AB＝6．求△ABD的面积．
（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB+BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．


参考答案
1．解：∵线段AB的端点分别为A（2，0），B（0，4），将线段AB平移到A1B1，且点A1的坐标为（8，4），
∴B1的坐标为：（6，8），
故选：C．
2．解：连接AA'．
∵EN＝，
∴由中位线定理得AM＝2，
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴A'A＝A'B，
∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，
∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，
∴△ABA'为等边三角形，
∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°，
又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，
∴BM＝2AM＝4，AB＝AM＝6＝CD．
在直角△OBC中，∵∠C＝90°，∠OBC＝30°，
∴OC＝BC•tan∠OBC＝5×＝5，
∴OD＝CD﹣OC＝6﹣5＝1．
故选：B．
3．解：如图，CH⊥AB，垂足为H，交BD于F点，过F点作FE′⊥BC，垂足为E′，则CF+E′F为所求的最小值，

∵BD是∠ABC的平分线，
∴FH＝E′F，
∴CH是点B到直线AB的最短距离（垂线段最短），
∵△ABC的面积为，AB＝2，
∴CH＝＝，
∵CF+E′F的最小值是CF+E′F＝CF+FH＝CH＝．
故选：D．
4．∵A（0，3），B（5，3），C（5，0），
∴AB∥x轴，BC∥y轴，AB＝OC＝5，AO＝BC＝3，
∴∠DAB＝∠AOC＝90°，
∴∠BCE＝90°，
∵将△ABD沿着直线BD折叠，点A的对应点为E，
∴AD＝DE，AB＝BE＝5，
∴CE＝＝＝4，
设AD＝DE＝x，则OD＝3﹣x，OE＝1，
∵OD2+OE2＝DE2，
∴（3﹣x）2+12＝x2，
解得x＝．
∴AD＝．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
由折叠的性质得：∠C'BD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠C'BD，
∴BE＝DE，
设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
则AE＝3，DE＝8﹣3＝5，
则S△BDE＝DE•AB＝×5×4＝10，
故选：C．
6．解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠ACP＝30°，
故选：A．
7．解：∵点A（a，b）和点B（m，n）关于原点对称，
∴m＝﹣a，n＝﹣b，
∵a+b＝1，
∴m+n＝﹣a﹣b＝﹣（a+b）＝﹣1．
故选：C．
8．解：∵C′C∥AB，
∴∠C'CA＝∠CAB＝72°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝72°，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝180°﹣72°×2＝36°，
故选：B．
9．解：连接OG，

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵点O是AC边的中点，
∴OC＝OA＝OD＝AC＝2，
∴∠GCO＝∠ODC＝∠BAC，∠ADC＝90°，
∴AG＝CG，
∴OG⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝，cos∠BAC＝，
∴sin∠OCG＝，cos∠OCG＝，
在Rt△OCG中，CG＝＝，在Rt△ACD中，CD＝AC•cos∠OCG＝，AD＝AC•sin∠OCG＝，
∴DG＝CD﹣CG＝﹣＝，
∴tan∠DAG＝＝＝．
故选：D．
10．解：如图，连接BD，BF，DF，

∵四边形ABCD，四边形BEFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点，
∴点M是BD的中点，点N是BF的中点，
∴MN＝DF，
∵AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝＝10，
∴AC＝BD＝10，
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，
∴DB＝BF＝10，∠DBF＝90°，
∴DF＝BD＝10，
∴MN＝5，故选：D．
11．解：如图，连接AD．

在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF﹣5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
12．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
过C作CM⊥AB′于M，过A作AN⊥CB′于N，
∵根据旋转得出AB′＝AB＝2，∠B′AB＝90°，
即∠CMA＝∠MAB＝∠B＝90°，
∴CM＝AB＝2，AM＝BC＝1，
∴B′M＝2﹣1＝1，
在Rt△B′MC中，由勾股定理得：B′C＝＝＝，
∴S△AB′C＝B′C•AN＝CM•AB′，
∴××AN＝×2×2，
解得：AN＝，
在Rt△ANC中，由勾股定理得：CN＝＝＝，
∴tan∠ACB′＝＝＝；
故答案为：．

13．解：如图，连接AC，AE，BE，

∵EF＝2，BF＝3，
∴BE＝＝＝，
∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD＝，
故答案为：．
14．解：解法一：如图，将△ABD绕点A顺时针旋转120°，则D与C重合，B'是定点，BD的最大值即B'C的最大值，即B'、O、C三点共线时，BD最大，过B'作B'E⊥AB于点E，

由题意得：AB＝AB'＝2，∠BAB'＝120°，
∴∠EAB'＝60°，
Rt△AEB'中，∠AB'E＝30°，
∴AE＝AB'＝1，EB'＝＝，
由勾股定理得：OB'＝＝＝，
∴B'C＝OB'+OC＝+1．
解法二：如图1，连接OC，将△AOC绕点A逆时针旋转120°得到△AGD，发现点D的运动轨迹是：以G为圆心，以AG为半径的圆，所以当B、G、D三点共线时，BD的值最大，如图2，过点G作GH⊥AB，交BA的延长线于H，

由旋转得：AO＝AG＝1，∠OAG＝120°，
∴∠HAG＝60°，
∴∠AGH＝30°，
∴AH＝，GH＝，
由勾股定理得：BG＝＝＝，
∴BD的最大值是+1．
故答案为：+1．
15．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
过点C作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
过点E作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2.5+＝，

故答案为：．
16．解：连接DE．

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE＝AB，DC＝AC，
∴BE＝CD，
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠ECB＝∠DBC，EC＝BD，
∴BN＝CN，
∴EN＝DN，
∵BD⊥EC，
∴△EDM，△BCN都是等腰直角三角形，
∵AE＝EB，AD＝DC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴＝＝，
∴CN＝2EN，
∴BN＝2EN，
∵AE＝BE＝5，
∴EN＝5，BN＝10，
∴BN＝CN＝10，
∴BC＝10，
作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值＝线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J．
∵AJ∥EN，AE＝EB，
∴BN＝NJ＝10，
∴AJ＝JH＝2EN＝10，BJ＝2BN＝20，AH＝2AJ＝20
∵S△ABH＝•AB•HT＝•AH•BJ，
∴HT＝＝8，
∴AT＝＝＝4，
∴ET＝AE﹣AT＝5﹣4＝，
∴EH＝＝＝5，
∴AM+EM的最小值为5．
故答案为5．
17．解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
∵D（3，0），A（6，0），
∴H（9，0），
∴直线CH解析式为y＝﹣x+8，
∴x＝6时，y＝，
∴点E坐标（6，），
故答案为：（6，）．

18．解：由折叠的性质，可知：AF＝AB＝4，CF＝CB＝8，∠F＝∠B＝90°，∠ACF＝∠ACB．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠ACF，
∴AE＝CE．
设AE＝x，则EF＝8﹣x．
在Rt△AEF中，AF＝4，AE＝x，EF＝8﹣x，∠F＝90°，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴AE＝5．
故答案为：5．
19．解：∵点A（m，3）向下平移2个单位，向左平移1个单位后得到点B（1，n），
∴m﹣1＝1，3﹣2＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴m+n＝3，
故答案为：3．
20．解：∵三角形ABC沿AB方向平移AD的长度得到三角形DEF，
∴△ABC≌△DEF，BC＝EF＝8，
∴BG＝BC﹣CG＝8﹣3＝5，
∵S阴影部分+S△DBG＝S△DBG+S梯形BEFG，
∴S阴影部分＝S梯形BEFG＝（5+8）×6＝39．
故答案为39．
21．解：（1）如图1中，

由翻折的旋转可知，AB＝AF，BA＝BF，
∴AB＝NF＝AF，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
（2）如图2中，

∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝∠DFC＝90°，
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△BFD（SAS），
∴∠BAD＝∠DFB＝90°，
∴∠ADF+∠ABC＝180°，
∴∠ADF＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CDF＝180°﹣∠ADF＝60°，
∴∠C＝90°﹣60°＝30°．
（3）如图3﹣1中，当FC＝FD时，设∠DAF＝∠DFA＝x，则∠FDC＝∠C＝2x，

∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝60°，
∴2x+x＝60°，
∴x＝20°，
∴∠C＝40°．
如图3﹣2中，当CD＝CF时，设∠DAF＝∠DFA＝y，则∠FDC＝∠CFD＝2y，

∴∠C＝180°﹣4y，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝60°，
∴180°﹣4y+y＝60°，
∴y＝40°，
∴∠C＝180°﹣160°＝20°，
综上所述，∠C＝40°或20°．
22．解：（1）平面直角坐标系如图所示：

（2）①如图，△A′B′C′即为所求作．
②如图，点D即为所求作．△BDC的周长的最小值＝+，
故答案为：+．
23．（1）解：如图2中，

∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∵CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∵CD⊥PQ，
∴∠PCD＝∠DCQ＝30°，
∴PD＝CD•tan30°＝．
故答案为：．
（2）证明：如图3中，

∵△ABC，∠PCQ都是等边三角形，
∴CA＝CB，CP＝CQ，∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS）．
（3）①解：由（1）知，△ACP≌△BCQ，
∴∠QBD＝∠PAC＝30°，
当△BDQ 是等腰三角形时，
①若BQ＝QD，如图3﹣1，则∠BDQ＝30°；
②若BQ＝BD，如图3﹣2，则∠BDQ＝75°；
③若BD＝DQ，如图3﹣3，则∠BDQ＝120°．

综上所述，满足条件的∠BDQ的值为30°或75°或120°．
②∵∠CBQ＝30°，
∴点Q在射线BQ上运动，
根据垂线段最短可知，当DQ⊥BQ时，DQ的值最小，此时DQ＝BD•sin30°＝．
24．解：（1）∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠CDA＝∠BEC＝90°，
∴∠DCA+∠DAC＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠DCA+∠ECB＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
∵AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE，
∵AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，
∴BE＝AD﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．
（2）结论：AD+BE＝DE．
证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD，
∴DE＝CE+DE＝AD+BE；
25．解：（Ⅰ）如图，延长BE交AD于H，

∵将△DCE绕点C逆时针旋转，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，
又∵∠AMH＝∠BMC，
∴∠AHE＝∠BCM＝90°，
∴BE⊥AD；
（Ⅱ）设AC与DE的交点为O，

∵CE＝，BC＝3，△ACB和△DCE是等腰直角三角形，
∴DE＝CE＝2，AB＝BC＝3，∠CDE＝∠CED＝45°，
∵α＝45°，
∴∠ACD＝∠BCE＝45°，
∴∠COD＝90°，
∴CO⊥DE，
∴DO＝CO＝OE＝1，
∴AO＝2，
∴AD＝＝＝，
∵sin∠ADO＝，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
26．解：（1）如图2中，

由翻折的旋转可知，∠AC′D＝∠C＝60°，
∵∠AC′D＝∠B+∠BDC′，
∴∠C′DB＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15．
（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C'处，

∵AD平分∠ABC，DC⊥AC，DC′⊥AB，
∴DC'＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝×AB×DC′＝6．
（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B'处，则BD＝DB'，

∵AD⊥BB′，BD＝DB′，
∴AB＝AB′，
∵CD＝BD+AB，
∴AB'＝B'C，
∴∠B'AC＝∠C＝24°，
∴∠B＝∠AB'B＝∠C+∠B′AC＝48°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°